2.2.1 椭圆的标准方程教学实录

§2.2.1 椭圆的标准方程教学设计

安阳县实验中学 田志龙

■

一、教学背景——————————————————————————————

1.1 学生特征分析

学生的知识储备：必修二学习了直线方程，圆的方程，初步体会了方程与几何对象的对应关系，并能运用代数方程解决一些简单的几何问题。

学生的方法储备：由于必修二直线方程和圆的方程的学习和本章第一节曲线与方程的学习，学生应基本理解运用坐标法将几何问题代数化的想法，但还缺少实际运用，对方法的认识不够深刻。

1.2教师特点分析

自己教学中的优势：注重问题引导、思路分析、善于将学科课程与信息技术的整合、善于鼓励学生，能对学生进行有效指导。

不足：课堂教学语言相对不够准确简练、板书不够清晰美观。

1.3 学习内容分析

从知识上来讲：椭圆是本章中学到的第一个圆锥曲线，也是三种圆锥曲线中最重要的一个。对上一节来言，是运用坐标法研究曲线几何性质的一次实际运用，也是进一步研究椭圆几何性质的基础。

从方法上来讲：为后续双曲线和抛物线的学习奠定了理论基础，起示范的作用。

因此无论内容上还是方法上，本节都起着承上启下的作用。

■

二、设计思想————————————————————————————————

学生已经学习了直线和圆的方程，并且学习了曲线与方程的关系，初步理解求曲线方程的想法。本节课椭圆无论在定义的发现还是方程的推导上都是很好的教学素材。因此在定义的发现环节，精心设计学生活动，有教师的展示，有学生的动手实验，注重概念的生成过程。

在方程的推导阶段，注重数学思想方法的渗透，类比的思想，数形结合的思想。不断强调几何关系和代数表示之间的关系，为学生充分领会解析几何的思想方法提供指导。

在例题的选取上，注重层次感，让不同层次的学生都能学到不同层次的数学。讲练结合，讲在关键处，讲在练之后，让学生经历挫折，调整，成功的过程。

在问题的设计方面，充分考虑不同层次的学生情况，充分体现学生的分组讨论，团结合作。在学生的分组上，考虑4人小组，每组依据层次编为1—4号，不同小组同号码段学生层次接近，营造即有合作又有竞争的课堂教学氛围。

