小结 教学设计方案

第九章 不等式与不等式组 章末复习

一、思维导图

（1）去分母

（2）去括号

（3）移项

（4）合并同类项

（5）将未知数的系数化为1 （6）有些时候需要在数轴

上表示不等式的解集

（1）利用数轴法

（2

）直接比较法

比大小

（3）差值比较法

（4

）商值比较法

二、应用举例

性质1：

如果ab,那么acbc; 性质2：

如果ab，c0，

不等式性质

那么acbc(ab); cc解不等式

性质3：

如果ab，c0，

那么acbc(ab). cc＞

＜

≤

≥

≠

符号连接

一元一次不等式【组】

解不等式组：

可以先把其中的不等式逐条

算出各自的解集，然后分别在数轴上表示出来. ①“同小取小”

②“同大取大”

③“大小小大中间找”

④“大大小小无处找”

不等式与实际问题

设未知数

列不等式

求解写答

(注意要检验答案是否满足题意）

【例1】下列不等式，哪些总成立？哪些总不成立？哪些有时成立而有时不成立？

(1)9.42, (2)30, (3)b50, (4)x0, (5)b20, 65x5x.

解析：主要考虑未知数的取值，特别是正数、负数和零.

（1）总成立，（2）总成立，（3）当b小于-5时成立，

（4）当x≠0时成立，（5）不成立，（6）当x小于零时成立. 知识点：不等式的解集

【例2】若ab0,则下列式子：①a1b2,②11中，正确的有（ ）

aba1,③abab,④bA、1个 B、2个 C、3个 D、4个

解析：由ab0得，a、b同为负数并且ab. 如取a2,b1代入式子中.可判断①②③正确，故选C. 知识点：不等式的性质

【例3】不等式2x75的正整数解有（ ）

A、7个 B、6个 C、5个 D、4个

解析：先求出不等式的解：x6，再从中找出符合条件的正整数为6个

，故选B. 知识点：一元一次不等式的整数解

【例4】如果2(1x)的值是非正数，则x的取值范围是（ ）

32(1x)≤0. 故选A. 3A、x≤1 B、x≥1 C、x≤－1 D、x≥－1 解析：非正数也就是：0和负数，即知识点：不等式的运算,非正数

【例5】某景点的门票是10元/人，20人以上（含20人）的团体票8折优惠，现在有18位游客买了20人的团体票，（1）问：这样比买普通个人票总共便宜多少钱？（2）问：当不足20人时，多少人买20人的团体票才比普通票便宜？

分析：依题意得：（1）181020100.820（元）. （2）可设x人买20人的团体票才比普通票便宜，则

10x20100.8

解这个不等式得：x16，即17、18、19人时，买20人的团体票才比普通票便宜. 知识点：不等式及其运算

三、智能提升、章末检测

第九章

不等式与不等式组单元检测（一）

（时间：120分钟，满分：100分）

一、选择题（每小题3分，共30分）

1．下列式子中，是不等式的有(

)．

①2x7；②3x4y；③32；④2a30；⑤x1；⑥ab1. A．5个

B．4个

C．3个

【知识点：不等式的定义】

【解析】：用不等号连接的式子都是不等式．故选B 2．若a＜b，则下列各式正确的是(

)．

A．3a＞3b B．－3a＞－3b

C．a－3＞b－3 abD.3＞3

D．1个

【知识点：不等式的性质】

【解析】：由a＜b可知，A，C，D三项均错误．故选B 13．“x与y的和的3不大于7”用不等式表示为(

)．

11A. 3(x＋y)＜7

B. 3(x＋y)＞7

11C. 3x＋y≤7

D. 3(x＋y)≤7

【知识点：列不等式】

【解析】：不大于是小于或等于．故选D 4．下列说法错误的是(

)．

A．不等式x－3＞2的解集是x＞5 B．不等式x＜3的整数解有无数个

C．x＝0是不等式2x＜3的一个解

D．不等式x＋3＜3的整数解是0 【知识点：

不等式的解集】

【解析】：不等式x＋3＜3的解集是x＜0，故0不是它的整数解．故选D 2x1x15．不等式组的解集是(

)．

x84x1

A．x≥3 B．x≥2

C．2≤x≤3

D．空集

【知识点：不等式组的解集】

【解析】：由不等式2x－1≥x＋1得x≥2；由不等式x＋8≤4x－1得x≥3，故不等式组的解集是x≥3.

