3.1.3 空间向量的数量积运算课件配套优秀

3.1.5 空间向量的数量积

学习目标

1.理解空间向量坐标的概念，会确定一些简单几何体的顶点坐标.2.掌握空间向量的坐标运算规律，并会判断两个向量是否共线或垂直.3.掌握空间向量的模、夹角公式和两点间距离公式，并能运用这些知识解决一些相关问题.

知识点一

空间向量的夹角

→→1.文字叙述：a，b是空间两个非零向量，过空间任意一点O，作OA＝a，OB＝b，则________叫做向量a与向量b的夹角，记作________. 2.图形表示：

角度

〈a，b〉＝________

〈a，b〉是________

表示

〈a，b〉是________

〈a，b〉是钝角

〈a，b〉＝________

3.范围：________≤〈a，b〉≤________.

π4.空间向量的垂直：如果〈a，b〉＝，那么称a与b互相垂直，记作________. 2

知识点二

空间向量的数量积

思考

两个向量的数量积是数量，还是向量？

1

梳理

(1)定义：

①设a，b是空间两个非零向量，把数量______________叫做a，b的数量积. ②记作：a·b，即a·b＝________________. (2)运算律：

交换律

数乘向量与向量

数量积的结合律

分配律

(3)坐标表示：

已知非零向量a，b，a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则

①a·b＝________________. ②a⊥b⇔________⇔________________. ③|a|＝a·a＝________________. ④cos〈a，b〉＝________________________.

知识点三

空间中两点间的距离公式

思考

空间两点间的距离公式与两点顺序有关吗？

梳理

在空间直角坐标系中，设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则AB＝________________________. a·b＝________________ (λa)·b＝________(λ∈R) a·(b＋c)＝________

类型一

空间向量的数量积运算

命题角度1 空间向量的数量积基本运算

例1 (1)下列命题是否正确？正确的请给出证明，不正确的给予说明. ①p·q＝(p·q)；

②|p＋q|·|p－q|＝|p－q|；

③若a与(a·b)·c－(a·c)·b均不为0，则它们垂直.

2 22222

(2)设θ＝〈a，b〉＝120°，|a|＝3，|b|＝4，求：

①a·b；②(3a－2b)·(a＋2b).

反思与感悟

(1)已知a，b的模及a与b的夹角，直接代入数量积的公式计算. (2)如果欲求的是关于a与b的多项式形式的数量积，可以先利用数量积的运算律将多项式展开，再利用a·a＝|a|及数量积公式进行计算. 跟踪训练1 已知a，b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a＋3b|＝________.

命题角度2 利用空间向量的数量积解决立体几何中的运算问题

例2 已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E为侧面ABB1A1的中心，F为A1D1的中点.试计算：

→→→→→→(1)BC·ED1；(2)BF·AB1；(3)EF·FC1.

反思与感悟

两向量的数量积，其运算结果是数量，而不是向量.零向量与任意向量的数量积为0.向量的数量积不满足结合律. 跟踪训练2 已知正四面体OABC的棱长为1，求：

→→→→→→→(1)(OA＋OB

)·(CA＋CB)；(2)|OA＋OB＋OC|.

类型二

利用数量积求夹角或模

命题角度1 利用数量积求夹角

2

3

例3 已知BB1⊥平面ABC，且△ABC是∠B＝90°的等腰直角三角形，▱ABB1A1、▱BB1C1C的对角线都分别相互垂直且相等，若AB＝a，求异面直线BA1与AC所成的角.

反思与感悟

利用向量求异面直线夹角的方法

跟踪训练3 已知：PO、PA分别是平面α的垂线、斜线，AO是PA在平面α内的射影，l⊂α，且l⊥OA. 求证：l⊥PA.

命题角度2 利用数量积求模(或距离) 例4 如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝1，AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，求AC1的长.

4

反思与感悟

利用向量的数量积求两点间的距离，可以转化为求向量的模的问题，其基本思路是先选择以两点为端点的向量，将此向量表示为几个已知向量的和的形式，求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模，利用公式|a|＝a·a求解即可. 跟踪训练4 如图，已知线段AB⊥平面α，BC⊂α，CD⊥BC，DF⊥平面α，且∠DCF＝30°，D与A在α的同侧，若AB＝BC＝CD＝2，求A，D两点间的距离.

类型三

利用空间向量的数量积解决垂直问题

例5 如图，在空间四边形OABC中，OB＝OC，AB＝AC，求证：OA⊥BC.

反思与感悟

(1)证明线线垂直的方法

证明线线垂直的关键是确定直线的方向向量，看方向向量的数量积是否为0来判断两直线是否垂直. (2)证明与空间向量a，b，c有关的向量m，n垂直的方法：

先用向量a，b，c表示向量m，n，再判断向量m，n的数量积是否为0. 跟踪训练5 已知向量a，b满足：|a|＝2，|b|＝2，且a与2b－a互相垂直，则a与b的夹角为________.

5

1.若a＝(2，－3,1)，b＝(2,0,3)，c＝(0,2,2)，则a·(b＋c)的值为________. 2.已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k的值是________. 3.已知a，b为两个非零空间向量，若|a|＝22，|b|＝2，a·b＝－2，则〈a，b〉＝________. 24.已知正四面体ABCD的棱长为2，E，F分别为BC，AD的中点，则EF的长为________. →→5.已知A(2，－5,1)，B(2，－2,4)，C(1，－4,1)，则向量AB与AC的夹角为________.