■

三、三维目标————————————————————————————————

（一）知识与技能

1. 掌握椭圆的定义和标准方程；

2. 会求简单的椭圆方程；

（二）过程与方法

1.经历椭圆概念的产生过程，学习从具体实例中提炼数学概念的方法，由形象到抽象，从具体到一般，掌握数学概念的数学本质，提高学生的归纳概括能力。

2.巩固用坐标化的方法求动点轨迹方程。

3.在数学思想方法的不断渗透过程中，学生能自觉利用数学思想方法分析和解决问题。

第1页，共6页

（三）情感、态度与价值观

1.充分发挥学生在学习中的主体地位，引导学生活动、观察、思考、合作、探究、归纳、交流、反思，促进形成研究氛围和合作意识。

2.重视知识的形成过程教学，让学生知其然并知其所以然，通过学习新知识体会到前人探索的艰辛过程与创新的乐趣。

3.通过对椭圆定义的严密化，培养学生形成扎实严谨的科学作风。

4.通过经历椭圆方程的化简,增强学生战胜困难的意志品质并体会数学的简洁美、对称美、数与形的和谐美。

■

四、教学重点与难点—————————————————————————————————

1．重点：椭圆定义的理解和标准方程的运用

2. 难点：标准方程的建立与推导

■

五、教学方式————————————————————————————————————

著名数学家波利亚认为：“学习任何东西最好的途径是自己去发现。”考虑到椭圆在教材中的重要地位，

在教学中采用了“启发探究”式的教学方法，重点突出引导发现和

探索讨论。以便激发学生的学习兴趣，

对知识进行主动建构，突破教学难点

■

六、教学媒体————————————————————————————————————

教具

多媒体课件

■

七、教学过程设计——————————————————————————————

教学

环节

以

境

激

情

（2-3分钟）

教学过程

材料1：行星运行模拟轨道图. 材料2：鸟巢建筑

材料3: 珠宝

材料4：镜子

材料5：丰田车标

展示生活中椭圆图片

教师行为

设计意图

利用多媒体，展示学生常见的椭圆形状的物品，让学生充分认识生活中的椭圆，明确本节课的研究方向，为下面学习做好心理准备。

引导学生从实验中分析抽象出几何关系，帮助学生总结归纳椭圆定义。

教师

技能

导入

情景

学情

预测

（集体回答）

发现研究对象，产生疑问，萌生兴趣

设问1：请大家观察，我们能从中发现哪种共同的几何图形呢？

设问2：生活中处处都有这种美丽的曲线，我们称之为椭圆，怎样的曲线才是严格意义上的椭圆呢？是不是我们随手画的扁些的圆都是椭圆呢？我们这节课共同来认识椭圆。

自制教具，拉线法黑设问3：在操作过程中，有

板演示椭圆定义做出哪些注意事项？

椭圆

设问4：图钉不动，能否抽合

教师引导演示，学生象为数学符号。笔尖滑动，作

分组操作，提出问题

如何表示？

探

设问5：笔尖滑动过程当中，究

绳长不变，表示笔尖这个动（3-点满足什么几何条件？

4分设问6：通过椭圆的生成过钟）

程，能否给椭圆下一个定动手

操作

提问

引导

1.学生对设问3的回答会有困难。应可以回答到图钉固定，笔尖滑动。

2.绳长不变还需耐第2页，共6页

教学

环节

教学过程

义？

教师行为

设计意图

教师

技能

学情

预测

心引导。

建

构

新

知

（3-5分钟）

椭圆定义：

总结归纳，板书椭圆定平面内与两个定义，强化学生认识。

点F1，F2的距离和等于常数（大于F1F2）设问7：椭圆定义关键词是什么？

的点的轨迹叫做椭圆。

设问8：常数有没有要求？这两个定点叫做为什么？

椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的设问9：我们已经理解了椭圆的定义，我们能否建立椭焦距。

圆的方程更精确的研究它

呢？回忆曲线方程的建立

过程分为几步？分别是？

1.找等量关系MF1MF22a

2. 建系设点

以F1,F2所在的直线为x轴，线段F1,F2的中点为原点建立直角坐标系设M（x , y）,则F1(-c,0), 类比圆的方程的推导，首先要写出椭圆上的点所满足的等量关系。

通过学生观察、思考、讨论，概括出椭圆的定义，让学生全程参与概念的探究过程，加深理解，提高概括能力和数学语言的表达能力和严谨性）

强化

概念

语言

表述

1.学生基本能理解椭圆定义，但对于常数范围，平面前提容易忽略。

F2(c,0) 3.代入

MF1MF22a

(xc)2y2(xc)2y22a

4.化简

(xc)2y2(xc)2y22aa2cxa(xc)2y2(a2c2)x2a2y2a2(a2c2)x2y21a2a2c2由椭圆定义可知，2a2c，即ac，所以

设问10：请观察椭圆的几何

特征，如何建系才能使椭圆椭圆的标准的方程简单？

方程的导出，先放手给学生尝试，教师协从指导，再展示学生结果。

设出动点，写出已知点坐

标。根据两点之间距离公式

代入等量关系

设问11：如何化简去根号？

（4号同学）

设问12：请大家分组讨论，

尝试化简这个方程。

（多媒体展示学生化简过

程。针对性讲评，3号小组

代表）

提问

引导

1.学生可能会有不同建系方法，指出合理建系，建议课后不同建系探讨。

2.先引导，再放手，降低问题的难度。学生能理解双根式方程的处理方法。需要针对性点评。

3.对直接平方的同学个别指导。

第3页，共6页

教学

环节

教学过程

a2c20

b2a2c2

x2y2则有221

abyMbF10acF2x教师行为

设问13：从形的角度来来考虑，当点M移动到如图位置时，观察MF1，MF2长设计意图

教师

技能

语言

表述

变化

强化

学情

预测

4.焦点在y轴的标准方程，能发现焦点坐标改变，部分同学能猜想得到方程，但理由说不清，需引导。

实物投影展示3号小图2组学生化简过程

教师对照图形，加以引导，让学生明白方程中字母的几何意多少？能否从图中找出长义，对方程的理为c的线段？那么MO长为多少？（2组3号同学）

解有很大的作用；利用类比对设问14：如果椭圆的焦点在称，化归的思想y轴上呢？请大家小组讨得出焦点在y论，猜想椭圆的方程有何改轴上的标准方变？（1组3号同学）

程，避免重复的繁杂计算．）

设问15：为什么？再推导一遍？

x2y2讲评：221的原始ab等

式2为xcy2xc2y22a

而焦点在y轴上时，由MF1MF22a得

yc2x2yc2x22a

概

念

辨

析

（1分钟）

xy21(ab0)2ab22

yx21(ab0)

