3.4 生活中的优化问题举例教学内容

生活中的优化问题举例（第一课时）

授课人

陈捷

教学目标：1、掌握导数在解决实际问题中的应用

2、培养学生主动发现问题、分析问题、解决问题的能力

教学重难点：数学模型的建立及导数在求最值时的运用

教学手段：多媒体课件辅助教学

教学过程：

一、复习回顾：用导数求最值的方法

（1）求f(x)在(a,b)内的极值；

（2）将f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值，得出函数f(x)在a,b上的最值

二、新课讲解：

生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具．这一节，我们利用导数，解决一些生活中的优化问题．

实例一：利润问题

例1、饮料瓶大小对饮料公司利润的影响

（1）你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些？

（2）是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？

【背景知识】：某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料．瓶子的制造成本是 0.8r2分，其中

r

是瓶子的半径，单位是厘米。已知每出售1 mL的饮料，制造商可获利 0.2 分,且制造商能制作的瓶子的最大半径为 6cm 问题：（１）瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？

（２）瓶子的半径多大时，每瓶的利润最小？

解：由于瓶子的半径为r，所以每瓶饮料的利润是

4

yfr0.2r30.8r23

r320.8r31 r,0

6

令fr0.8(r22r)0

解得

r2（r0舍去）

当r0,2时，fr0；当r2,6时，fr0．

当半径r2时，fr0它表示fr单调递增，即半径越大，利润越高；

当半径r2时，fr0

它表示fr单调递减，即半径越大，利润越低．

（1）

半径为2cm

时，利润最小，这时f20，表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润是负值．

（2）

半径为6cm时，利润最大．

换一个角度：如果我们不用导数工具，直接从函数的图像上观察，会有什么发现？

有图像知：当r3时，f30，即瓶子的半径为3cm时，饮料的利润与饮料瓶的成本恰好相等；当r3时，利润才为正值．

当r0,2时，fr0，fr为减函数，其实际意义为：瓶子的半径小于2cm时，瓶子的半径越大，利润越小，半径为2cm

时，利润最小．

实例二：油耗问题

我们知道，汽油的消耗量w（单位：L）与汽车的速度v（单位：km/h）之间有一定的关系，汽油的消耗量w是汽车速度v的函数．根据你的生活经验，思考下面两个问题：

（1）

是不是汽车的速度越快，汽车的消耗量越大？

（2）

“汽油的使用率最高”的含义是什么？

分析：研究汽油的使用效率（单位：L/m）就是研究秋游消耗量与汽车行驶路程的比值．如

果用G表示每千米平均的汽油消耗量，那么Gw，其中，w表示汽油消耗量（单位：L），

s．这样，求“每千米路程的汽油消耗量最少”，就是求s表示汽油行驶的路程（单位：km）G的最小值的问题．

通过大量的统计数据，并对数据进行分析、研究，人们

发现，汽车在行驶过程中，汽油平均消耗率g（即每小时的

汽油消耗量，单位：L/h）与汽车行驶的平均速度v（单位：

km/h）之间有如图所示的函数关系gfv．

从图中不能直接解决汽油使用效率最高的问题．因此，我们首先需要将问题转化为汽

2

油平均消耗率g（即每小时的汽油消耗量，单位：L/h）与汽车行驶的平均速度v（单位：km/h）之间关系的问题，然后利用图像中的数据信息，解决汽油使用效率最高的问题．

wwg解：因为

Gt

svstgg这样，问题就转化为求的最小值．从图象上看，表示经过原点与曲线上点的直线的vv斜率．进一步发现，当直线与曲线相切时，其斜率最小．在此切点处速度约为90km/h．

因此，当汽车行驶距离一定时，要使汽油的使用效率最高，即每千米的汽油消耗量最小，此时的车速约为90km/h．从数值上看，每千米的耗油量就是图中切线的斜率，即f90，约为

L．

三、课堂练习：

练习、统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y（升）关于行驶速度x（千米/小时）的函数解析式可以表示：y若已知甲、乙两地相距100千米。

（I）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油为

升;

（II）当速度为x千米/小时时，汽车从甲地到乙地需行驶

小时，记耗油量

为h(x)升，则其解析式为:

. （III）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？

13x3x8(0x120)，

12800080x2(元)，由于受到补充练习：已知某厂每天生产x件产品的成本为c25000200x40该厂产能的影响，该厂每天至多只能生产800件产品，则要使平均成本最低，每天应生产多少件产品呢？

四、小结：

解决优化问题的方法：首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系。再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具．

3

利用导数解决优化问题的基本思路：

优化问题

建立数学模型

用函数表示的数学问题

优化问题的答案

作答

五、布置作业：

解决数学模型

用导数解决数学问题

4