直角三角形的性质与判定优质课教学设计

直角三角形的性质与判定

教学目标：

1.知识与技能：

证明直角三角形的性质定理及判定定理；结合具体例子了解互逆命题的概念，会识别两个互逆命题并知道原命题成立，其互逆命题不一定成立。

2.过程与方法：

让学生学会分析几何证明题的思路，并掌握证明的基本步骤和书写格式。

3.情感态度与价值观：

在数学活动中，体会成功的喜悦，建立学习的自信心，积极参与数学实践活动，对数学结论的获得产生好奇心和求知欲。

教学重点与难点：

重点：勾股定理及其逆定理的证明方法，会识别互逆命题、互逆定理。

难点：勾股定理及其逆定理的证明。

课前准备：

1.

教师准备：多媒体课件、三角板。

2.

学生准备：收集勾股定理的证明方法。

教学过程：

一、情境创设，引入新课

下图是2002年在北京召开的24届国际数学家大会的会标，它的设计灵感来自哪类三角形的知识。

学生回答：直角三角形

师：直角三角形与等腰三角形都是三角形知识中重要的研究对象，本节课就让我们继续学习直角三角形有关知识。【教师板书课题：1.2直角三角形的性质与判定】

二、合作探究，获取新知

探究一：直角三角形的性质

我们曾经初步探索过直角三角形的那些性质？想一想，与同伴交流。

学生认真思考，总结性质，教师及时展示。

1.

直角三角形的两个锐角互余。

2.

勾股定理：直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。

师：你知道定理1、2是如何证明的吗？

学生小组讨论，各抒己见，教师及时引导并展示：

定理：直角三角形的两个锐角互余的证明

已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90º。

求证：∠A+∠B=90º

证明：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180º

∵∠C=90º ∴∠A+∠B=180º－∠C=180º－90º=90º

勾股定理的证明

师：我们曾经利用数方格和割补图形的方法得到了勾股定理。勾股定理

内容是什么？ 生：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方. 师：证明勾股定理的方法有几百种，下面是常见的几种方法 方法一:拼图计算（古希腊著名的哲学家、数学家、天文学家毕达哥拉斯）

方法二：割补法

方法三：赵爽的弦图（2002年在北京召开的24届国际数学家大会的会标，它的设计灵感来自赵爽的弦图）

方法四：总统证法（加菲尔德“总统证明法”）

方法五：青朱出入图（三国时代魏国的数学家刘徽）

方法六：折纸法

师：（板书学生叙述）大家是怎样得到的这个结论？

生：小组交流，教师巡视指导. 生1：我是利用方格通过面积验证的. 生2：我是这样验证的

1大正方形的面积可以表示为 (a+b)2；也可以表示为c2+

×4•ab,

∵

21(a+b)2 = c2 +

×4•ab a2+2ab+b2 = c2 +2ab,∴a2+b2=c2

2师：大家的回答非常好，实际上，利用公理及其推导出的定理，我们能够证明勾股定理.（展示证明过程）. 生：阅读，体会证明的方法. 如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=a，AC=b，AB=c，

延长CB至点D，使BD=b，作∠EBD=∠A，并取BE=c，连接ED、AE，则△ABC≌△BED.

∴∠BDE=90°，ED=a（全等三角形的对应角相等，对应边相等）. ∴四边形ACDE是直角梯形. 11∴S梯形ACDE = (a+b)(a-b)= (a+b)2

22∴∠ABE=180°-∠ABC-∠EBD=180°- 90°=90°

AB=BE 1∴S△ABC = c2

2∵S梯形ACDE = S△ABE +S△ABC+ S△BED ,

1111∴ (a+b)2= c2+ ab+ ab

222211111即 a2+ab+ b2= c2+ ab+ ab

22222∴a2+b2=c2

师：你认为在证明中关键是什么？

生：通过辅助线，构造全等三角形. 师：大家说的非常到位。证明勾股定理的方法有许多，大家还收集到哪些方法？

生1：利用面积

探究二：直角三角形的判定

问题1：如果一个三角形的两个角互余，那么这个三角形是直角三角形吗？请说明理由。

学生小组讨论，各抒己见，教师及时引导并展示：

已知：如图，在△ABC中，∠A+∠B=90º。

求证：△ABC是直角三角形。

证明：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180º

∵∠A+∠B=90º ∴∠C =180º－(∠A+∠B)=180º－90º=90º

∴△ABC是直角三角形。

师：这就说明上述命题是真命题，是判断三角形是直角三角形的依据，可作为定理。

问题2：勾股定理反过来如何叙述？【勾股定理逆定理的证明】

生：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形. 师：（板书“在一个三角形中，当两边的平方和等于第三边的平方时，这个三角形是直角三角形”，画出图形ΔABC）