2ab22对比这两个等式，能发现什么结论？

请判断以下哪些方程表示椭圆，如果是，则判断焦点在哪个轴上？指出a2,b2。

x2y2（1）1

10036x2y2（2）1

36100x2y2（3）1

3636x2y2（4）1

10036请同学们总结分析椭圆标准方程的结构特点. （5）4x29y216

(设计意图：使学生巩固掌握椭圆标准方程的形式和焦点位置判断，能初步运用椭圆定义)

1．学生能直观感受发现椭圆的标准方程的形式特点，在不断与标准方程的对比中能发现焦点位置的判断方法。

2.学生对椭圆标准方程的特点认识不足。

第4页，共6页

教学

环节

概

念

辨

析

（1分钟）

范

例

学

习

（3-5分钟）

教学过程

1.椭圆方程为x2y21，如果椭10036圆上一点P到焦点F1的距离等于6，那么点P到另一个焦点F2的距离是 。

2.已知a10，焦距为16，焦点在坐标轴上，则椭圆的标准方程为 。

例1.已知椭圆的两个焦点分别是2,0，教师行为

每组同号同学抢答。

及时鼓励，总结。

设计意图

巩固椭圆定义和标准方程

（学会用待定系数法求椭圆的标准方程，体会椭圆定义在解题中的重要作用.）

教师

技能

鼓励

强化

总结

格式

规范

给出

模仿

示例

善于

引导

精于

点评

学情

预测

学生分类讨论思想认识不深，容易漏解

1.较多学生会选用待定系数法，但是困于计算能力，无法求解得出。还有部分同学忽视a，b，c关系。

思想方法的总结会有困难，要提出在哪个环节运用了那种思想方法。

2,0，并且经过点53,，求它的标22准方程。

请大家观察，目标是求椭圆的标准方程，即需要求出a2，b2。已知焦点，则有条件c2。那么点在椭圆上这个条件如何使用？数的角度如何理解？形的方向是否有帮助？

总结归纳：求椭圆方程的步骤

一．要分析椭圆的焦点位置，设出椭圆方程；

二．

运用椭圆定义或待定系数法解题。

回顾一下本节课的知识点。

总结：我们理解了椭圆的定义，掌握了椭圆的标准方程，会求焦点坐标，熟记a，b，c的关系，

有哪些思想方法？

归

纳

总

结

（1分钟）

请根据所学知识完成下表。

课

外

思

考

操

作

（2-思考：已知平面内两定点分别是0,8，0,8，一动点P到两定点的距离之和为20，求动点P的轨迹方程。

操作：设圆心是O，在圆内不是圆心处任取一点F。

请同学们依据上述折纸操作步骤试一试，猜想分析实验结果。

设问：我们能否运用本节课所学的知识，解释一下为什么会出现椭圆？

通过学生口述，检测学生课堂知识的掌握情况。通过小结使本节课的知识系统化，使学生深刻理解数学思想方法在解题中的地位和应用，培养学生养成对所学知识及时总结提炼的习惯，不断提升自己。

考察学生分析问题解决问题的能力，能否将知识转化应用。

总结

拓展

延伸

强调

变化

部分同学会运用求曲线方程的方法求轨迹，忽视椭圆定义。

第5页，共6页

教学

环节

教学过程

教师行为

设计意图

教师

技能

学情

预测

学生对折纸步骤的理解不清晰，需要时间体会。引导学生折叠几次即可。

3 第一步：在圆上任取分一点A，连接OA 钟）

第二步：折叠圆使点A与点F重合，为清楚起见，可将折痕用红线标出；第三步：描出折痕与半径OA交点B；

第四步：重复以上过程，不断取点A1,，A2……，不断做出交点B1，B2……。

最终，将交点B，B1，

B2……等用平滑曲线连接，你发现了什么？

动手操作，几何画板演示。

必做：1.P49 习题请同学们课后完成。

2.2A组1,2

选作：2.请同学们观

察分析椭圆方程的推作

导过程能否有其它化业

简方式.如用分子有布

理化，等差中项

置

3．我们曾用统计的方（1法推导圆的面积公分式，大家能否类似推钟）

导椭圆的面积公式。

4.阅读P42页探究与发现，回答为什么水杯倾斜水面截口曲线是椭圆呢？

板书设计：

2.2.1针对本节课的教学重点：理解椭圆定义和会求简单椭圆的标准方程，设计作业题，帮助学生落实课程要求。

学生课后独立完成

课后延伸思维拓展

椭圆及其标准方程

一、定义：MF1

MF22a(2a2c)

教具展示区

F1F22c

二、标准方程：

焦点在x焦点在yx2y2轴上：221ab0

aby2x2轴上：221ab0

aba,b,c关系：a2b2c2

第6页，共6页

x2y21ab0a2b2y2x2