3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则教学设计实例

导数与函数的单调性

〖模型总结〗

1、

关系式为“加”型

（1）若f'(x)f(x)0，

则构造[exf(x)]'ex[f'(x)f(x)]

（2）若xf'(x)f(x)0，

则构造[xf(x)]'xf'(x)f(x)

（3）若xf'(x)nf(x)0，

则构造[xnf(x)]'xnf'(x)nxn1f(x)xn1[xf'(x)nf(x)]

(4)若f'(x)g(x)f(x)g'(x)0，

则构造

f(x)g(x)'f'(x)g(x)f(x)g'(x)

2、关系式为“减”型

（1）若f'(x)f(x)0，

f(x)f'(x)exf(x)exf'(x)f(x) 构造[x]'

e(ex)2ex （2）若xf'(x)f(x)0，

构造[f(x)xf'(x)f(x)]'

xx2 （3）若xf'(x)nf(x)0，

f(x)xnf'(x)nxn1f(x)xf'(x)nf(x) 则构造[n]'x(xn)2xn1（备注：本类型仅作了解）

(4)若fxgxfxgx≥0，

f(x)f(x)g(x)f(x)g(x)则构造

g(x)g(x)2

1

口诀：1.加减形式积商定

2.系数不同幂来补

3.符号讨论不能忘〖教学过程〗

一、真题体验

真题体验Ⅰ

(2015年全国新课标卷二理科数学第12题）设函数f(x)是奇函数f(x)(xR)的导函数，f(1)0，当x > 0时，xf(x)f(x)0，则使得函数f(x)0成立的x的取值范围是

A.(,1)(0,1)

B．(1,0)C．(,1)(1,0)

D．(0,1)(1,)

(1,)

真题体验Ⅱ

（2017年淮北市第一次模拟理科数学第12题）已知定义在（0，+∞）的函数f（x），其导函数为f′（x），满足：f（x）＞0且总成立，则下列不等式成立的是（

）

D．e2e+3f（e）＞e2ππ3f（π）

A．e2e+3f（e）＜e2ππ3f（π）

B．e2e+3f（π）＞e2ππ3f（e）

C．e2e+3f（π）＜e2ππ3f（e）

二、考点分析

通过这两题及最近的模拟题我们发现：解决这类单调性问题需要借助构造新函数，结合函数的导数与函数单调性之间的关系来解决，那么怎样合理的构造新函数就是问题的关键，今天我们一起系统的通过“两大类型及它们蕴含的八大小类型”来探讨一下如何构造新函数解决这类问题。

三、关系式为“加”型

关系式为“加”型Ⅰ：

若f'(x)f(x)0(≤0、<0、>0，下同) ，

则构造[ef(x)]'e[f'(x)f(x)]

xx例1、设fx是定义在R上的可导函数，且满足fxfx，对于任意的正数a，下面不等式恒成立的是（ ）

2

f0f0fa D.

aaee试题分析：构造函数g(x)exf(x)，则g'(x)exf(x)exf'(x)0，∴g(x)在Rf0afa内单调递减，所以g(a)g(0)，即：ef(a)f(0)，∴.

eaA.faeaf0 B.faeaf0 C.fa关系式为“加”型Ⅱ：

若xf'(x)f(x)0

，

则构造[f(xx)]'xf'(x)xf(x)2

例2、已知函数yf(x)是定义在数集R上的奇函数，且当x(,0)时，11xf(x)f(x)成立，若a3f(3),b(lg3)f(lg3),c(log2)f(log2),则44a,b,c的大小关系是（ ）

A. cab B. cba C. abc D. acb

试题分析：因为x(,0)时，xf(x)f(x)，所以当x(,0)时，xf(x)f(x)0，又因为函数yf(x)是定义在R上的奇函数，所以当x(,0)时，xf(x)f(x)0，构造函数g(x)xf(x)，则g(x)xf(x)f(x)0,x(,0)，所以g(x)在(,0)上是减函数，又g(x)g(x)，所以g(x)是R上的偶函数，所以g(x)在(0,)上是增函数，因123lg30，所以g(2)g(3)g(lg3)，而g(2)g(2)g(log2)，所以4有cab，选A.

关系式为“加”型Ⅲ：

若f'(x)g(x)f(x)g'(x)0，

'''

f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)

则构造例3、设f(x)、g(x)是R上的可导函数，f'(x)g(x)f(x)g'(x)0，g(3)0，求不等式f(x)g(x)0的解集

变式1：设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数、偶函数，当x0时，f'(x)g(x)f(x)g'(x)0，g(3)0，求不等式f(x)g(x)0的解集.

