1.2.2 充要条件PPT配套优秀教学设计内容

1.2.2

充要条件

课时分配

本节内容用1课时的时间完成

教学目标

重点：1．理解充要条件的意义

2．命题条件的充要性判断

难点：命题条件的充要性判断

知识点：1．充要条件的概念。

2．判断命题条件的充要性的方法。

3.利用四种命题间的关系熟练判断充分不必要条件、必要不充分条件，充要条件，既不充分也不必要条件四个概念。

能力点：1．理解并掌握充要条件的概念。

2.掌握判断条件的充要性的方法。

3．培养学生简单的逻辑推理能力。

一、复习引入

1、如果命题“若p，则q”为真命题，是指由

条件P通过推理可以得出结论q，则记作pq。

并且说p是q的充分条件，q是p的必要条件。

因此，

一种逻辑关系的四种表达形式: ①“若p，则q”为真命题；

②

Pq; ③

p是q的充分分条; ④

q是P的必要条件. 2、如果命题“若p则q”为假，则记作p q ，

就说p不是q的充分条件，q不是p的必要条件。

3、练习

判断正误

（1）①x＝y是x2＝y2的充分条件．（）

②x＝y是x2＝y2的必要条件．（）

1

（2）①sinA＝sinB是A＝B的充分条件．（）

②sinA＝sinB是A＝B的必要条件．（）

（3）①a＞b是a2＞b2的充分条件．（）

22②a＞b是a＞b的必要条件.（

）

(4) ①

＝x是x≥0的充分条件．（

）

②

＝x是x≥0的必要条件.(

) 答案：（1）对

错

（2）错

对

（3）错

错

（4）对

对

二、探究新知

定义：一般地，如果既有P推出q，又有q推出P，就记作：“Pq”，此时，我们说，P是q的充分必要条件，简称充要条件．显然，如果P是q的充要条件，那么q是P的充要条件．

概括地说：如果Pq，那么P与q互为充要条件．也说P与q等价。

也可以从命题方面思考：

如果命题“若p，则q”为真命题，它的逆命题“若q，则p”也是真命题，

即原命题、逆命题都是真，则记作pq。并且说p是q的充分条件，p是q的必要条件。简单地说：p是q充要条件（或q是P的充要条件）。

讨论：问p是q的什么条件时共几种情况？

共4种情况：

（1）p是q的充分不必要条件；

（2）p是q的必要不充分条件；

（3）p是q的既不充分又不必要条件；

（4）p是q的既充分又必要条件。

例1．下列各题中，哪些P是q的充要条件？

（1）p：b＝0，

q：函数f（x）＝ax2＋bx＋C是偶函数；

(2)

p:x>0,y>0,

q:xy>0 (3)p:a>b,

q:a+c>b+c. 解:在（1）(3)中，p等价于q，所以（1）（3）中P是q的充要条件。在（2）中，q推不出p，所以（2）中，P不是q充要条件。

例2、请用“充分不必要”、“必要不充分”、“充要＂、“既不充分也不必要”填空：

（1）“（x－2（x－3）＝0”是“x－2＝0”的________条件. （2）”同位角相等”是“两直线平行”的_________条件. （3）”x＝3”是“x2＝9”的__________条件. （4）”四边形的对角线相等”是“四边形为平行四边形＂的

_______条件

答案：（1）必要不充分（2）充要（3）充分不必要（4）既不充分也不必要

三、练习

(1)设a,bR则“ab”是“a2b2”的

(

) A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充分必要条件

D．即不充分也不必要条件

2

【解析】D 由ab推不出a2b2，反过来也不成立。

(2)设a,bR则“ab0”是“a2b2”的

(

) A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充分必要条件

D．即不充分也不必要条件

【答案】A【解析】由ab0推出a2b2，反过来不成立。

（3）.若aR，则“（a-1）（a-2）=0”是“a=2”的 （ ）

A.充分而不必要条件 B必要而不充分条件

C.充要条件 D.既不充分又不必要条件

解：B由a=2可得（a-1）（a-2）=0成立，反之不一定成立。

（4）.若aR，则“（a-1）（a-2）=0”是“a=2或a=1”的 （ ）

A.充分而不必要条件 B必要而不充分条件

C.充要条件 C.既不充分又不必要条件

解析：由a=2或a=1，可得（a-1）（a-2）=0成立，反之也成立，故选C

四、从集合观点思考，建立与命题p,q相应的集合.p：A={x/p(x)成立}，q：B={x/q(x)成立}，那么：

若AB,则p是q 充分条件；若A是B的真子集，则p是q 充分条件不必要条件；

若AB,则q是p 必要条件；若A是B的真子集，则q是p 必要条件不充分条件；

若A=B，则p是q充要条件，也是q是P充要条件。

例3：下列各题中，p是q的什么条件？

（1）p:“x2”,q:“x24”

