3.4 生活中的优化问题举例PPT及课堂实录内容

3.4生活中的优化问题举例（第1课时）

供稿人：李潜 审稿人：王文涛 时间：2013.12.17 【教学目标】1．进一步理解导数的概念，会利用导数概念形成过程中的基本思想分析一些实际问题，并建立它们的导数模型；2．掌握用导数解决实际中简单的优化问题，构建函数模型，求函数的最值. 【重点和难点】1.重点：用导数解决实际中简单的优化问题；2.难点：构建函数模型，求函数的最值. 【教学过程】（预习《选修1-1》P101~P102）

一、课前准备

1.利用导数求函数yf(x)在a,b上的最值的步骤:（1）求函数yf(x)在a,b内的 ；（2）将函数yf(x)的 与 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. 2.函数f(x)2x33x212x5在［0，3］上的最大值为_____；最小值为_______. 3.函数yx312x(2x3)最大值为_____；最小值为_______. 4.当室内的有毒细菌开始增加时，就要使用杀菌剂.刚开始使用的时候，细菌数量还会继续增加，随着时间的增加，它增加幅度逐渐变小，到一定时间，细菌数量开始减小.如果使用杀菌剂t小时后的细菌数量为b(t)105104t103t2.（1）求细菌在t5与t10时的瞬时速度；（2）细菌在哪段时间增加，在哪段时间减少？为什么？

二、新知导学

1、创设情境，引出研究的问题

生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为生活中的优化问题.那么如何利用数学知识来解决这些问题呢？

问题：一艘轮船在航行中的燃料费与它的速度的立方成正比，已知速度为10km/h时燃料费是6元/h，而其它与速度无关的费用是96元/h，问轮船的速度是多少时，航行1km所需的费用总和为最小？ 2、引导探究、获得新知

探究：设轮船的速度为v

km/h，航行1km所需的费用总和为y元，轮船在航行中的每小时的燃料费为Q元，比例系数为k，则燃料费Q . 已知v10 ，Q6，所以， . 解得k ，所以Q . 轮船行驶每小时总费用为 ，行驶1km所用的时间为 . 所以，轮船航行1km所需的费用总和yf(v) ，这个函数的自变量的取值范围是 . 下面，我们用导数求这个函数的最小值.f'(v) .由f'(v)0得v .当

v 时f'(v)0

；当v 时f'(v)0.∴当v 时，f(v)取得最小值.

因此，轮船以 的速度航行时，能使行驶1km所需的费用总和为最小. 新知：利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤：（1）审题：认真阅读，分析实际问题中各量之间的关系；（2）建模：建立适当的函数关系yf(x)，并确定函数的定义域，将优化问题转化为函数的最值问题；（3）求解：求函数的导数f(x)，解方程f(x)0，并比较区间端点和使f'(x)0的点的函数值的大小，最大者为最大值，最小者为最小值；（4）检验作答：对结果进行检验（是否符合实际意义），确定问题的答案. 注：在解实际问题时，如果在定义域内只有一个极值，则这个极大（小）值就是所求的最大（小）值.

变式练习：某公司租地建仓库，每月土地租用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与到

车站的距离成正比，如果要在距离车站10公里处建仓库，这两项的费用y1、y2，分别为2万元和8万元，那么

要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站( )A．5公里处 B．4公里处 C．3公里处 D．2公里处

应用举例

例1：学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传.现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm2，上、下两边各空2dm，左、右两边各空1dm.如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最小？

分析： 解： 反思：

变式练习：一条长为100cm的铁丝截成两段，分别弯成两个正方形，要使两个正方形的面积和最小，两段铁丝的长度分别是多少？

例2.一矩形铁皮的长为8cm，宽5cm.在四个角上截去四个相同的小正方形，制成一个

无盖的小盒子，问小正方形的边长为多少时，盒子的容积最大？最大容积是多少？

分析： 解： 反思：

变式练习：在边长为60 cm的正方形铁片的四角切去边长都为x的小正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？ 【随堂练习】1.做一个容积为256m3x的底面为正方形的无盖长方体水箱，用料最省时，则它的高为（

）

xxA.3m B. 4m60x C. 5m D. 6m

2.用长为lm的铁丝加工成一个矩形框架，当矩形长为 ，宽为 60时，矩形的面积最大. 3.某工厂需要建一个面积为512m2的矩形堆料场，一边可利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，当砌壁所用的材料最省时，堆料场的长和宽分别是 . 建立数学模型优化问题用函数表示数学问题三、小结:

利用导数解决优化问题的基本思路：

四、作业：1.（2007年重庆市文科20题）

用长为18cm 解决数学模型的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体优化问题的答案作答用导数解决数学问题积最大？最大体积是多少？

2.如图，用铁丝弯成一个上面是半圆，下面是矩形的图形，其面积为am2，为使所用材料最省，底宽应为多少？

【课后巩固】内接于半径为R的半圆的周长最大的矩形的边长分别为 . 7.（1）圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？

（2）当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使饮料罐的容积最大？

一条水渠，断面为等腰梯形，如图所示，在确定断面尺寸时，希望在断面ABCD的面积为定值S时，使得湿周lABBCCD最短，这样可使水流阻力小，渗透少，求此时的高h和下底边长b. 【我的收获】（学生学后记、教师教后记）

