测试教学教案设计

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教师

学生

授课时间

点

授课层次

初三

授课课题

二次函数

课型

复习课

知识目标：理解二次函数的概念，掌握二次函数y＝ax2的图象与性质；会用描点法画抛物线，能确定抛物线的顶点、对称轴、开口方向，能较熟练地由抛物线y＝ax2经过适当平移得到y＝a(x－h)2＋k的图象。

教学目标 能力目标：会用待定系数法求二次函数的解析式，能结合二次函数的图象掌握二次函数的性质

3、情感态度与价值观：

重点：

1.用配方法求二次函数的顶点、对称轴，根据图象概括二次函数 y＝ax 图象的性质。 用待定系数法求函数的解析式、运用配方法确定二次函数的特征。 教学重点3.利用二次函数的知识解决实际问题，并对解决问题的策略进行反思。

和难点

2、难点：

1.二次函数图象的平移。 2.会运用二次函数知识解决有关综合问题。 3.将实际问题转化为函数问题，并利用函数的性质进行决策

教学内容： 二次函数

复习课

【基础知识】

2yaxbxc(a,b,c)，那么y叫做x1.定义：一般地，如果是常数，a0的二次函数. 2yax2.二次函数的性质

2yax（1）抛物线的顶点是坐标原点，对称轴是y轴. 2yax（2）函数的图像与a的符号关系. ①当a0时抛物线开口向上顶点为其最低点；

②当a0时抛物线开口向下顶点为其最高点. 2yaxy（a0）（3）顶点是坐标原点，对称轴是轴的抛物线的解析式形式为. 2yaxbxc3.二次函数

的图像是对称轴平行于（包括重合）y轴的抛物线. 1

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2yaxbxcaxhk4.二次函数用配方法可化成：y的形式，其中22b4acbh，k2a4a. 22yaxyaxk；③5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①；②2；④yyaxbxcyaxhaxhk；⑤. 226.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点. ①a的符号决定抛物线的开口方向：当a0时，开口向上；当a0时，开口向下；

a相等，抛物线的开口大小、形状相同. ②平行于y轴（或重合）的直线记作xh.特别地，y轴记作直线x0. 7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. 8.求抛物线的顶点、对称轴的方法

22acbb4b4acbyaxbxcax（，）2a4a2a4a

（1）公式法：，∴顶点是，22对称轴是直线xb2a. 2axhk

（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为y的形式，得到顶点为(h,k)，对称轴是直线xh.

（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点. 用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失. 2yaxbxc9.抛物线中，a,b,c的作用

（1）a决定开口方向及开口大小，这与yax中的a完全一样. axbxc

（2）b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线y的对称轴是直线

xbb02a，故：①b0时，对称轴为y轴；②a（即a、b同号）时，对称轴在y轴22b0左侧；③a（即a、b异号）时，对称轴在y轴右侧. 2

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axbxc

（3）c的大小决定抛物线y与y轴交点的位置. axbxcc 当x0时，y，∴抛物线y与y轴有且只有一个交点（0，c）：

22 ①c0，抛物线经过原点; ②c0,与y轴交于正半轴；③c0,与y轴交于负半轴. 以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧，则

b0a. 10.几种特殊的二次函数的图像特征如下：

函数解析式

开口方向

对称轴

2x0（y轴）

yax

2x0（y轴）

yaxk

当a0时

xh

2yaxh

开口向上

xh

2a0时

当yaxhk

开口向下

b2xyaxbxc

2a

11.用待定系数法求二次函数的解析式

顶点坐标

（0,0）

(0, k) (h,0) (h,k) 2b4acb，a4a) (22yaxbxc

（1）一般式：.已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式. axhk

（2）顶点式：y.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式. 2axxxxx2，12

（3）交点式：已知图像与x轴的交点坐标x1、通常选用交点式：y. 12.直线与抛物线的交点

2yaxbxcy

（1）轴与抛物线得交点为(0, c). 2yaxbxcyxh

（2）与轴平行的直线与抛物线有且只有一个交点bhc(h,ah). 2

（3）抛物线与x轴的交点

3

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2yaxbxc 二次函数的图像与x轴的两个交点的横坐标x1、x2，是对应一元bxc0二次方程ax的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二2次方程的根的判别式判定：