（2）p:“x24”,q:“x2”

（3）p:“x2”,q:“x24”

解：（1）p是q的充分不必要条件；

（2）p是q的必要不充分条件；

（3）p是q的充要条件。

五．讲例4.

例4.已知：O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，

求证：d=r是直线l与O相切的充要条件。

证明：如图右图所示。

（1）充分性（pq）：作OP⊥l于点P，

则OP＝d．若d＝r，则点P在⊙O上．

在直线l上任取一点Q（异于点P），

连接OQ．在Rt△OPQ中，OQ＞OP＝r．

所以，除点P外，直线l上的点都在⊙O的外部，即直线l与⊙O仅有一个公共点P．因此，直线l与⊙O相切. （2）必要性（qp）：若直线l与⊙O相切，不妨设切3

点为P，则OP⊥l．因此d =OP= r.

六、练习

课本P13 2.求证：ABC是等边三角形的充要条件是

a2b2c2abacbc

这里a,b,c是ABC的三条边。

证明：（1）充分性：如果a2b2c2abacbc，则

a2b2c2abacbc0，

222所以(ab)(ac)(bc)0，

所以

ab0,

ac0,

bc0,

即

abc.

所以ABC是等边三角形。

（2）必要性：如果ABC是等边三角形，则abc,

222(ab)(ac)(bc)0，

所以

222abcabacbc0，

所以222所以abcabacbc。

七、作业1、课本P12

2,3

2、补充作业：

（1）填空题

①x＝y是x2＝y2的_________条件; ②sinA＝sinB是A＝B的____________条件; ③a＞b是a2＞b2的________条件; ④

＝x是x≥0的___________条件．

解：①充分不必要条件；②必要不充分条件；

③即不充分也不必要条件;

④充分必要条件。

(2)选择题

（1）.设x,yR,则“x2且y2”是“x2y24”的

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件

D．即不充分也不必要条件

11（2）.若a,b为实数，则“0＜ab＜1”是a＜或b＞的

ba4

（A）充分不必要条件

（B）必要不充分条件

（C）充分必要条件

（D）既不充分也不必要条件

（3）.对于函数yf(x)，xR，“yf(x)的图象关于y轴对称”是“yf(x)是奇函数”的

A充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.即不充分也不必要条件

（4）.设M{1,2}，N{a2}，则“a1”是“NM”则（

）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分又不必要条件

解：（1）A 当x2且y2时，一定有x2y24；反过来当

x2y24，不一定有x2且y2，例如x4,y0也可以，故选A （2）A

当a0,b0时，由0ab1两边同除b可得a1成立；当a0,b0b时，两边同除以a可得b111成立，∴“0ab1”是“a或b”的充会aba11b或得不到0ab1.（3）若yf(x)是奇ba条件，反过来ab0，由a函数，则yf(x)的图象关于y轴对称；反之不成立，比如偶函数yf(x)，满足yf(x)的图象关于y轴对称，但不一定是奇函数，答案应选B。

（4）A

解析：因“a1”，即N{1}，满足“NM”，反之“NM”，则N{a2}={1}，或N{a2}={2}，不一定有“a1”。

八、小结：本节课学习了判断P是q的

（1）“若p,则q”为真命题，且“若q,则p”为假命题，那么P是q充分不必要条件；（2）“若p,则q”为真命题，且“若q,则p”为假命题，那么q是p必要不充分条件；（3）“若p,则q”为真命题，且“若q,则p”为真命题，那么p是q的充要条件；也可以说：q是p的充要条件；（4）“若p,则q”为假命题，且“若q,则p”为假命题，那么p是q的既不充分也不必要条件。

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