关系式为“加”型Ⅳ：

若f'(x)g(x)f(x)g'(x)0，

3

则构造[xf(x)]'xf'(x)nxf(x)x[xf'(x)nf(x)]

例4、（2016年合肥市第二次模拟理科数学第12题）定义在R上的偶函数f（x）的导函数为f′（x），若对任意的实数x，都有2f（x）+xf′（x）＜2恒成立，则使x2f（x）﹣f（1）＜x2﹣1成立的实数x的取值范围为（

）

A．{x|x≠±1}

B．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）

C．（﹣1，1）

D．（﹣1，0）∪（0，1）

解：当x＞0时，由2f（x）+xf′（x）﹣2＜0可知：2xf（x）﹣x2f′（x）﹣2x＜0 设：g（x）=x2f（x）﹣x2则g′（x）=2xf（x）+x2f′（x）﹣2x＜0，恒成立：

∴g（x）在（0，+∞）单调递减，

由x2f（x）﹣f（1）＜x2﹣1

∴x2f（x）﹣x2＜f（1）﹣1 即g（x）＜g（1），即x＞1；当x＜0时，函数是偶函数，同理得：x＜﹣1。

综上可知：实数x的取值范围为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），故选：B

nnn1n1四、关系式为“减”型

关系式为“减”型Ⅰ：

若f'(x)f(x)0，

则构造f(x)f'(x)exf(x)exf'(x)f(x)[x]'

x2xe(e)e例5、若定义在R上的函数f(x)的导函数为f(x)，且满足f(x)f(x)，则f(2011)与f(2009)e2的大小关系为（ ）.

A、f(2011)

C、f(2011)>f(2009)e2 D、不能确定

f'(x)f(x)f(x)'试题分析：构造函数g(x)x，则g(x)，因为f(x)f(x)，xeef(2011)f(2009)所以g'(x)0；即函数g(x)在R上为增函数，则，即e2011e2009f(2011)f(2009)e2.

关系式为“减”型Ⅱ：

若xf'(x)f(x)0，

则构造[f(x)xf'(x)f(x)]' xx2

例6、若函数f(x)在R上可导，且满足f(x)xf'(x)

，则( )

A.2f(1)f(2) B.2f(1)f(2) C.2f(1)f(2) D.f(1)f(2)

f(x)xf(x)f(x)试题分析：设g(x)，则g(x)，

2xx

4

∵f(x)xf'(x)，∴g(x)0，即g（x）在（0，+∞）上单调递增，

f(1)f(2)2f(1)f(2)，故选：A．

∴g(1)g(2),即12关系式为“减”型Ⅲ：

若fxgxfxgx≥0，

则构造f(x)f(x)g(x)f(x)g(x)

g(x)g(x)2

例7、已知函数f(x),g(x)(g(x)0)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x0时，f(x)g(x)集为（

）

A．（－∞，－3）∪（3，+∞）

B．（－3，0）∪（0，3）

C．（－3，0）∪（3，+∞）

D．（－∞，－3）∪（0，3）

试题分析：由题意f(x)是奇函数，当x0时，f(x)g(x)f(x)g(x)时，

g(x)f(x)g(x)，且f(3)0, f(x)0的解g(x)f(x)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)0，则在,0上为减函数，在0,上g(x)2g(x)g(x)f(3)f(3)f(x)0,0，可知0的解集为也为减函数，又有f(3)0，则有g(3)g(3)g(x)3,0(3,).

五、小结

1、

关系式为“加”型

（1）若f'(x)f(x)0，

则构造： （2）若xf'(x)f(x)0，

则构造： （3）若xf'(x)nf(x)0，

5

则构造：

(4)若f'(x)g(x)f(x)g'(x)0，

则构造：

2、关系式为“减”型

（1）若f'(x)f(x)0，

构造： （2）若xf'(x)f(x)0，

构造： （3）若xf'(x)nf(x)0，

f(x)xnf'(x)nxn1f(x)xf'(x)nf(x) 则构造[n]'n2x(x)xn1（备注：本类型仅作了解）

(4)若fxgxfxgx≥0，

则构造：

口诀：1.加减形式积商定

2.系数不同幂来补

3.符号讨论不能忘

3、思考：我们构造的加减模型是根据导数的运算法则的加减乘除来分类构造的，大家想一想，可否把上面八类按结构来分类：

按结构分类：

（1）若f'(x)f(x)0 (≤0、<0、>0，下同) 或

f'(x)f(x)0，

f(x)f'(x)exf(x)exf'(x)f(x)则构造[ef(x)]'e[f'(x)f(x)]或[x]'x2

e(e)exxx(2)若xf'(x)f(x)0

或

xf'(x)f(x)0

，

则构造[f(x)xf'(x)f(x)]'[xf(x)]'xf'(x)f(x)

xx2或（3）若xf'(x)nf(x)0

或xf'(x)nf(x)0，

则构造[xf(x)]'xf'(x)nxnnn1f(x)xn1[xf'(x)nf(x)]

6

f(x)xnf'(x)nxn1f(x)xf'(x)nf(x)



或[xn]'(xn)2xn1 (4)若f'(x)g(x)f(x)g'(x)0或

fxgxfxgx≥0 ''

f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)

则构造'f(x)f(x)g(x)f(x)g(x)或

g(x)

g(x)2六、拓展提高

拓展提高1、定义在(0,)上的函数f(x)，f(x)是它的导函数，且恒有f(x)f(x)tanx成立，则（ ）

π2A．3f()>2f() B．f(1)<2f()sin1C．2f()>f() D．3f()

66463

sinxf(x)cosxf(x)sinx'f(x)f(x)00，f(x)f(x)tanx试题分析cosxcosx又因为x(0,),cosx0，从而有：f(x)cosxf(x)sinx0；构造函数2f(x)f(x)sinxf(x)cosxπF(x),则F(x)0,x(0,)F(x)，从而有在(0,)22sinx2sinxπππππππf()f()33f()f()，故选上是增函数，所以有F()F()即：66363sinsin63Ｄ．



7