AED

hB6001 bC

3.4生活中的优化问题举例（第2课时）

供稿人：李潜 审稿人：王文涛 时间：2013.12.18 【教学目标】1．进一步掌握解决生活中的优化问题的基本步骤. 【重点和难点】1.重点：用导数解决实际中简单的优化问题；2.难点：构建函数模型，求函数的最值. 【教学过程】（预习《选修1-1》P103一、课前准备

1. 利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤：（1）审题：认真阅读，分析实际问题中各量之间的关系；（2）建模：建立适当的函数关系求函数的导数（3）求解：yf(x)，并确定函数的 ，将优化问题转化为函数的最值问题；运输成本Q(元)表示为速度v的函数；（2）为使全程运输成本最少，汽车应以多少速度行驶？并求此时运输成本的最小值. 分析： 解： 反思：

变式练习：统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量函数解析式可以表示为：~P105）

y（升）关于行驶速度x（千米/小时）的

y13x3x8(0x120).已知甲乙两地相距100千米.（1）当汽车12800080以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？（2）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？

【随堂练习】1.（2010山东文数）已知某生产厂家的年利润f(x)，解方程 ，并比较区间 和使 的点的函数值的大小，最大者为最大值，y（单位：万元）与年产量x（单位：万件）的函数最小者为最小值；（4）检验作答：对结果进行检验（是否符合实际意义），确定问题的答案. 注：在解实际问题时，如果在定义域内只有一个极值，则这个极大（小）值就是所求的最大（小）值. 2.将一段长为12cm的细铁丝锯成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是（

）

A. 332cm2 B. 4cm2 C. 32cm2 D. 23cm2

3.用边长为48cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各剪去一个面积相等的小正方形，然后把四

边折起，就能焊接成铁盒，所做的铁盒容积最大时，在四角剪去的正方形的边长为（ ）

A.6cm B.8cm C.10cm D.12cm 4.要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20cm，要使其体积最大，则其高应为（ ）

A．33cm B．1033cm C．1633cm D.2033cm

二、新知导学

1、创设情境，引出研究的问题

在利用导数解决实际问题时，我们一定要考虑实际问题的意义，还要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系式表示，同时注意自变量的取值范围. 2、引导探究、获得新知

应用举例

例1.已知某工厂生产x件产品的成本为c25000200x140x2（元）.（1）要使平均成本最低，应生产多少件产品？（2）若产品每件以500元售出，要使利润最大，应生产多少件产品？

分析： 解： 反思：利润=收入成本. 变式练习：已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为C1004q，价格p与产量q的函数关系式为p2518q．求产量q为何值时，利润L最大？

例2.某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料.瓶子的制造成本是0.8r2分，其中r是瓶子的半径，单位是厘米.已知每出售1mL的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为6cm.问（1）瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？（2）瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？

分析： 解： 反思：

变式练习：做一个圆柱形的锅炉，容积为V，两个底面的材料每单位面积的价格为a元，侧面的材料每单位面积的价格为b元，则锅炉的底面直径与高的比为 时，造价最低. 例3.甲乙两地相距400千米，一汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过100千米/小时，已知该汽车每小时的运输成本p(元)关于速度v (千米/小时)的函数关系是p119200v41160v3150v.（1）试将全程

关系式为y13x381x234，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为（ ）

（A）13万件 (B)11万件 (C) 9万件 (D)7万件

2.某商品在最近30天的价格f(t)与时间t（天）的函数关系是f(t)t10(0t30,tN)，销售量g(t)与时间t的函数关系是g(t)t35(0t30,tN)，则这种商品的销售多额的最大值为（ ）

A．406 B．506 C．200 D．500 3. 某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间定价为每天180元时，房间会全部住满；房间单价每增加10元，就会有一个房间空闲.如果游客居住房间，宾馆每间每天需花费20元的各种维护费用.房间定价多少时，宾馆利润最大？

三、小结:

解实际应用题的关键在于理解题意，把题目中的实际问题转化为数学问题，利用数学的知识进行解决. 四、作业：1.[2011·福建卷] 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式yax310(x6)2，其中3x6,a为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．(1)求a的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．

2. 某货轮匀速行驶在相距300海里的甲、乙两地间运输货物，运输成本由燃料费用和其他费用组成，已知该货轮每小时的燃料费用与其航行的速度的平方成正比（比例系数为0.5），其它费用为每小时450元，且该货轮的最大航行速度为50海里/小时.（1）请将从甲地到乙地的运输成本y（元）表示为航行的速度x（海里/小时）的函数；（2）要使从甲地到乙地的运输成本最少，该货轮应以多大的航行速度行驶？

【课后巩固】1．某公司生产某种产品，固定成本为20000元，每生产一单位该产品，成本增加100元，已知每月总收益R与月产量x的关系是R(x)400x12x2,0x400，若要使公司每月的总利润最大时，该产80000,x400品的月产量是多少？

2. 已知某商品进价为a元/件，根据以往经验，当售价是b(b43a)元/件时，可卖出c件.市场调查表明，当售价下降10%时，销量可增加40%，现决定一次性降价，销售价为多少时，可获得最大利润？

3.某厂生产某种电子元件，如果生产出一件正品，可获利200元，如果生产出一件次品则损失100元.已知该厂制

造电子元件过程中，次品率p与日产量x的函数关系是：p3x4x32,xN．（1）将该厂的日盈利额T （元）表示为日产量x（件）的函数；（2）为获得最大盈利，该厂的日产量应为多少件？

【我的收获】（学生学后记、教师教后记）

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