故选A x106．不等式组的解集在数轴上表示为(

). 2x40

【知识点：不等式的解集.数学思想：数形结合】

【解析】：先求出两个不等式的解集，然后把解集表示在数轴上即可进行选择．故选B 7．不等式3x2的所有整数解的代数和是(

). A．0

B．6

C．－3

D．3 【知识点：不等式的整数解】

【解析】：所有整数解为－2，－1,0,1,2.故选A 38．已知关于x的方程ax30的解是x＝2，则不等式(a)x12x的解集是2(

) A．x≥－1

B．x≤－1

3C．x≥2

3D．x≤2

【知识点：不等式的解，解不等式】

3【解析】：ax－3＝0的解是x＝2，故有2a－3＝0，所以a＝2，代入不等式中即可求出不等式的解集．故选A xa09．已知关于x的不等式组的整数解共有5个，则a的取值范围是(

). 4x1A．－3＜a＜－2 C．－3≤a≤－2

B．－3＜a≤－2 D．－3≤a＜－2 【知识点：不等式组的整数解.数学思想：分类讨论思想】

【解析】：由不等式x－a≥0得x≥a；由不等式4－x＞1得x＜3，故不等式组的解集为a≤x＜3，整数解有5个，则分别为2,1,0，－1，－2，则a处在－3与－2之间，由题意得a的取值范围是－3＜a≤－2. 故选B 2x310．不等式组的最小整数解是(

)．

x182xA．1

B．0

C．2

D．3 【知识点：不等式组的解】

3【解析】：解不等式2x＞－3得x＞－2，解不等式x－1≤8－2x得x≤3，故不等3式组的解集为－2＜x≤3，最小整数解为－1. 故选A 二、填空题（每小题3分，共24分）

1111．用适当的符号表示：x的3与y的4的差不大于1，为__________．

【知识点：列不等式】

1111【解析】：根据不等式定义得：x的与y的的差不大于－1为xy1

343411故本题答案为：

xy1

3412．不等式3x＋2≥5的解集是__________．

【知识点：解不等式】

【解析】：根据不等式的性质直接解答即可，3x≥3即x≥1

2x103x13．不等式组的解集为________．

5x3x【知识点：解不等式组】

【解析】：先解不等式组中的每一个不等式的解集，再利用求不等式组解集的口5诀“大小小大中间找”来求不等式组的解集为2＜x≤2

xa014．已知关于x的不等式组的整数解共有3个，则a的取值范围是1x0__________．

【知识点：解不等式组】

xa0【解析】：得解为1x0两种情况．求出－3≤a＜－2

15．若代数式,正数解有三个，故注意检验a＝－2和a＝－33x115x的值不小于代数式的值，则x的取值范围是_____．

56【知识点：解不等式】

【解析】：根据题意可得：3x515x35,去分母，得18x30525x,移项，得43x35，x

564316．若点(12m，m4)在第三象限内，则m的取值范围是______．

【知识点：象限，列不等式组，解不等式组】

112m0【解析】：该点在第三象限，则有.解出2＜m＜4 m40xa217．若不等式组无解，则a的取值范围是__________．

x3a2【知识点：解不等式组】

【解析】：“大大小小没法解”，所以应有a＋2≥3a－2.即≤2

18．有10名菜农，每人可种茄子3亩或辣椒2亩，已知茄子每亩可收入0.5万元，辣椒每亩可收入0.8万元，要使总收入不低于15.6万元，则最多只能安排__________人种茄子．

【知识点：列不等式，解不等式】

【解析】：设安排x人种茄子，依题意可列不等式：3x×0.5＋2(10－x)×0.8≥15.6.

解出x≤4

三、解答题（共46分）(19题6分，20到24题各8分) x33x1①19．解不等式组，并把解集在数轴上表示出来2

13x18x②

【知识点：解不等式组，数轴上表示解集.数学思想：数形结合思想】

【解析】：不等式①去分母，得x－3＋6≥2x＋2，移项，合并得x≤1.不等式②去括号，得1－3x＋3＜8－x，移项，合并得x＞－2.∴不等式组的解集为－2＜x≤1.