1.在几何体中求空间向量数量积的步骤

(1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式. (2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积. (3)代入a·b＝|a||b|cos〈a，b〉求解. 2.空间向量的数量积和夹角有关，经常以空间向量数量积为工具，解决立体几何中与夹角相关的问题，把空间两条直线所成的角问题转化为两条直线对应向量的夹角问题，但要注意空间两条直线所成的角与对应向量的夹角的取值范围.

6

答案精析

问题导学

知识点一

1.∠AOB

〈a，b〉

2.0 锐角

直角

π

3.0 π

4.a⊥b

知识点二

思考

数量，由数量积的定义a·b＝|a||b|cos〈a，b〉，知其为数量而非向量. 梳理

(1)①|a||b|cos〈a，b〉

②|a||b|cos〈a，b〉

(2)b·a

λ(a·b) a·b＋a·c

(3)①x1x2＋y1y2＋z1z2

②a·b＝0 x1x2＋y1y2＋z1z2＝0 ③x1＋y1＋z1

④222x1x2＋y1y2＋z1z2

22222x2＋y＋z·x＋y＋z111222知识点三

思考

空间两点间的距离是同名坐标的差的平方和的算术平方根，因此空间两点间的距离公式与两点顺序无关. 梳理

x1－x2题型探究

2＋y1－y22＋z1－z22

例1 (1)解

①此命题不正确. ∵p·q＝|p|·|q|，

而(p·q)＝(|p|·|q|·cos〈p，q〉)

＝|p|·|q|·cos〈p，q〉，

∴当且仅当p∥q时，p·q＝(p·q). ②此命题不正确. ∵|p－q|＝|(p＋q)·(p－q)| ＝|p＋q|·|p－q|·|cos〈p＋q，p－q〉|，

∴当且仅当(p＋q)∥(p－q)时，

|p－q|＝|p＋q|·|p－q|. ③此命题正确. ∵a·[(a·b)·c－(a·c)·b]＝a·(a·b)·c－a·(a·c)·b＝(a·b)(a·c)－

7 2222222222222222

(a·b)(a·c)＝0，

且a与(a·b)·c－(a·c)·b均为非零向量，

∴a与(a·b)·c－(a·c)·b垂直. (2)解

①∵a·b＝|a||b|cos〈a，b〉，

∴a·b＝3×4×cos 120°＝－6. ②∵(3a－2b)·(a＋2b)＝3|a|2＋4a·b－4|b|2

＝3|a|2＋4|a||b|cos 120°－4|b|2，

∴(3a－2b)·(a＋2b)＝3×9＋4×3×4×(－12)－4×16＝27－24－64＝－61. 跟踪训练1 13 例2 解

如图，设→AB＝a，→AD＝b，

AA→1＝c，则|a|＝|c|＝2，|b|＝4，

a·b＝b·c＝c·a＝0. (1)→BC·ED→11＝b·[2(c－a)＋b] ＝|b|2＝42＝16. (2)→BF·AB→11＝c－a＋2b·(a＋c) ＝|c|2－|a|2＝22－22＝0. (3)→EF·FC→1＝

12c－a＋12b·12b＋a

＝12(－a＋b＋c)·12b＋a

＝－12|a|2＋124|b|＝2. 跟踪训练2 (1)1 (2)6 例3 解

如图所示.∵BA→→→→→→1＝BA＋BB1，AC＝AB＋BC，

8

∴BA→→→→→→1·AC＝(BA＋BB1)·(AB＋BC) ＝→BA·→AB＋→BA·→BC＋BB→→→→1·AB＋BB1·BC. ∵AB⊥BC，BB1⊥AB，BB1⊥BC，

∴→AB·→BC＝0，BB→→1·AB＝0，

BB→→→→1·BC＝0且BA·AB＝－a2. ∴BA→→21·AC＝－a. 又BA→→AC＝|BA→→→→1·1|·|AC|cos〈BA1，AC〉，

2∴cos〈BA→→－a1，AC〉＝2a·2a＝－12. 又∵〈BA→→1，AC〉∈[0°，180°]，

∴〈BA→→1，AC〉＝120°，

又∵异面直线所成的角是锐角或直角，

∴异面直线BA1与AC所成的角为60°.

跟踪训练3 证明

如图，取直线l的方向向量a，同时取向量→PO，→OA，→PA. 因为l⊥OA，

所以a·→OA＝0. 因为PO⊥α，且l⊂α，所以l⊥PO，

因此a·→PO＝0. 又因为a·→PA＝a·(→PO＋→OA) ＝a·→PO＋a·→OA＝0，

所以l⊥PA.

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→→→→例4 解

因为AC1＝AB＋AD＋AA1，

→2→→→2→2→2→2→→→→→→所以AC1＝(AB＋AD＋AA1)＝AB＋AD＋AA1＋2(AB·AD＋AB·AA1＋AD·AA1). 因为∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，

→→所以〈AB，AD〉＝90°，

→→→→〈AB，AA1〉＝〈AD，AA1〉＝60°，

→2所以AC1＝1＋4＋9＋2(1×3×cos 60°＋2×3×cos 60°)＝23. 因为AC→2AC→21＝|1|，

所以|AC→2→1|＝23，|AC1|＝23，

即AC1＝23. 跟踪训练4 22 例5 证明

因为OB＝OC，AB＝AC，

OA＝OA，

所以△OAC≌△OAB，

所以∠AOC＝∠AOB. 又→OA·→BC＝→OA·(→OC－→OB) ＝→OA·→OC－→OA·→OB

＝|→OA|·|→OC|cos∠AOC－|→OA|·

|→OB|cos∠AOB＝0，

所以→OA⊥→BC，即OA⊥BC. 跟踪训练5 45°

当堂训练

1.3 2.75

3.3ππ4

4.2 5.3

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