0 ①有两个交点抛物线与x轴相交；

0 ②有一个交点（顶点在x轴上）抛物线与x轴相切；

0 ③没有交点抛物线与x轴相离. （4）平行于x轴的直线与抛物线的交点

同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的bxck纵坐标相等，设纵坐标为k，则横坐标是ax的两个实数根. 2ykxnk0yaxbxca0l （5）一次函数的图像与二次函数的图像G的2ykxn2yaxbxc的解的数目来确定：l与交点，由方程组 ①方程组有两组不同的解时G有两个交点; ②方程组只有一组解时l与G只有一个交点；l与③方程组无解时G没有交点. axbxc （6）抛物线与x轴两交点之间的距离：若抛物线y与x轴两交点为2xAx，0，Bx，0xaxbxc01212，由于、是方程的两个根，故

2bcxx,xx1212aa2b4cb4ac22ABxxxxxx4xx12121212aaaa

【典型例题】

22xbb01.已知直线y与x轴交于点A，与y轴交于点B；一抛物线的解析式为2yxb10xc. 2xb（1）若该抛物线过点B，且它的顶点P在直线y上，试确定这条抛物线的解析式；

（2）过点B作直线BC⊥AB交x轴交于点C，若抛物线的对称轴恰好过C点，试确定直2xb线y的解析式. 4

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22yx10yx4x6解析：（1）或

2b10b16b100(,)（0，b)4 将代入，得cb.顶点坐标为2，由题意得2b10b16b1002b10,b61224，解得b. 2x2（2）y

2.有一个运算装置，当输入值为x时，其输出值为y，且y是x的二次函数，已知输入值为2,0,1时, 相应的输出值分别为5,3,4．

（1）求此二次函数的解析式；

（2）在所给的坐标系中画出这个二次函数的图象,并根据图象写出当输出值y为正数时输入值x的取值范围. axbxc解析：（1）设所求二次函数的解析式为y, 2a(2)2b(2)c5c3a12a0b0c32ab4b2abc4ab1c3则,即 ,解得

2yx2x3故所求的解析式为:. y O x （2)函数图象如图所示. 由图象可得，当输出值y为正数时，

1输入值x的取值范围是x或x3．

3.某生物兴趣小组在四天的实验研究中发现：骆驼的体温会随外部环境温度的变化而变化，而且在这四天中每昼夜的体温变化情况相同．他们将一头骆驼前两昼夜的体温变化情况绘制成下图．请根据图象回答：

⑴第一天中，在什么时间范围内这头骆驼的体温是上升的?它的体温从最低上升到最高需要多少时间? ⑵第三天12时这头骆驼的体温是多少? ⑶兴趣小组又在研究中发现，图中10时到

第9题

22时的曲线是抛物线，求该抛物线的解

析式．

解析：⑴第一天中，从4时到16时这头骆驼的体温是上升的.它的体温从最低上升到最高需要12小时

⑵第三天12时这头骆驼的体温是39℃

5

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12yx2x2410x2216⑶ 42yax(3a)x434.已知抛物线与x轴交于A、