数轴表示为

a20．如果关于x的方程2x4a的解大于方程ax1xa2的解，求a的3取值范围．

【知识点：一元一次方程，解不等式】

a2a【解析】：解方程3－2x＝4－a，得x＝3－2. a解方程a(x－1)＝x(a－2)，得x＝2. 2aa依题意有3－2＞2.解得a＞12. 2xy25a21．已知方程组的解x,y的和是负数，求满足条件的最小整数a. x2y3a【知识点：解方程组，解不等式组，最小整数】

4－22ax＝3a＋5，【解析】：解方程组，得2－11ay＝5.4－22a2－11a得3a＋5＋5＜0. 1解得a＞3.所以满足条件的最小整数a为1. 22．已知一件文化衫价格为18元，一个书包的价格比一件文化衫价格的2倍还少6元．

(1)求一个书包的价格是多少元？

(2)某公司出资1 800元，拿出不少于350元但不超过400元的经费奖励山区小学的优秀学生，剩余经费还能为多少名山区小学的学生每人购买一个书包和一件文化衫？

【知识点：

一元一次不等式（组）的应用】

【解析】：(1)一个书包的价格为18×2－6＝30(元)．

(2)设剩余经费还能为x名山区小学生每人购买一个书包和一件文化衫，由题意，15得350≤1 800－(18＋30)x≤400.解得296≤x≤3024.所以x＝30.

依题意，

所以剩余经费还能为30名山区小学的学生每人购买一个书包和一件文化衫．

23．某校七年级春游，现有36座和42座两种客车供选择租用，若只租用36座客车若干辆，则正好坐满；若只租用42座客车，则能少租一辆，且有一辆车没有坐满，但超过30人；已知36座客车每辆租金400元，42座客车每辆租金440元．

(1)该校七年级共有多少人参加春游？

(2)请你帮该校设计一种最省钱的租车方案．

【知识点：

一元一次不等式（组）的应用】

36x<42(x－1)，x>7，【解析】：(1)设租36座的车x辆．据题意得解得，x<9.36x>42(x－2)＋30，由题意x应取8，则春游人数为36×8＝288(人)．

(2)方案①：租36座车8辆的费用：8×400＝3 200元，

方案②：租42座车7辆的费用：7×440＝3 080元，

方案③：因为42×6＋36×1＝288，租42座车6辆和36座车1辆的总费用：6×440＋1×400＝3 040元．

所以方案③：租42座车6辆和36座车1辆最省钱．

24. 某校为了奖励在数学竞赛中获胜的学生,买了若干本课外读物准备送给他们.如果每人送3本,则还余8本;如果前面每人送5本,则最后一人得到的课外读物不足3本.设该校买了m本课外读物,有x名学生获奖.请回答下列问题: (1)用含x的代数式表示m; (2)求出该校的获奖人数及所买课外读物的本数

【知识点：

一元一次不等式（组）的应用】

【解析】：（1）根据题意直接列式即可；m=3x+8

（2）根据“每人送3本，则还余8本”“前面每人送5本，则最后一人得到的课外读物不足3本”列不等式，解得即可．

（2）根据题意得：3x+8−5(x−1)＞0且3x+8−5(x−1)＜3，解得：5＜x＜6，

因为x为正整数，所以x=6，把x=6代入m=3x+8得，m=26，

答：该校获奖人数为6人，所买课外读物为26本．

第九章

不等式与不等式组单元检测（二）

（时间：120分钟，满分：100分）

一、选择题（每小题3分，共30分）

1.下列列出的不等关系中，正确的是(

) A. m与4的差不是负数，可表示为x40

B. x不大于3可表示为x3

C. a不是负数可表示为a0

D. n与2的和是非负数可表示为n20

【知识点：列不等式】

解析：A正确；x不大于3可表示为x3，故B错误；a不是负数可表示为a0，故C错误；n与2的和是非负数可表示为n20，故D错误.故选A 2.不等式2x2x1的解集为（

）

2388

D.x

77A. x8

B.x8

C. x【知识点：解不等式】

解析：不等式2x2x1两边同乘6，得32x22x1，

23即63x4x2,所以x8. 故选B 3.不等式x33x1的解集在数轴上表示如下，其中正确的是（

）

【知识点：解不等式，数轴上表示解集.数学思想：数形结合思想】

解析：移项，得x3x13合并同类项，得2x4x的系数化为1，得x2. ∴

选项B正确. 4.对于实数x，我们规定x表示不大于x的最大整数，例如1.21，33，2.53，若A．40

x45,则x的取值可以是（

）

10B．45

C．51

D．56

【知识点：解不等式组，新定义】

解析：根据题意得5x451，解得46≤x＜56，故选C．

10x84x15．将不等式组13的解集在数轴上表示出来，正确的是（

x8x22）

【知识点：解不等式组，数轴上表示解集.数学思想：数形结合思想】

解析：解不等式组得3x4.故选C 6．已知ab,则下列不等式中不正确的是（

）

A．4a4b

B．a4b4

C．4a4b

D．a4b4

【知识点：不等式的性质】

解析：根据不等式的基本性质，不等式两边同时加上或减去同一个数，不等号的方向不变；不等式两边同时乘或除以同一个正数，不等号的方向不变，同时乘或除以同一个负数，不等号的方向要改变.故选C 7．满足1x2的数在数轴上表示为（