在一个三角形中，当两边的平方和等于第三边的平方时，我们曾用度量的方法得出“这个三角形是直角三角形”的结论。你能证明这个结论吗？

生：思考，小组交流. 师：（提示）问题证明困难在哪？

生：只有一个单独的三角形. 师：结合刚才勾股定理的证明，有什么办法？

生：（犹豫）构造全等三角形证明？

师：想一想，试一试，交流一下想法. 生：尝试，交流。完善思考. 生1：黑板写出证明过程. 师：（对生1）能给大家讲一下你是怎样想的吗？[来源:Zxxk.Com]

生1：结合板演谈思考过程. 已知：如图，在△ABC，AB2+AC2=BC2，求证：△ABC是直角三角形.[来源:Zxxk.Com]

证明：作出Rt△A´B´C´，使∠A=90°，A´B´=AB，A´C´=AC，则

A´B´2+A´C´2=B´C´2 ∵AB2+AC2=BC2 ，A´B´=AB，A´C´=AC，[来源:Zxxk.Com]

∴BC2= B´C´2[来源:学+科+网Z+X+X+K]

∴BC=B´C’

∴△ABC≌△A´B´C´ (SSS) ∴∠A=∠A´=90°(全等三角形的对应角相等) 因此，△ABC是直角三角形。

师：太棒了！大家鼓励一下。不愧是我们班的“数学家”。大家考虑一下，证明中关键是什么？

生：构造全等三角形！

探究三：互逆命题、互逆定理

师：大家刚才的表现非常出色！观察一下屏幕上两个结论的条件与结论，有怎样的关系？

生：互逆. 师：观察下列三组命题，它们的条件和结论之间有怎样的关系？

如果两个角是对顶角，那么它们相等.[来源:学。科。网Z。X。X。K]

如果两个角相等，那么它们是对顶角. 如果小明患了肺炎，那么他一定会发烧. 如果小明发烧，那么他一定患了肺炎. 三角形中相等的边所对的角相等. 三角形中相等的角所对的边相等. 生：互逆. 师：这样关系的两个命题我们称为互逆命题。能完整的说一下互逆命题的定义吗？

生：在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题. 师：还能举一些互逆命题的例子吗？

生：举例

师：如果一个命题是真命题，它的逆命题一定是真命题吗？

生：（观察示例，思考）不一定. 师：能结合例子具体说说看？[来源:学+科+网]

生1：“如果两个角是对顶角，那么它们相等”是真命题，但它的逆命题“如果两个角相等，那么它们是对顶角”是假命题. 生2：“三角形中相等的边所对的角相等”是真命题，它的逆命题“三角形中相等的角所对的边相等”也是真命题. 师：大家考虑非常完整.一个命题是真命题，它的逆命题却不一定是真命题。如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理。能举些互逆定理吗？

生1：“两直线平行，同位角相等”和“同位角相等，两直线平行”. 生2：“等腰三角形两底角相等”和“两角相等的三角形是等腰三角形”. 师：非常棒！我们学过很多这样的互逆定理，但不一定都是，大家要注意区分. 三、随堂练习：

说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假：

（1）.四边形是多边形；

（2）.两直线平行，同旁内角互补；

（3）.如果ab=0，那么a=0，b=0；

四、课堂小结: 师: 学而不思则罔,让我们总结一下本节课的收获吧. 生1: 我们了解了勾股定理及其逆定理的证明方法. 生2: 我们了解了逆命题的概念. 生3: 我们学会了识别互逆命题、知道原命题成立其逆命题不一定成立. 五、作业布置：

习题1.5第1、2、3、4题

板书设计：

1．2

直角三角形的性质及判定

定理：直角三角形的两个锐角互余。

定理：有两个角互余的三角形是直角三角形。

勾股定理：直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。

定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形. 互逆命题、互逆定理