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立体几何中的向量方法(二)——求空间角和距离

课立体几何中的向量方法(二)——求空间角和距离

备注

题

三掌握利用空间向量方法解决角和距离问题

维目培养学生数形结合的思想

标

重利用空间向量方法解决角和距离问题的一般思路

点

难确定坐标

点

(1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的

角．( × )

(2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角．( × )

(3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角．( × )

辨(4)两异面直线夹角的范围是(0，π2]，直线与平面所析

成角的范围是，二面角的范围是．( √ )

(5)直线l的方向向量与平面α的法向量夹角为120°，则l和α所成角为30°.( √ )

(6)若二面角α－a－β的两个半平面α，β的法向量n1，n2所成角为θ，则二面角α－a－β的大小是π－θ.( × )

- 1 -

1．如果平面的一条斜线与它在这个平面上的射影的

方向向量分别是a＝(1,0,1)，b＝(0,1,1)，那么这条斜线与平面所成的角是( ) A.2π B.6π C.4π D.3π

2．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成的角的大小是( ) 考A．30°

B．45°

点自C．60°

D．90°

测

3．在空间直角坐标系O－xyz中，平面OAB的一个法向量为n＝(2，－2,1)，已知点P(－1,3,2)，则点P到平面OAB的距离d等于( ) A．4 B．2 C．3 D．1 4．P是二面角α－AB－β棱上的一点，分别在平面α、β上引射线PM、PN，如果∠BPM＝∠BPN＝45°，∠MPN＝60°，那么二面角α－AB－β的大小为________．

1．两条异面直线所成角的求法

2.直线与平面所成角的求法

知3．求二面角的大小

识梳4．利用空间向量求距离(供选用) 理

(1)两点间的距离

(2)点到平面的距离

- 2 -

题型一

求异面直线所成的角

例1 直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为( ) A.101 B.52 C.1030 D.22

变式训练 长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝1，E为CC1的中点，则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为( ) A.1010 B.1030 C.1015 D.1010

题型二

求直线与平面所成的角

例2 如图，正方形AMDE的边长为2，B，C分别为AM，MD的中点，在五棱锥P－ABCDE中，F为棱PE的中点，平面ABF与棱PD，PC分别交于点G，H.

例(1)求证：AB∥FG；

题选(2)若PA⊥底面ABCDE，且PA＝AE，求直线BC与平讲

面ABF所成角的大小，并求线段PH的长．

变式训练

如图，在直棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD＝90°，AC⊥BD，BC＝1，AD＝AA1＝3. (1)证明：AC⊥B1D；

(2)求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值．

题型三

求二面角

例3 如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA21＝AC＝CB＝2AB. - 3 -

(1)证明：BC1∥平面A1CD；

(2)求二面角D－A1C－E的正弦值．

变式训练 如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，AB⊥B1C. (1)证明：AC＝AB1；

(2)若AC⊥AB1，∠CBB1＝60°，AB＝BC，求二面角A－A1B1－C1的余弦值．

题型四

求空间距离

例4 如图，△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，AB＝2，求点A到平面MBC的距离．

变式训练 如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝1，D是棱CC1上的一点，P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点，且PB1∥平面BDA1. (1)求证：CD＝C1D；

(2)求二面角A－A1D－B的平面角的余弦值；

(3)求点C到平面B1DP的距离． 如图(1)，在等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝6，D，E分别是AC，AB上的点，CD＝BE＝，O为BC的中点．将△ADE沿DE折起，得到如图(2)所示的四棱锥A′－BCDE，其中A′O＝. 高考链接

(1)证明：A′O⊥平面BCDE；

(2)求二面角A′－CD－B的平面角的余弦值．

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如图，在三棱锥S—ABC中，侧面SAB与侧面SAC均为等边三角形，∠BAC＝90°，O为BC中点．

(1)证明：SO⊥平面ABC；

每日一练

(2)求二面角A—SC—B的余弦值．

后记

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