8.2 消元——二元一次方程组的解法教学设计及教案分析

8.2.1代入消元法

教学目标：

知识与技能

1.

用代入法解二元一次方程组. 2.

了解解二元一次方程组时的“消元”思想和“化未知为已知”的化归思想。

3.

会用二元一次方程组解决实际问题. 4.

在列方程组的建模过程中，强化方程的建模思想，培养学生列方程解决实际问题的意识和能力. 5.

将解方程组的技能训练与实际问题的解决融为一体，进一步培养解方程组的能力. 过程与方法

通过观察、验证、讨论、交流等学习方式经历代入消元的过程，深刻体会到转化的作用，发展学生的抽象思维能力，培养学生有条理的表达能力和与人交流的能力. 情感、态度与价值观

1.

了解二元一次方程组的“消元”思想，初步理解“化未知为已知”和化复杂问题为简单问题的化归思想，享受学习数学的乐趣，增强学习数学的信心. 2.

培养学生合作交流、自主探索的良好习惯. 3.

体会方程组是刻画现实世界的有效数学模型，培养学生应用数学的意识.

4.

在用方程组解决实际问题的过程中，体验数学的实用性，激发学生学习数学的兴趣. 重点难点：

重点：用代入法解二元一次方程组. 难点：探索如何用代入法将“二元”转化为“一元”的消元过程. 教学准备：多媒体课件，黑板上板书好两种解法，前一节课必须讲“鸡兔同笼”的几种解法. 教学方法：引导发现法、小组合作. 课型课时：新授课1课时. 教学过程：

一、复习导入

同学们，我们昨天研究了我国古老的“鸡兔同笼”问题，并且用了两种不同的方程来解决了这个问题. 古老的“鸡兔同笼”问题：

“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足.问鸡、兔各几何？”

（提前板书在黑板上）解法一：

解：设鸡有x只，则兔有（35-x）只. 2x+4(35-x)=94

师：观察这两种解法，它们之间有什么共同点和不同点?（从解设解法二：

解：设鸡有x只，兔有y只. xy35

2x4y94

到式子）

生：鸡一样，都是x. 师：那不同点呢? 生：一元一次方程里兔子是（35-x）,二元一次方程组里兔子是y只. 师：那（35-x）与y之间存在怎样的等量关系？

生：相等. 师：为什么？

生：因为鸡和兔子一共35只，鸡有x只，所以兔子可以用（35-x）来表示。而二元一次方程组里y也表示兔子. 师：非常好，刚刚是从解设方面说的，现在我们从式子方面观察，有什么相同和不同？

生：一元一次方程和二元一次方程组里的第二个方程都等于94. 师：为什么？

生：因为它们的等量关系一样. 师：不同点呢？

生：一元一次方程里是（35-x）.二元一次方程组里的第二个方程是y. 师：又因为大家之前说过35-x与y相等，也就是说我们用35-x替代了y，那现在看二元一次方程组，如何找到y=35-x？

生：二元一次方程组里的第一个方程可以变成y=35-x的形式. 师：变成y=35-x以后我们用35-x替代了第二个方程里的y，从

而把二元一次方程组转化成了关于x的一元一次方程。在这个过程中我们消掉了未知数y.(引导学生自己发现代入消元的来龙去脉.) 师：接下来我们一起看今天的学习目标. 二、出示目标

1、用代入法解二元一次方程组.（大家回想刚刚的过程，我们用含x的式子来表示y,然后把它代入到了另一个方程里，替代了y,这个过程就是代入.）

2、体会解二元一次方程组时的“消元”思想.（通过代入法，我们消去了未知数y，把二元一次方程组转化成了关于x的一元一次方程，这个过程叫消元.）

3、会用二元一次方程组解决实际问题.（数学来源于生活，又服务于生活，通过今天的学习我们就能够解决生活中“鸡兔同笼”一类的问题.）

师：现在我们一起来试着解二元一次方程组. 三、讲授新课

xy35①2x4y94②（为了加以区别方程组里的两个方程，我们要给两个方程取名字.）

解：由①得：

Y=35-x ③

把③代入②得：

2x+4(35-x)=94

解得：x=23 把x=23代入①得：

Y=12 （因为二元一次方程组的解是一对数值，所以我们要把它们写出来.）

x23解得：y12

（又因为这是实际问题，所以我们要答.）

答：鸡有23只，兔有12只. 四、总结方法，得出概念

现在我们一起来总结一下解二元一次方程组的一般步骤：

（1）变形. x+y=35 (用一个未知数表示另一个未知数) （2）代入.（用35-x替代y,把二元一次方程转化成了一元一次方程）

（3）解一元一次方程. （4）回代.（求出另外一个未知数的值）

（5）写出方程组的解. 上面的解法，是把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解.这种方法叫做代入消元法，简称代入法. 五、巩固练习

x5y61、3x6y4

最为简单的方法是将________式中的_________表示为__________，

再代入__________ . 注：（1）把谁变形，用含谁的未知数表示谁，为什么？

（2）变形后的式子代入哪一个方程，为什么？

xy22、2x3y21

最为简单的方法是： . 六、小结

你在本节课的学习中体会到代入法的基本思想是什么？主要步骤有哪些？与你的同伴进行交流．

二元一次方程组 消元 一元一次方程

用代入法解二元一次方程组的一般步骤：

⑴变形（选择其中一个方程，把它变形为用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式）；

⑵代入求解（把变形后的方程代入到另一个方程中，消元后求出未知数的值）；

⑶回代求解（把求得的未知数的值代入到变形的方程中，求出另一个未知数的值

xa⑷写解（用yb的形式写出方程组的解.

送给大家一句名人语录：

“一切问题都可以转化为数学问题，一切数学问题都可以转化为代数问题，而一切代数问题又都可以转化为方程问题，因此，一旦解决了方程问题，一切问题将迎刃而解!”

——法国数学家 笛卡儿[Descartes, 1596-1650 ] （这个笛卡尔大家应该很熟悉，矿泉水百岁山广告里的男主角.）

七、布置作业

作业（分层次）：

1．教科书第97页习题8．2第1题、第2⑴⑵⑶题．

2．教科书第97页习题8．2第2⑷题．

八、学以致用

问题1：

篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜1场得2分，负1场得1分．某队为了争取较好名次，想在全部22场比赛中得到40分，那么这个队胜负场数应分别是多少？