回顾与思考名师教学设计

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4.4

回顾与思考

学习目标

（一）知识认知要求

1.复习因式分解的概念，以及提公因式法，运用公式法分解因式的方法，使学生进一步理解有关概念，能灵活运用上述方法分解因式. 2.熟悉本章的知识结构图. （二）能力训练要求

通过知识结构图的学习,培养学生归纳总结能力,在例题的学习过程中培养学生分析问题和解决问题的能力. （三）情感与价值观要求

通过因式分解综合练习,提高学生观察、分析能力；通过应用因式分解方法进行简便运算，培养学生运用数学知识解决实际问题的意识. 学习重点

综合应用提公因式法,运用公式法分解因式. 学习难点

利用分解因式进行计算及讨论. 学习过程

一、创设问题情境,引入新课

前面我们已学习了因式分解概念,提公因式法分解因式,运用公式法分解因式的方法,并做了一些练习.今天,我们来综合总结一下. 二、新课讲解

（一）讨论推导本章知识结构图

请大家先回忆一下我们这一章所学的内容有哪些? （1）有因式分解的意义,提公因式法和运用公式法的概念. （2）分解因式与整式乘法的关系. （3）分解因式的方法. 很好.请大家互相讨论,能否把本章的知识结构图绘出来呢?（若学生有困难,教师可给予帮助）

（二）重点知识讲解

下面请大家把重点知识回顾一下. 1.举例说明什么是分解因式. 如15x3y2+5x2y－20x2y3=5x2y（3xy+1－4y2）

把多项式15x3y2+5x2y－20x2y3分解成为因式5x2y与3xy+1－4y2的乘积的形式,就是把多项式15x3y2+5x2y－20x2y3分解因式. 学习因式分解的概念应注意以下几点: （1）因式分解是一种恒等变形,即变形前后的两式恒等. （2）把一个多项式分解因式应分解到每一个多项式都不能再分解为止. 2.分解因式与整式乘法有什么关系? 分解因式与整式乘法是两种方向相反的变形.如:ma+mb+mc=m（a+b+c）从左到右是因式分解,从右到左是整式乘法. 3.分解因式常用的方法有哪些? 1

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提公因式法和运用公式法.可以分别用式子表示为:ma+mb+mc=m（a+b+c）

a2－b2=（a+b）（a－b）

22a±2ab+b=（a±b）2

4.例题讲解

［例1］下列各式的变形中,哪些是因式分解?哪些不是?说明理由. （1）x2+3x+4=（x+2）（x+1）+2 232（2）6xy=3xy·2xy

（3）（3x－2）（2x+1）=6x2－x－2 （4）4ab+2ac=2a（2b+c）

分析：解答本题的依据是因式分解的定义，即把一个多项式化成几个整式的积的形式是因式分解，否则不是. 解:（1）不是因式分解,因为右边的运算中还有加法. （2）不是因式分解,因为6x2y3不是多项式而是单项式,其本身就是积的形式,所以不需要再因式分解. （3）不是因式分解,而是整式乘法. （4）是因式分解. ［例2］将下列各式分解因式. （1）8a4b3－4a3b4+2a2b5; （2）－9ab+18a2b2－27a3b3; （3）112－x; 49（4）9（x+y）2－4（x－y）2; 解:（1）8a4b3－4a3b4+2a2b5

=2a2b3（4a2－2ab+b2）; （2）－9ab+18a2b2－27a3b3

=－（9ab－18a2b2+27a3b3）

=－9ab（1－2ab+3a2b2）; 11211－x=（）2－（x）2

49231111=（+

x）（－x）; 2323（3）（4）9（x+y）2－4（x－y）2

=［3（x+y）］2－［2（x－y）］2

=［3（x+y）+2（x－y）］［3（x+y）－2（x－y）］

=（3x+3y+2x－2y）（3x+3y－2x+2y）

=（5x+y）（x+5y）; ［例3］把下列各式分解因式: （1）x7y3－x3y3; （2）16x4－72x2y2+81y4; 解:（1）x7y3－x3y3

=x3y3（x4－1）

=x3y3（x2+1）（x2－1）

=x3y3（x2+1）（x+1）（x－1）

（2）16x4－72x2y2+81y4

=（4x2）2－2·4x2·9y2+（9y2）2

=（4x2－9y2）2

=［（2x+3y）（2x－3y）］2

2

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=（2x+3y）2（2x－3y）2. 从上面的例题中,大家能否总结一下分解因式的步骤呢? 分解因式的一般步骤为: （1）若多项式各项有公因式,则先提取公因式. （2）若多项式各项没有公因式,则根据多项式特点,选用平方差公式或完全平方公式. （3）每一个多项式都要分解到不能再分解为止. 三、课堂练习

1.把下列各式分解因式

（1）16a2－9b2; （2）（x2+4）2－（x+3）2; （3）－4a2－9b2+12ab; （4）（x+y）2+25－10（x+y）

2.利用因式分解进行计算

（1）9x2+12xy+4y2,其中x=（2）（41,y=－; 32ab2ab21）－（）,其中a=－,b=2. 228四.课时小结

1.师生共同回顾,总结因式分解的意义,因式分解的方法及一般步骤,其中要特别指出:必须使每一个因式都不能再进行因式分解. 2.利用因式分解简化某些计算. 五、课后作业

复习题

A组

六、活动与探究

求满足4x2－9y2=31的正整数解. 分析:因为4x2－9y2可分解为（2x+3y）（2x－3y）（x、y为正整数），而31为质数. 所以有解：∵4x2－9y2=31 ∴（2x+3y）（2x－3y）=1×31 ∴2x3y312x3y1或

2x3y12x3y312x3y312x3y1或

2x3y12x3y31x8x8解得或

y5y5因所求x、y为正整数，所以只取x=8,y=5. 七、学习反思：

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