存在既不是整数，也不是分数的数教学评价实录

第二章

实数

1

认识无理数

教学目标

【知识与技能】

1.通过拼图活动,让学生感受无理数产生的实际背景和引入的必要性.

2.能判断给出的数是否为有理数,并能说出理由.

【过程与方法】

1.让学生亲自动手实践,感受无理数存在的必要性和合理性,培养学生的动手能力和合作精神.

2.通过回顾有理数的有关知识,能正确地进行推理和判断,识别某些数是否为有理数,训练他们的思维判断能力.

【情感、态度与价值观】

1.激励学生积极参与教学活动,提高大家学习数学的热情.

2.引导学生充分进行交流,讨论与探索等教学活动,培养他们的合作与钻研精神.

3.了解有关无理数发现的知识,鼓励学生大胆质疑,培养他们为真理而奋斗的献身精神.

教学重难点

【重点】

1.感知生活中确实存在着不同于有理数的数.

2.会判断一个数是否为有理数或无理数.

【难点】

1.把两个边长为1的正方形拼成一个大正方形的动手操作过程.

2.判断一个数是否为有理数.

教学过程

一、创设情境,引入新课

师:同学们已经上了好多年的学,学过很多的数,同学们能概括一下都学过哪些数吗?

生1:在小学我们学过自然数、小数、分数.

生2:在初一我们还学过负数.

师:对,我们在小学学了非负数,在初一发现数不够用了,引入了负数,即把从小学学过的正数、零扩充到有理数范围,有理数包括整数和分数,那么有理数范围是否就能满足我们实际生活的需要呢?今天这节课我们就来共同研究这个问题.

二、讲授新课

1.提出问题.

师:请同学们四个人为一组,拿出自己准备好的两个边长为1的正方形和剪刀,认真讨论之后,动手剪一剪,拼一拼,设法得到一个大的正方形,好吗?

生:好!

(学生非常高兴地投入到活动中.)

师:经过大家的共同努力,每个小组都完成了任务,请同学们把自己拼的图展示一下.

同学们非常踊跃地呈现自己的作品给老师.

师:现在我们一齐把大家的做法总结一下:

师:下面再请大家共同思考一个问题,假设拼成的大正方形的边长为a,那么a应满足什么条件呢?

生1:a是正方形的边长,所以a肯定是正数.

生2:因为两个小正方形的面积之和等于大正方形面积,所以根据正方形的面积公式可知a=2.

生3:由a=2可判断a应是1点几.

师:同学们说得都有道理,前面我们已经总结了有理数包括整数和分数,那么a是整数吗?a是分数吗?请大家分组讨论后回答.

生1:我们组的结论是:因为1=1,2=4,3=9,…,可知整数的平方越来越大,所以a应在1和2之间,故a不可能是整数.

生2:因为×=,×=,×=,…,两个相同分数的乘积都为分数,所以a不可能是分数.

师:经过大家的讨论可知,在等式a=2中,a既不是整数,也不是分数,所以a不是有理数,但在现实生活中确实存在像a这样的数,由此看来,数又不够用了.

2.做一做.

(教师多媒体出示图片)

(1)在下图中,以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是多少?

222222

(2)设该正方形的边长为b,那么b应满足什么条件呢?

(3)b是有理数吗?

师:请大家先回忆一下勾股定理的内容.

生:在直角三角形中,若两条直角边长分别为a、b,斜边长为c,则有a+b=c.

师:在这道道题中,两条直角边长分别为1和2,斜边长为b,根据勾股定理得b=1+2,即b=5,那么b是有理数吗?请举手回答.

生1:因为2=4,3=9,2

生2:没有两个相同的分数相乘得5,故b不可能是分数.

生3:因为没有一个整数或分数的平方为5,所以b不是有理数.

师:大家分析得很准确,像上面讨论的数a、b都不是有理数.下面我们再来看一个问题:

(教师多媒体出示)

面积为2的正方形的边长a究竟是多少呢?

(1)如图,三个正方形的边长之间有怎样的大小关系?说说你的理由.

222222222222

(2)边长a的整数部分是几?十分位是几?百分位呢?千分位呢?……借助计算器进行探索.

(3)小明将他的探索过程整理如下,你的结果呢?

边长a

1

1.4

1.41

1.414

1.414 2

面积S

1

1.96

1.988 1

1.999 396

1.999 961 64

师:事实上,a=1.41421356…是一个无限不循环小数.同样,对于体积为2的正方体,借助计算器,可以得到它的棱长为1.25992105…,它也是一个无限不循环小数.请同学们把下列各数表示成小数:

3,,,-,.

学生计算并回答.

师:通过计算,同学们发现了什么?

生:这些数可以用有限小数表示,或者可以用无限循环小数表示.

师:很好!事实上,有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示.反过来,任何有限小数或无限循环小数也都是有理数.我们把无限不循环小数称为无理数.我们十分熟悉的圆周率π=3.14159265…也是一个无限不循环小数,因此它也是一个无理数.还有如0.585885888588885…(相邻两个5之间8的个数逐次加1),也是无理数.

三、例题讲解

【例】

下列各数中,哪些是有理数?哪些是无理数?

3.14,-,0.,0.101 000 100 000 1…(相邻两个1之间0的个数逐次加2).

【答案】

有理数有:3.14,-,0.;无理数有:0.101 000 100 000 1…

四、课堂小结

师:通过这节课的学习,同学们有什么收获?

学生发言,教师点评.