得

若 B两点，与y轴交于点C．是否存在实数a，使△ABC为直角三角形．若存在，请求出a的值；不

存在，请说明理由．

解析：依题意，得点C的坐标为（0，4）．

设点A、B的坐标分别为（x1，0），（x2，0），

442ax(3a)x40x23，33a．

1

由，解得

x4

∴

点A、B的坐标分别为（-3，0），（3a，0）．

4AB|3|22AOOC53a

∴

，AC，

422||422BCBOOC3a．

421641682AB|3|2399223a9a3a9aa

∴

，

162BC1622AC259a

，．

ACBC

〈ⅰ〉当AB时，∠ACB＝90°．

ACBC

由AB，

22222216816925(16)229aa9a

得．

a14．

解得

∴

当a11662540022ABBC2254时，点B的坐标为（3，0），9，AC9．，

6

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ACBC

于是AB．

222

∴

当a14时，△ABC为直角三角形．

22ABBC

〈ⅱ〉当AC时，∠ABC＝90°．

21681625(9)(16)22222ABBC9aa9a

由AC，得．

解得

a49．

443443a3a99时，

当，点B（-3，0）与点A重合，不合题意．

ACAB

〈ⅲ〉当BC时，∠BAC＝90°．

222161681625(9)22222BCACABa9a9a

由，得．

解得

a49．不合题意．

a14时，△ABC为直角三角形．

综合〈ⅰ〉、〈ⅱ〉、〈ⅲ〉，当5.已知抛物线y＝－x2＋mx－m＋2. （1）若抛物线与x轴的两个交点A、B分别在原点的两侧，并且AB＝5，试求m的值；

（2）设C为抛物线与y轴的交点，若抛物线上存在关于原点对称的两点M、N，并且

△MNC的面积等于27，试求m的值. 解析: (1)Ａ（x1，0）,B(x2，0) . 则x1 ，x2是方程 x2－mx＋m－2＝0的两根. ∵x1 ＋ x2 ＝m , x1·x2 =m－2 ＜0 即m＜2 ; 又AB＝∣x1 — x2∣＝2（xx+）4xx51212 , y C ∴m2－4m＋3=0 . 解得：m=1或m=3(舍去) , ∴m的值为1 . （2）M(a，b)，则N(－a，－b) . ∵M、N是抛物线上的两点, 2amam2b,①2amam2b.②∴ M O x N 7

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①＋②得：－2a2－2m＋4＝0 . ∴a2＝－m＋2 . ∴当m＜2时，才存在满足条件中的两点M、N. 2m∴a . 这时M、N到y轴的距离均为2m, 又点C坐标为（0，2－m）,而S△M N C = 27 , ∴2××（2－m）×2m=27 . ∴解得m=－7 . 2y＝ax＋4ax＋t与x轴的一个交点为A（－1，6.已知：抛物线0）．

（1）求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标；

（2）D是抛物线与y轴的交点，C是抛物线上的一点，且以AB为一底的梯形ABCD的面积为9，求此抛物线的解析式；

（3）E是第二象限内到x轴、y轴的距离的比为5∶2的点，如果点E在（2）中的抛物线上，且它与点A在此抛物线对称轴的同侧，问：在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△APE的周长最小?若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

解法一：

（1）依题意，抛物线的对称轴为x＝－2．

∵ 抛物线与x轴的一个交点为A（－1，0），

∴ 由抛物线的对称性，可得抛物线与x轴的另一个交点B的坐标为（－3，0）．

2y＝ax＋4ax＋t与x轴的一个交点为A（－1， 0），

（2）∵ 抛物线22a(－1)＋4a(－1)＋t＝0y＝ax＋4ax＋3a

∴ ．∴ t＝3a．∴ ．

2y＝ax＋4ax＋3a

∴ D（0，3a）．∴ 梯形ABCD中，AB∥CD，且点C在抛物线

上，

∵ C（－4，3a）．∴ AB＝2，CD＝4．

11(ABCD)OD＝9(2＋4)3a＝9

∵ 梯形ABCD的面积为9，∴ 2．∴ 2．

∴ a±1．

2y＝x＋4x＋3

∴ 所求抛物线的解析式为或2y＝x4ax3．

（3）设点E坐标为（y0＝52x0，y0）.依题意，x0＜0，y0＜0，

且x05y0＝－x02．

．∴ 8

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①设点E在抛物线y＝x2＋4x＋3上，

∴y0＝x20＋4x0＋3．

y＝－5x10＝，02x0,x20

解方程组y0＝x20＋4x0＋3＝6， 得y0＝15；y50＝4．

15

∵ 点E与点A在对称轴x＝－2的同侧，∴ 点E坐标为（2，4）．

设在抛物线的对称轴x＝－2上存在一点P，使△APE的周长最小．

∵ AE长为定值，∴ 要使△APE的周长最小，只须PA＋PE最小．

∴ 点A关于对称轴x＝－2的对称点是B（－3，0），

∴ 由几何知识可知，P是直线BE与对称轴x＝－2的交点．

设过点E、B的直线的解析式为y＝mx＋n，

1m＝2,1m＋n＝54,3

∴ 2－3m＋n＝0. 解得n＝2.

