1.1.1 命题第二课时教案

选修1-1

命题及其关系

1.1.1

命

题

教学任务分析

使学生了解命题的概念；了解四种命题；会分析四种命题的关系。命题、四种命题及其相互关系是逻辑学的基本知识。数学学科包含了大量的命题，了解命题的基本知识，认识命题的相互关系，对于掌握具体的数学学科知识很有帮助。

知识与技能

1.了解命题的概念

2.会判断命题的真假，能够把命题化为“若p，则q”的形式. 重点与难点;

重点是命题的概念

难点是会判断命题的真假

教学情境设计

问题1：我们在初中已经学过许多数学命题，什么叫做命题？（师生互动，举例说明数学命题，分析命题的概念）

知识点1

命题的定义

(1)用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题. (2)判断为真的语句叫做真命题. (3)判断为假的语句叫做假命题. 思考

(1)“x>5”是命题吗？(2)陈述句一定是命题吗？

提示

(1)“x>5”不是命题，因为它不能判断真假. (2)陈述句不一定是命题，因为不知真假，只有可以判断真假的陈述句才叫做命题. 知识点2

命题的结构

从构成来看，所有的命题都由条件和结论两部分构成.在数学中，命题常写成“若p，则q”的形式.通常，我们把这种形式的命题中的p叫做命题的条件，q叫做命题的结论. 思考把命题“三角形的内角和等于180°”写成“若p，则q”的形式为________. 答案

若一个平面图形是三角形，则它的内角和等于180°. 课堂互动

题型一

命题的判断

【例1】

(1)下列语句为命题的是(

)

A.x－1＝0

B.2＋3＝8

C.你会说英语吗？

D.这是一棵大树

(2)下列语句为命题的有________(填序号). ①一个数不是正数就是负数；

②梯形是不是平面图形呢？

③22 015是一个很大的数；

④4是集合{2，3，4}的元素；

⑤作△ABC≌△A′B′C′.

解析

(1)A中x不确定，x－1＝0的真假无法判断；B中2＋3＝8是命题，且是假命题；C不是陈述句，故不是命题；D中“大”的标准不确定，无法判断真假. (2)①是陈述句，且能判断真假；②不是陈述句；③不能断定真假；④是陈述句且能判断真假；⑤不是陈述句. 答案

(1)B

(2)①④

规律方法

并不是所有的语句都是命题，只有能判断真假的陈述句才是命题.命题首先是“陈述句”，其他语句如疑问句、祈使句、感叹句等一般都不是命题；其次是“能判断真假”，不能判断真假的陈述句不是命题，如“x≥2”、“小高的个子很高”等都不能判断真假，故都不是命题.因此，判断一个语句是否为命题，关键有两点：①是否为陈述句；②能否判断真假.

【训练1】

判断下列语句是不是命题. (1)求证3是无理数；

(2)x2＋2x＋1≥0；

(3)你是高二学生吗？

(4)并非所有的人都喜欢苹果；

(5)一个正整数不是质数就是合数；

(6)若x∈R，则x2＋4x＋7＞0；

(7)x＋3>0. 解

(1)(3)(7)不是命题，(2)(4)(5)(6)是命题. 题型二

命题真假的判断

【例2】

判断下列命题的真假：

(1)已知a，b，c，d∈R，若a≠c，b≠d，则a＋b≠c＋d；

(2)若x∈N，则x3>x2成立；

(3)若m>1，则方程x2－2x＋m＝0无实数根；

(4)存在一个三角形没有外接圆. 解

(1)假命题.反例：1≠4，5≠2，而1＋5＝4＋2. (2)假命题.反例：当x＝0时，x3>x2不成立.

