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课题：用导数研究函数的性质

班级 学号 姓名 学习目标：

1.了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间，对多项式函数一般不超过三次.

2. 了解函数在某点x0取得极值的必要条件(导函数值在极值点x0两侧异号)和充分条件（f'(x0)0）；会用导数求函数的极大值、极小值，对多项式函数一般不超过三次.

3．会求闭区间上函数的最大值、最小值，对多项式函数一般不超过三次. 重点：

利用导数判断函数单调性；会求一些函数的极大值与极小值;知道函数极值与最值的区别与联系,会求闭区间上函数的最大值、最小值. 难点：

利用导数在解决函数问题时有关字母讨论的问题. 知识要点梳理

1．

利用导数研究函数的单调性

设函数yf(x)在区间(a,b)内有导数，则

若f'(x)0，则yf(x)在区间(a,b)内为 函数；

若f'(x)0，则yf(x)在区间(a,b)内为 函数; 若在区间(a,b)内f'(x)0呢?

利用导数求函数单调性的基本步骤：

（1）

确定函数f(x)的定义域；

（2）求导数f(x)；

（3）在定义域内解不等式f(x)0或f(x)0，解出相应的x的范围；

（4）

写出f(x)的单调区间. 基本练习1 (1)

函数yxxx6的单递减调区间是

(2)

函数y2xlnx的单递增调区间是

(3)

已知函数yax3xx1在区间(,)上是减函数,则a的取值范围是

2．

利用导数研究函数的极值

3232'''

1

一般地，设函数yf(x)在点xx0及其附近有定义，

（1）若对于x0附近的所有点，都有f(x)f(x0)，则f(x0)是函数f(x)的一个极___值，记作y极大值f(x0)；

（2）若对于x0附近的所有点，都有f(x)f(x0)，则f(x0)是函数f(x)的一个极___值，记作y极小值f(x0). 求函数极值的的基本步骤：

①确定函数yf(x)的定义域；

②求导数f'(x)；

③求方程f'(x)0的根；

④检查f'(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则f(x)在这个根处取得极___值；如果左负右正，则yf(x)在这个根处取得极___值.(最好通过列表法) 基本练习2 （1）函数yx3x2x6的极大值是

，极小值是

；

（2）已知函数yx3bx2cx6当x1时取极小值5，则bc

；

（2）已知函数yx3bx2cx6当x1时取极小值，则b=

；

(3)

函数y2exex有极 值是 .（较难）

3．

利用导数研究函数的最值

函数的极大值可能但不一定是最大值，极小值可能但不一定是取小值. 求函数yf(x)在区间[a,b]上的最大值和最小值的基本步骤:

①求出函数yf(x)在区间[a,b]上的极大值和极小值;

②计算出f(a)和f(b);

③比较极大值和极小值与f(a)和f(b)的大小,下结论:最大者为最大值,最小者为最小值.

基本练习3 (1) 函数f(x)13xx在区间[2,1]上的最大值是 ,最小值是 ;

3(2) 函数f(x)x2cosx在区间[0,

2]取最大值时的x值为 . 2

例题选讲

例1：已知f(x)2ax1,x(0,1]，若f(x)在(0，1]上是增函数，求a的范围。

2x（例1和例2的第二问类同）

例2：设函数y1312xaxx1,aR

32（1）讨论函数f（x）的单调区间

（2）设函数f（x）在区间（2，3）内是减函数，求a的取值范围

变式训练：已知函数f(x)取得极值? 由已知得f'(x)ax22bx1，令f'(x)0，得ax2bx10，

213axbx2x3，其中a0．当a,b满足什么条件时，f(x)3f(x)要取得极值，方程ax22bx10必须有解，

所以△4b4a0，即ba，

此时方程ax2bx10的根为：

2222b4b24abb2a2b4b24abb2a，x2，

x12aa2aa所以f'(x)a(xx1)(xx2)当a0时，

x f’(x)

f (x) (-∞，x1) ＋

增函数

x 1 0

极大值

(x1，x2) －

减函数

x2

0 极小值

(x2，+∞) ＋

增函数

w．w．w．．．．．．．m

所以f(x)在x 1，

x2处分别取得极大值和极小值．

当a0时，

x F’(x)

f (x) (-∞，x2) －

减函数

x 2 0

极小值

(x2，x1) ＋

增函数

所以f(x)在x 1，

x2处分别取得极大值和极小值．

综上，当a,b满足ba时，f(x)取得极值．

2x1

0

极大值

(x1，+∞) －

减函数

3

例3：若函数yx36x29xm在区间[0，4]上的最小值为2，

（1）

求实数m （2）

求函数在区间[0，4]上的最大值。

注意：由函数的极值定义可知：（放在知识梳理中强调）

（1）在函数的极值定义中，一定要明确函数yf(x)在xx0及其附近有定义，否则无从比较. （2）函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的，是一个局部概念；在函数的整个定义域内可能有多个极值，也可能无极值. （3）极大值与极小值之间无确定的大小关系.即一个函数的极大值未必大于极小值.极小值不一定是整个定义区间上的最小值. （4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点. （5）可导函数在某点取得极值，则该点的导数一定为零，反之不成立. 【巩固训练】

1、若函数yxp在区间(1,)上是增函数，则实数p的取值范围是_____________。

x2、已知实数a>0，f(x)ax(x2)2(xR)有极大值32，则实数a=____________。

2与x1时都取得极值

33、已知函数f(x)x3ax2bxc在x(1)求a,b的值与函数f(x)的单调区间；

(2)若对x∈[1，2]，不等式f（x）≤ 4恒成立，求实数c 。

4、已知函数f(x)=x-ax-3

（1）若f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围；

（2）是否存在实数a,使f(x)在（-1，1）上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由；

4