y＝1

∴ 直线BE的解析式为2x＋312y＝．∴ 把x＝－2代入上式，得2．

1

∴ 点P坐标为（－2，2）．

②设点E在抛物线y＝x24x3上，∴ y＝20x04x03．

y50＝－2x0,

解方程组y0＝x204x03. 消去yx230，得02x0＋3＝0．

∴ △＜0 . ∴ 此方程无实数根．

1

综上，在抛物线的对称轴上存在点P（－2，2），使△APE的周长最小．

解法二：

（1）∵ 抛物线y＝ax2＋4ax＋t与x轴的一个交点为A（－1，0），

∴ a(－1)2＋4a(－1)＋t＝0．∴ t＝3a．∴ y＝ax2＋4ax＋3a．

9

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1，x2＝－3．

＋4ax＋3a＝0

令 y＝0，即ax．解得 x1＝－2

∴ 抛物线与x轴的另一个交点B的坐标为（－3，0）．

2y＝ax＋4ax＋3a

（2）由，得D（0，3a）．

∵ 梯形ABCD中，AB∥CD，且点C在抛物线

2y＝ax＋4ax＋3a上，

∴ C（－4，3a）．∴ AB＝2，CD＝4．

1(AB＋CD)OD＝92

∵ 梯形ABCD的面积为9，∴ ．解得OD＝3．

∴ 3a＝3．∴ a±1．

22y＝x＋4x＋3y＝－x－4x－3

∴ 所求抛物线的解析式为或．

（3）同解法一得，P是直线BE与对称轴x＝－2的交点．

∴ 如图，过点E作EQ⊥x轴于点Q．设对称轴与x交点为F．

1PF＝BFPF55＝4．∴

由PF∥EQ，可得BQEQ．∴ 2PF＝12．

轴的1

∴ 点P坐标为（－2，2）．

以下同解法一．

7.已知二次函数的图象如图所示．

（1）求二次函数的解析式及抛物线顶点M的坐标．

（2）若点N为线段BM上的一点，过点N作x轴的垂线，垂足为点Q．当点N在线段BM上运动时（点N不与点B，点M重合），设NQ的长为l，四边形NQAC的面积为S，求S与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围；

（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使△PAC为直角三角形?若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（4）将△OAC补成矩形，使△OAC的两个顶点成为矩形一边的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，试直接写出矩形的未知的顶点坐标（不需要计算过程）．

a(x1)(x2)解析：（1）设抛物线的解析式y，

10

[键入文字]

2yxx22a1(2)a1

∴ ．∴ ．∴ ．

19，24．

其顶点M的坐标是kxb

（2）设线段BM所在的直线的解析式为y，点N的坐标为N（t，h），

02kb，913kb.k32，b

∴ 42．解得．

3yx32

∴ 线段BM所在的直线的解析式为．

3111231ht3t2s12(2t3)tt2t1222342

∴ ，其中2．∴ ．

311St2t1t2422

∴ s与t间的函数关系式是，自变量t的取值范围是．

5735，P2，P2424．

，

（3）存在符合条件的点P，且坐标是1，n)，则nmm2

设点P的坐标为P(m．

22222222PA(m1)nPCm(n2)，AC5，．

分以下几种情况讨论：

222PCPAAC

i）若∠PAC＝90°，则．

2nmm2，2222m(n2)(m1)n5.

∴

575Pm11，12，m2

解得：（舍去）．

∴ 点24．

PCAC

ii）若∠PCA＝90°，则PA．

2nmm2，2222(m1)nm(n2)5.