）

【知识点：数轴上表示解集.数学思想：数形结合思想】

解析：注意解集表示时的方向及点的空心与实心的区别.故选Ｂ

8．从甲地到乙地有16 km，某人以4 km/h～8 km/h的速度由甲地到乙地，则他用的时间大约为（

）

A．1 h～2 h

B．2 h～3 h

C．3 h～4 h

D．2 h～4 h 【知识点：一元一次不等式组的应用】

解析：路程一定，速度的范围直接决定所用时间的范围.

故选D

9．若方程3mx11m3x5x解是负数，则m的取值范围是（

）

A．m1.25

B．m1.25

C．m1.25

D．m1.25

【知识点：一元一次方程，一元一次不等式】

解析：先通过解方程求出用m表示的x的式子，然后根据方程的解是负数，得到关于m的不等式，求解不等式即可. 故选A 2xa1010.若不等式组的解集为0x1，则a的值为（

）

2xa10

A．1

B．2

C．3

D．4 【知识点：一元一次不等式组.数学思想：化归思想】

解析：解不等式①，得x1a1a，解不等式②，得x，

22∴

原不等式组的解集为：1a1ax. 222xa10∵

不等式组的解集为0x1，

2xa10∴1a1a0，1，解得a1，故选A．

22二、填空题（每小题3分，共24分）

x3x1711．不等式组的解集是

. 25x13x【知识点：解不等式组】

1解析：分别解两个不等式，求得两个不等式的解集分别是x2和x.因为211两个不等式解集的公共部分是2x，所以不等式组的解集是2x. 2212．从小明家到学校的路程是2 400米，如果小明早上7点离家，要在7点30分到40分之间到达学校，设步行速度为x米/分，则可列不等式组为__________________，小明步行的速度范围是_________．

【知识点：不等式组】

解析：7点出发，要在7点30分到40分之间到达学校，意味着小明在30分钟之内的路程不能超过2 400米，而40分钟时的路程至少达到2 400米．由此可列30x2400出不等式组为



解出60≤x≤80,故小明步行的速度范围为

60米/分～40x240080米/分.

13．若xa3a2,y，且x2y，则a的取值范围是________．

23【知识点：不等式组】

a322解析：根据题意，可得到不等式组解不等式组即为1a4. a22314.不等式1xm3m的解集为x＞1，则m的值为_________. 3【知识点：不等式的解集】

解析：去分母，得xm33m，去括号，得xm93m，移项，合并同类项，得x92m.∵

此不等式的解集为x1，∴

92m1，解得m4．

x84x115．若不等式组的解集是x3,则m的取值范围是

．

xm【知识点：不等式组的解集】

x3解析：解不等式组可得结果，因为不等式组的解集是x＞3，所以结合数xm轴，根据“同大取大”原则，不难看出m的取值范围为m3. xa016．已知关于x的不等式组的整数解共有5个，则a的取值范围32x1是

．

【知识点：不等式组的解集，整数解.数学思想：分类讨论思想】

解析：解不等式组可得结果ax2，因此五个整数解为2、1、0、-1、-2，所以3a2. 17．某采石场爆破时，点燃导火线的甲工人要在爆破前转移到400米以外的安全区域．甲工人在转移过程中，前40米只能步行，之后骑自行车．已知导火线燃烧的速度为0.01米/秒，步行的速度为1米/秒，骑车的速度为4米/秒．为了确保甲工人的安全，则导火线的长要大于_________米．

【知识点：不等式的应用】

解析：设导火线的长度为x米，工人转移需要的时间为：由题意得x≥130×0.01=1.3（米）．

40360130（秒），14

18．某种商品的进价为800元，出售时标价为1 200元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于5%，则至多可打

折．

【知识点：不等式的应用】

解析：设最低打x折，由题意可得1200三、解答题（共46分）

19．(6分)解不等式2x113x2,并把它的解集在数轴上表示出来.

x800800500，解得x7. 10

第19题【知识点：解不等式组，数轴上表示解集.数学思想：数形结合思想】

解析：去括号，得2x213x2,移项，得2x3x221，合并同类项，得x1,系数化为1,得x1.这个不等式的解集在数轴上表示如下图所示.