(3)真命题.∵m>1⇒Δ＝4－4m<0，

∴方程x2－2x＋m＝0无实数根. (4)假命题.因为不共线的三点确定一个圆，即任何三角形都有外接圆. 规律方法

要判断一个命题是真命题，一般需要经过严格的推理论证，在判断时，要有理有据，有时应综合各种情况作出正确的判断.而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可. 【训练2】

下列命题：

①若xy＝1，则x，y互为倒数；

②同一平面内四条边相等的四边形是正方形；

③平行四边形是梯形；

④若ac2>bc2，则a>b. 其中真命题的序号是__________. 解析

①④是真命题，②同一平面内四条边相等的四边形是菱形，但不一定是正方形，③平行四边形不是梯形. 答案

①④

题型三

命题的构成形式

【例3】

(1)已知命题：弦的垂直平分线经过圆心并且平分弦所对的弧，若把上述命题改为“若p，则q”的形式，则p是______________________，q是______________________________________________________________. 答案

一条直线是弦的垂直平分线

这条直线经过圆心且平分弦所对的弧

(2)把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假. ①已知x，y为正整数，当y＝x＋1时，y＝3，x＝2；

②当abc＝0时，a＝0且b＝0且c＝0. 解

①已知x，y为正整数，若y＝x＋1，则y＝3，x＝2，假命题. ②若abc＝0，则a＝0且b＝0且c＝0，假命题. 规律方法

把一个命题改写成“若p，则q”的形式，首先要确定命题的条件和结论，若条件和结论比较隐含，要补充完整，有时一个条件有多个结论，有时一个结论需多个条件，还要注意有的命题改写形式也不唯一. 【训练3】

指出下列命题中的条件p和结论q，并判断各命题的真假. (1)若四边形是平行四边形，则它的对角线互相平分；

(2)若a>0，b>0，则a＋b>0；

(3)面积相等的三角形是全等三角形. 解

(1)条件p：四边形是平行四边形，结论q：四边形的对角线互相平分.真命题. (2)条件p：a>0，b>0，结论q：a＋b>0.真命题. (3)条件p：两个三角形面积相等，结论q：它们是全等三角形.假命题. 课堂达标

1.下列语句不是命题的个数为(

) ①2<1；②x<1；③若x<1，则x<2；④函数f(x)＝x2是R上的偶函数. A.0

B.1 C.2

D.3 解析

①③④可以判断真假，是命题；②不能判断真假，所以不是命题. 答案

B 2.下列命题为真命题的是(

) A.互余的两个角不相等

B.相等的两个角是同位角

C.若a2＝b2，则|a|＝|b|

D.三角形的一个外角等于和它不相邻的一个内角

解析

由平面几何知识可知A，B，D三项都是错误的. 答案

C 3.给出下列四个命题：

①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；

②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；

③垂直于同一条直线的两条直线相互平行；

④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其中，为真命题的是(

) A.①②

B.②③

C.③④

D.②④

解析

当两个平面相交时，一个平面内的两条直线可以平行于另一个平面，故①错；由平面与平面垂直的判定定理可知②正确；空间中垂直于同一条直线的两条直线可以平行、相交也可以异面，故③错；若两个平面垂直，在一个平面内与它们的交线垂直的直线与另一个平面垂直，故④正确. 答案

D 4.将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断其真假.

(1)正n边形(n≥3)的n个内角全相等；

(2)负数的立方是负数；

(3)已知x，y为正整数，当y＝x－5时，y＝－3，x＝2. 解

(1)若一个多边形是正n边形，则这个正n边形的n个内角全相等.是真命题. (2)若一个数是负数，则这个数的立方是负数.是真命题. (3)已知x，y为正整数，若y＝x－5，则y＝－3，x＝2.是假命题. 课堂小结

1.根据命题的定义，可以判断真假的陈述句是命题.命题的条件与结论之间属于因果关系，真命题需要给出证明，假命题只需举出一个反例即可. 2.任何命题都是由条件和结论构成的，可以写成“若p，则q”的形式.含有大前提的命题写成“若p，则q”的形式时，大前提应保持不变，且不写在条件p中.

作业：习题1.1（第8页）A组1.2.3.4