∴

222533P，－mm023，44．

2

解得：（舍去）．∴ 点211

[键入文字]

AC

iii）由图象观察得，当点P在对称轴右侧时，PA，所以边AC的对角∠APC不可能是直角．

（4）以点O，点A（或点O，点C）为矩形的两个顶点，第三个顶点落在矩形这边OA（或边OC）的对边上，如图a，此时未知顶点坐标是点D（－1，－2），

以点A，点C为矩形的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边AC的对边上，如图1248，，b，此时未知顶点坐标是E55，F55．

图a 图b 2y＝ax－2的图象经过点（1，－1）．求这个二次函数的解析式，并判8.已知二次函数断该函数图象与x轴的交点的个数．

解析：根据题意，得a－2＝－1.

2y＝x2．

∴ a＝1．

∴ 这个二次函数解析式是

因为这个二次函数图象的开口向上，顶点坐标是（0，－2），所以该函数图象与x轴有两个交点．

9.卢浦大桥拱形可以近似看作抛物线的一部分．在大桥截面1∶11000的比例图上，跨度AB＝5 cm，拱高OC＝0.9 cm，线段DE表示大桥拱内桥长，DE∥AB，如图（1）．在比例图上，以直线AB为x轴，抛物线的对称轴为y轴，以1 cm作为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，如图（2）．

（1）求出图（2）上以这一部分抛物线为图象的函数解析式，写出函数定义域；

1.4，

（2）如果DE与AB的距离OM＝0.45 cm，求卢浦大桥拱内实际桥长（备用数据：2计算结果精确到1米）．

解析：（1）由于顶点C在y轴上，所以设以这部分抛物线为图象的函数解析式为

92y＝ax＋10．

12

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55291850＝a()＋a＝－210125．

因为点A（2，0）（或B（2，0））在抛物线上，

所以，得

185295y＝－x＋(x)1251022

因此所求函数解析式为． 9918295－x＋x＝24．

（2）因为点D、E的纵坐标为20，

所以2012510，得－59524，20），点E的坐标为（4

所以点D的坐标为（29，20）．

5552DE＝2－(2)＝442．

所以52110000.01＝27523852

因此卢浦大桥拱内实际桥长为

（米）．

10.已知在平面直角坐标系内，O为坐标原点，A、B是x轴正半轴上的两点，点A在点B2y＝ax＋bx＋c的左侧，如图．二次函数（a≠0）的图象经过点A、B，与y轴相交于点C．

（1）a、c的符号之间有何关系? （2）如果线段OC的长度是线段OA、OB长度的比例中项，试a、c互为倒数；

＝43，求a、c（3）在（2）的条件下，如果b＝－4，AB证

的值．

解析: （1）a、c同号．

或当a＞0时，c＞0；当a＜0时，c＜0．

＜x＜x12．

（2）证明：设点A的坐标为（x1，0），点B的坐标为（x2，0），则0xx1，OB2，

∴ OAOCc． x1x2ca．

＋bx＋c0(a0)

据题意，x1、x2是方程ax的两个根．

∴ c2＝c＝c22OB＝OC

由题意，得OA，即a． 2

所以当线段OC长是线段OA、OB长的比例中项时，a、c互为倒数．

b4x＋x＝－＝＞0124aa，∴ a＞0．

（3）当b时，由（2）知，13

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2x－x＝(x＋x)4xx211212

解法一：AB＝OB－OA＝，

4c164ac232AB()－4()2aaaa

∴ ． 123a＝4343，

∴ a2．∴ c＝2.