20.（8分）已知关于x的方程xm2x1m的解为非正数，求m的取值范围．

32【知识点：解方程，解不等式】

解析：解出关于x的方程xm2x134mm，得x. 324因为方程的解为非正数，所以有34m30，解得m44

2x1521.解不等式组

x23x12请结合题意填空，完成本题的解答. (1)解不等式①，得

；

(2)解不等式②，得

；

(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：

第21题图

(4)原不等式组的解集为

. 【知识点：解不等式不等式（组）.数学思想：数形结合思想】

解析：(1)x3；

(2)x5；

(3)

(4)3≤x≤5.

22．（8分）今秋，某市白玉村水果喜获丰收，果农王灿收获枇杷20吨，桃子12吨.现计划租用甲、乙两种货车共8辆将这批水果全部运往外地销售，已知一辆甲种货车可装枇杷4吨和桃子1吨，一辆乙种货车可装枇杷和桃子各2吨．

（1）王灿如何安排甲、乙两种货车可一次性地运到销售地？有几种方案？

（2）若甲种货车每辆要付运输费300元，乙种货车每辆要付运输费240元，则果农王灿应选择哪种方案，使运输费最少？最少运费是多少？

【知识点：

一元一次不等式（组）的应用】

解析：（1）设安排甲种货车x辆，则安排乙种货车（8－x）辆，

4x28x20根据题意，得

x28x12解此不等式组得

2≤x≤4．

因为x是正整数，所以x可取的值为2,3,4．因此安排甲、乙两种货车有三种方案：

甲种货车

乙种货车

方案一

2辆

6辆

方案二

3辆

5辆

方案三

4辆

4辆

（2）方案一所需运费300×2+240×6= 2 040（元）；

方案二所需运费

300×3+240×5 =2 100（元）；

方案三所需运费300×4 +240×4 =2 160（元）．

所以王灿应选择方案一运费最少，最少运费是2 040元．

23.（8分）为了举行班级晚会，孔明准备去商店购买20个乒乓球做道具，并买一些乒乓球拍做奖品，已知乒乓球每个1.5元，球拍每个22元，如果购买金额不超过200元，且买的球拍尽可能多，那么孔明应该买多少个球拍？

【知识点：

一元一次不等式（整数解）的应用】

解析：设孔明购买球拍x个，根据题意，得1.52022x200，解得x7由于x取正整数，故x的最大值为7.

答：孔明应该买7个球拍.

8. 11

24.（8分）一家手机经销商计划购进某品牌的A型、B型、C型三款手机共60部，每款手机至少要购进8部，且恰好用完购机款61 000元．设购进A型手机x部，B型手机y部．三款手机的进价和预售价如下表：

手机型号

进

价（单位：元/部）

预售价（单位：元/部）

A型

900 1 200 B型

1 200 1 600 C型

1 100 1 300 （1）用含x，y的式子表示购进C型手机的部数；

（2）求出y与x之间的函数关系式；

（3）假设所购进手机全部售出，综合考虑各种因素，该手机经销商在购销这批手机过程中需另外支出各种费用共1500元．

①求出预估利润P（元）与x（部）的函数关系式；（注：预估利润P＝预售总额-购机款-各种费用）; ②求出预估利润的最大值，并写出此时购进三款手机各多少部? 【知识点：

一元一次不等式（组）的应用，不等式的整数解】

解析：（1）60-x-y；

（2）根据题意，得

900x+1 200y+1 100（60-x-y）= 61 000，整理得

y=2x-50．

（3）①根据题意，得

P= 1 200x+1 600y+1 300（60-x-y）-61 000-1 500，

整理，得P=500x+500．

②购进C型手机部数为：60-x-y =110-3x．根据题意列不等式组，得

x82x508

，解得29≤x≤34．

1103x8所以x范围为29≤x≤34，且x为整数．

因为P是x的一次函数，k=500＞0，所以P随x的增大而增大．

所以当x取最大值34时，P有最大值，最大值为17 500元．

此时购进A型手机34部，B型手机18部，C型手机8部．