1.4.1 全称量词课堂实录

1.4全称量词与存在量词

教学目标：

1.知识目标：通过教学实例，理解全称量词和存在量词的含义，能够用全称量词符号表示全称命题，能用存在量词符号表述特称命题，会判断全称命题和特称命题的真假。

2.能力与方法：通过观察命题、科学猜想以及通过参与过程的归

纳和问题的演绎，培养学生的观察能力和概括能力，通过问题的

辨析和探究，培养学生良好的学习习惯和反思意识。

3.

情感、态度与价值观：通过引导学生观察、发现、合作与交流，

让学生经历知识的形成过程，增加直接经验基础，增强学生学

习的成功感，激发学生学习数学的兴趣。

教学重点：理解全称量词与存在量词的意义. 教学难点：正确地判断全称命题和特称命题的真假. 教学过程：

一．情境设置：

我校为了迎接秋季田径运动会,正在排练由200名学生参加的开幕式团体操表演.这200名学生符合下列条件：

（1）所有学生都来自高二年级；

（2）至少有30名学生来自高二.四班；

（3）每一个学生都有固定表演路线. “所有”，“至少有”，“每一个”短语，在逻辑上称为量词.

二．新知探究

观察以下语句：下列语句是命题吗?(1)与(3),(2)与(4)之间有什么关系? (1)x>3 (2)2x+1是整数

(3)对所有的x R,x>3 (4)对任意一个x Z,2x+1是整数

(3)在(1)的基础上,用短语“所有的”对变量 x进行限定；

(4)在(2)的基础上,用短语”对任意一个”对

变量x进行限定.

短语“对所有的”，“对任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词. 符号表示

，常见的全称量词还有“对一切”

“对每一个”

“任给”“所有的”等. 含有全称量词的命题,叫做全称命题. 例如

1）对任意的n∈z,2n+1是奇数；

2）所有的正方形都是矩形。

通常将含有变量x的语句用p（x），q（x），r（x），……表示，变量x的取值范围用M表示。那么全称命题“对M中任意一个x，有p（x）成立”可用符号简记为：xM, p（x），读做“对任意x属于M，有p（x）成立”。

试一试.用量词“”表示下列命题，并判断真假. (1)

对所有的x R,x>3；

(2)

对任意一个x Z,2x是整数. 想一想：

你是如何判断全称命题的真假的？

例1、判断下列全称命题的真假：

（1）所有的素数都是奇数；

2xR,x11；

（2）（3）对每一个无理数x，x也是无理数.

观察语句：下列语句是命题吗?命题中量词有何特点？与全程量词有何区别，(1)与(3),(2)与(4)之间有什么关系? (1)2x+1=3 (2)x能被2和3整除; (3)存在一个x∈R,使2x+1=3; (4)至少有一个x∈Z,x能被2和3整除. (3)在(1)的基础上,用短语“存在一个”对变量x的取值进行限定,使(3)变成了可以判断真假的语句; (4)在(2)的基础上,用“至少有一个”对变量x的取值进行限定,从而使(4)变成了可以判断真假的语句. 这些命题用到了“存在一个”“至少有一个”这样的词语，这些词语都是表示整体的一部分的词叫做存在量词。并用符号“”表示。含有存在量词的命题叫做特称命题（或存在命题）

2

特称命题：“存在M中一个x，使p（x）成立”可以用符号简记为：xM,p(x)。读做“存在一个x属于M,使p（x）成立”．

试一试.用量词



表示下列命题，并判断真假. （1）存在一个x∈R,使2x+1=3; （2）存在有理数x，使得x2－2＝0成立；

想一想. 你是如何判断特称命题的真假？

例2 .判断下列特称命题的真假：

(1)有一个实数x,使x2+2x+3=0; (2)存在两个相交平面垂直于同一条直线; (3)有些整数只有两个正因数.

要判断特称命题“∃x∈M,p(x)”是真命题，只需在集合M中找到一个元素x0，使p(x0)成立即可. 如果在集合M中,使p(x)成立的元素x不存在,那么这个特称命题是假命题. 练习.下列命题中哪些是全称命题，哪些是特称命题？并判断真假. （1）对所有的实数x，都有x2≥0；

（2）存在实数x，满足x2≥0；

（3）至少有一个实数x，使得x2－2＝0成立；

（4）三角形的内角和等于180

。

O

练习1：

判断下列命题哪些是全称命题，哪些是特称命题：

（1）每一个关于x的一元一次方程ax+b=0都有解；

（2）有一个实数，不能作除数；

（3） 末位数字是0或5的整数，能被5整除；

（4） 棱柱是多面体；

（5）对于所有的自然数n，代数式n2-2n+2的值都是正数。

课堂小结

1.知识建构

2.能力提高

课堂检测

给出下列几个命题：

①至少有一个x0，使

x022x030

成立；

②对任意的x，都有x2＋2x＋1＝0成立；

③对任意的x，都有x2＋2x＋1＝0不成立；

④存在x0，使

x022x030成立．

其中是全称命题的个数为（ ）

A．1

B．2 C．3 D．0