∵ AB．得4164ac416423x＝＝＝2a2aa，

解法二：由求根公式，2323x1＝x2＝a，a．

∴ 232－323AB＝OB－OA＝x－x＝－＝21aaa

∴ ．

123a＝＝43＝43，∴ a2．∴ c＝2．

∵ AB，得y3x33分别与x轴、y轴交于点A、B，⊙E经过原点O及A、B两11.如图，直线点．

（1）C是⊙E上一点，连结BC交OA于点D，若∠COD＝∠CBO，求点A、B、C的坐标；

（2）求经过O、C、A三点的抛物线的解析式：

（3）若延长BC到P，使DP＝2，连结AP，试判断直线PA与⊙E的位置关系，并说明理由．

解析：（1）连结EC交x轴于点N（如图）．

∵ A、B是直线y

3x33分别与x轴、y轴的交点．∴ A（3，0），B(0,3)．

又∠COD＝∠CBO．

∴

∠CBO＝∠ABC．∴ C是13OB3ONOA,EN2222∴

．

的中点．

∴ EC⊥OA．

14

[键入文字]

OE3连结OE．∴

EC．

∴

NCECEN333,2．∴ C点的坐标为（22）． axx3（2）设经过O、C、A三点的抛物线的解析式为y．

333332,a(3)a3222229∵ C（）．

∴．∴

．

23223yxx98∴

为所求．

33，

∴

∠BAO＝30°，∠ABO＝50°．

（3）∵

tanBAO11OBDABO603022由（1）知∠OBD＝∠ABD．∴

．

∴ OD＝OB·tan30°－1．∴ DA＝2．

∵

∠ADC＝∠BDO＝60°，PD＝AD＝2．

∴

△ADP是等边三角形．∴

∠DAP＝60°．

∴

∠BAP＝∠BAO＋∠DAP＝30°＋60°＝90°．即

PA⊥AB．

即直线PA是⊙ E的切线．

【历年考点例析】

考点1、确定a、b、c的值．二次函数：y=ax2+bx+c （a,b,c是常数，且a≠0） a＞0bb开口向上，a＜0开口向下．抛物线的对称轴为x=2a，由图像确定2a的正负，由a的符号确定出b的符号．由x=0时,y=c，知c的符号取决于图像与y轴的交点纵坐标，与y轴交点在y轴的正半轴时，c＞0，与y轴交点在y轴的负半轴时，c＜0．确定了a、b、c的符号，易确定abc的符号．

考点 2、确定a+b+c的符号．x=1时，y=a+b+c，由图像y的值确定a+b+c的符号．与之类似的还经常出现判断4a+2b+c的符号（易知x=2时，y=4a+2b+c），由图像y的值确定4a+2b+c的符号．还有判断a－b+c的符号（x=－1时，y=a－b+c）等等．

b考点3、与抛物线的对称轴有关的一些值的符号．抛物线的对称轴为x=2a，根据对称bb性知：取到对称轴距离相等的两个不同的x值时，y值相等，即当x=2a+m或x=2abb－m时，y值相等．中考考查时，通常知道x=2a+m时y值的符号，让确定出x=2a－m时y值的符号．

15

[键入文字]

bb考点4、由对称轴x=2a的确定值判断a与b的关系．如：2a=1能判断出a =－0.5 b．

考点5、顶点与最值．若x可以取全体实数，开口向下时，y在顶点处取得最大值，开口向上时，y在顶点处取得最小值．

2yaxbxc(a0)的图象如图所示，有下列5个结论：①

例1、已知二次函数abc0；②

bac；③

4a2bc0；④

2c3b；⑤

abm(amb)，（m1的实数）其中正确的结论有（ ）．

A. 2个

B. 3个

C. 4个

D. 5个

解析：此题考查了考点1、2、3、4、5．

①错误．因为：开b向下a＜0;对称轴x=2a=1，可以得出b＞0; x=0时,y=c＞0，口故abc＜0．②错误．因为：由图知x=－1时，y=a－b+c＜0，即b＞a+c．③正确．因为：由对称轴x=1知,x=0时和x=2时y值相等，由x=0时，y＞0，知x=2时，y=4a+2b+c＞0．④b正确．因为：由对称轴x=2a=1，可以得出a =－0.5 b，代入前面已经证出b＞a+c，得出1.5b＞c,即3b＞2c．⑤正确．因为：抛物线开口向下，故顶点处y值最大，即x =1，y= a+b+c最大，此时a+b+c＞am2+bm+c（m1），即abm(amb)，（m1）．答案：B．

