3.1.5 空间向量的数量积特级教师教学实录

空间向量的数量积

教学目标：

1.

掌握空间向量夹角的概念及表示方法，掌握两个向量的数量积的概念、性质和计算方法及运算规律

2.

掌握空间向量的数量积的用途，会用它解决立体几何中的一些简单的问题

教学重点与难点：

1.

重点：数量积的概念及运用

2.

难点：数量积的运用

教学设计：

教学环节及时间分配

教

师

活

动

（教学内容的呈现及教学方法）

学

生

活

动

（学习活动的设计）

设

计

意

图

以问题的形式

引导学量积

生回顾

类比平面向复习前

量的数量积面所学1）

两个向量的夹角的定义

的有关概念、的平面

计算方法和向量的如图，已知两个非零向量a,b.在空间任取一点O，合作

运算律推导相关知作OAa,OBb,则角AOB叫做向量a与b的夹角，探究

出空间向量识，为学习好记作：a,b

的数量积的空间向

有关概念、计量做好

算方法和运铺垫。

a

算律

bb

结合复习过

范围：0a,b在这个规定下，两向量的夹角就

的知识，学生

被唯一确定了，并且a,b＝b,a

探究讨论



自主

如果a,b,则称a与b互相垂直，并记作：ab2建构

明确空

2）两个向量的数量积

间向量

夹角的的长度叫做向量a的长度或模,记作：a

OAa,则有向线段OA

设概念

合作

已知空间两个向量a,b，则abcosa,b叫做向量a,b的数量积，

探究

学生探究交

流讨论。

记作：ab,即

ababcosa,b

注意：

①两个向量的数量积是数量，而不是向量.

②零向量与任意向量的数量积等于零

结合平面向

3)空间向量的数量积性质

量的学习，让让学生

对于非零向量

a

,b

，有：

学生自学、探对空间

究对学生可向量数1)aeacosa,e

能出现的问量积有更深的

2)abab0题，组织学生理解

讨论、交流、2

3)aaa

纠正

力求改

注意：

变单

①性质2）是证明两向量垂直的依据；

一、被先学检查

回顾平面向量数量积的相关内容，如平面向量夹角及平面向量数学生口答

aA O B

点拨提升

点拨提升

当堂反馈

②性质3）是求向量的长度（模）的依据；

4)空间向量的数量积满足的运算律

1)(a)b(ab)

2)abba(交换律）

）3a(bc)abac(分配律）

注意：数量积不满足结合律

ab)ca(bc)（

2

.1已知a22,b,ab22

a,b所夹的角为________.

则2

.判断真假：

1）abba,则bc()

若2

)(ab)ca(bc) ()

k3)

a

bk,则a ( )

b

例1 正四面体ABCD的每条棱长都等于a，点M,N分别是AB，CD的中点，求证：MNAB，MNCD

学生分组讨论、纠正、

争辩，合作交流

引出共面向量定义

交流问题，给每一个学生表现个人的机会。

学生板演，注重步骤。

鼓励学生先例2:平行六面体ABCD-A1B1C1D1

中，

尝试分析。

60AB1,AD2,AA，=

BAADAA1113,BAD90

学生展示

求AC1的长。

应用整合，强学案49页1,2,3,4 化新知

动的学习方式，让学生成为学习的主人，给他们提供一个自主探索学习的机会.

让学生对两个问题进行对比分析，强化对空间向量的数量积运算的理解.有助于教学目标的实现，

将一个复杂问题分解成为两个简单问题，易于学生理解.

不同层次的题目，层层递进，不断提高学生的

总结

反思

作业

及先学指导

通过学习, 我们可以利用向量数量积解决立体几何中的以下问题：

学生总结归 1、证明两直线垂直; 纳所学知识

2、求两点之间的距离或线段长度;

3、求两直线所成角.

1．P97 14、15、17 2.阅读书P99—104，总结知识点及主要题型和对应方法，标注出自己的困惑。

能力。不仅巩固新学的知识，而且让不同层次的学生得到不同的收获.

通过典型例题让学生理解本节的知识点

培养学生总结归纳的能力

使不同的学生得到不同的锻炼

课后反思：能按学讲要求设计教学过程，学生能积极参与讨论和展示，但在设计问题是应再细致些，有针对性些，让学生能讨论的更深入、更有效。