考点6、图象与x轴交点．∵b2-4ac＞0，ax2+bx+c=0有两个不相等的实根；b2-4ac＜0，ax2+bx+c=0无实根；b2-4ac=0，ax2+bx+c=0有两个相等的实根．∴b2-4ac＞0，抛物线与x轴有两个交点；b2-4ac＜0，抛物线与x轴没有交点；b2-4ac=0，抛物线与x轴只有一个交点．

2yx2x1与x轴的交点个数是（ ）．

例2、二次函数A．0 B．1 C．2 D．3 解析：求图象与x轴的交点应令y=0，即x2－2x+1=0,∵b2-4ac＝4－4=0,∴二次函数图象与x轴只有一个交点．答案：B．

考点7、判断在同一坐标系中两种不同的图形的正误．如：在同一种坐标系中正确画出一次函数同．

例3、在同一坐标系中一次函数

y

O A

y O B x yaxb2yaxbx的图象可能为和二次函数（ ）．

yaxb2yaxbxc(a0)，关键是两个式子中的a、b值应相和二次函数y O C O D y x x x 16

[键入文字]

2解析：二次函数yaxbx过点（0，0），故排除答案B与C．若a＞0，抛物线开口向上，一次函数yaxb的y值随着x值的增大而增大；若a＜0，抛物线开口向下，一次函数yaxb的y值随着x值的增大而减小．答案：A. 考点8、能分别判断出在对称轴的左右两侧二次函数y值随x值的变化而变化情况．抛物线当开口向上时，在对称轴的左侧二次函数y值随x值的增大而减小，在对称轴的右侧二次函数y值随x值的增大而增大．抛物线开口向下时，在对称轴的左侧二次函数y值随x值的增大而增大，在对称轴的右侧二次函数y值随x值的增大而减小．

2yaxbxc(a≠0)的图象经过点(-1，2)，(1，0) . 下列结 例4、已知二次函数论正确的是( )．

A. 当x>0时，函数值y随x的增大而增大

B. 当x>0时，函数值y随x的增大而减小

C. 存在一个负数x0，使得当x x0时，函数值y随x的增大而增大

D. 存在一个正数x0，使得当xx0时，函数值y随x的增大而增大

2yaxbxc(a≠0)的图象没说 解析：二次函数明开口方向，故过点(-1，2)，(1，0)的抛物线有可能开口向上或向下，见图再结合选项，抛物线当开口向上时，在对称轴x=x0（x0>0）的左侧二次函数y值随x值的增大而减小，在对称轴的右侧二次函数y值随x值的增大而增大．抛物线开口向下时，在对称轴x=x0（x0<0）的左侧二次函数y值随x值的增大而增大，在对称轴的右侧二次函数y值随x值的增大而减小．答案：D．

考点9、二次函数解析式的几种形式． (1)一般式：y＝ax2+bx+c (a,b,c为常数，a≠0). (2)顶点式：y＝a(x-h)2+k(a,h,k为常数，a≠0). 抛物线的顶点坐标是(h,k)，h＝0时，抛物线y＝ax2+k的顶点在y轴上；当k＝0时，抛物线y＝a(x-h)2的顶点在x轴上；当h＝0且k＝0时，抛物线y＝ax2的顶点在原点. (3)两根式：y＝a(x-x1)(x-x2)，其中x1,x2是抛物线与x轴的交点的横坐标，即一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根. 求解析式时若已知抛物线过三点坐标一般设成一般式，已知抛物线过的顶点坐标时设成顶点式，已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标时设成两根式．

4)，且过点B(3，0)．求该二 例5、在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为A(1，次函数的解析式为 ．

20)，ya(x1)4，04a4，解析：（1）设二次函数解析式为二次函数图象过点B(3，22y(x1)4yx2x3．

a1得．

二次函数解析式为，即 17