3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则教学目标

3.2.2、基本初等函数的导数公式及导数的运算法则教学设计

【教学目标】

1、掌握基本初等函数的导数公式，并能利用公式求简单函数的导数；

2、掌握导数的四则运算法则，并能利用公式求简单函数的导数；

3、能运用公式处理某些实际问题。

【教学重点】基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则

【教学难点】

基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则的应用

【教学过程】

一、知识回顾：

公式1、(C)'0

（C为常数）

公式2、(xn)'nxn1

（n为有理数）

二、新课讲授

（一）基本初等函数的导数公式表

函数

yc

yf(x)xn(nQ*)

ysinx

ycosx

yf(x)ax

x

yf(x)e

f(x)logax

f(x)lnx

（二）公式的应用

导数

y'0

y'nxn1

y'cosx

y'sinx

y'axlna(a0)

y'ex

f'(x)1(a0且a1)

xlnaf'(x)1x

例1、求下列函数的导数(1)yx5(4)ylnx

(2)y5(5)1

xylog2x(6)ycosx(3)y

（三）基础训练

1、求下列函数的导数：(1)yx1(2)y5x(3)y5x(4)ye5

（四）例题分析：

例2、假设某国家在20年期间的通货膨胀率为5%，物价p(单位：元)与时间t(单位：年)有如下关系：p(t)=p0(1+5%)t，其中p0为t=0时的物价，假定某种商品的p0=1，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少？(精确到0.01)

（五）基础训练

5

2、求函数ycosx在x2处的切线方程。

（六）导数的运算法则

（1）导数的四则运算法则：

导数运算法则

f(x)g(x)f'(x)g'(x)

'''2、f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)

1、'f(x)f'(x)g(x)f(x)g'(x)(g(x)0)

3、2g(x)g(x)

'（2）推论：cf(x)cf(x)

''

（常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数）

三、典例分析

例3、根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数．

（1）yx2x3

3

（2）y11；

1x1x（3）yxsinxlnx；

x；

4x1lnx（5）y．

1lnx（4）y（6）y(2x25x1)ex；

（7）ysinxxcosx

cosxxsinx解：（1）y'(x32x3)'(x3)'(2x)'(3)'3x22，

y'3x22。

1'1'(1x)'(1x)')()（2）y(

221x1x(1x)(1x)'12x2x

(1x)2(1x)2112x(1x)[121(1x)2]

(1x)2(1x)2

2(1x)2x1(1x)x

2x(1x)(1x)x

x(1x)2'''y'（3）y(xsinxlnx)[(xlnx)sinx]

(xlnx)'sinx(xlnx)(sinx)'

1(1lnxx)sinx(xlnx)cosx

xsinxlnxsinxxlnxcosx

y'sinxlnxsinxxlnxcosx

x'x'4xx(4x)'14xx4xln41xln4（4）y(x)，

4(4x)2(4x)24x'y'1xln4。

x411lnx'212x（5）y'(

)(1)'2()'21lnx1lnx1lnx(1lnx)2x(1lnx)2y'2

2x(1lnx)（6）y'(2x25x1)'ex(2x25x1)(ex)'

(4x5)ex(2x25x1)ex(2x2x4)ex，

y'(2x2x4)ex。

（7）y('sinxxcosx')

cosxxsinx(sinxxcosx)'(cosxxsinx)(sinxxcosx)(cosxxsinx)'

(cosxxsinx)2

(cosxcosxxsinx)(cosxxsinx)(sinxxcosx)(sinxsinxxcosx)(cosxxsinx)2xsinx(cosxxsinx)(sinxxcosx)xcosx

2(cosxxsinx)x2。

2(cosxxsinx)x2

y(cosxxsinx)2'【点评】

①

求导数是在定义域内实行的．

②

求较复杂的函数积、商的导数，必须细心、耐心．

例3、日常生活中的饮水通常是经过净化的．随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知将1吨水净化到纯净度为x%时所需费用（单位：元）为

c(x)5284(80x100)

100x求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率：（1）90%

（2）98%

解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数．

5284'5284'(100x)5284(100x)'

c(x)()100x(100x)2'0(100x)5284(1)5284

(100x)2(100x)2（1）因为c(90)元/吨．

（2）因为c(98)元/吨．

''5284所以，纯净度为90%时，费用的瞬时变化率是52.8452.84，2(10090)5284费用的瞬时变化率是13211321，所以，纯净度为98%时，(10090)2

函数f(x)在某点处导数的大小表示函数在此点附近变化的快慢．由上述计算可知，c'(98)25c'(90)．它表示纯净度为98%左右时净化费用的瞬时变化率，大约是纯净度为90%左右时净化费用的瞬时变化率的25倍．这说明，水的纯净度越高，需要的净化费用就越多，而且净化费用增加的速度也越快．

四．课堂练习

1、根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求函数f(x)=x3-2x+3的导数。

2、求下列函数的导数：

（1）yx3sinx

(2)yx4x2x3

（3）y2x33x25x4

(4)y(2x23)(3x2)

x2（5）ysinx

sinx（6）ycosx3、已知曲线C：y

＝3 x

4－2 x3－9 x2＋4，求曲线C上横坐标为1的点的切线方程；

（y

＝－12 x

＋8）

4、某运动物体自始点起经过t秒后的距离s满足：s时刻速度为零? 5、求y14t4t316t2，求此物体在什么4x3在x3处的导数。

2x3

6、求曲线yex1在点P(0，

2)处的切线方程。7、曲线y4xx2上两点A(4，0)、B(2，4)，若曲线上一点P处的切线恰好平行于AB，则P的坐标为______________

18、P是曲线yx上的点，若过点P的切线与直线yx1垂直，则过点P2处的切线方程为______________________29、曲线f(x)x3x2在P0点处的切线平行于直线y4x1，则P0点的坐标为

．

10、已知抛物线yx2bxc上的点（1，2）处的切线与直线yx2平行，求b，c的值。

五、回顾总结

（1）基本初等函数的导数公式表

（2）导数的运算法则

六、布置作业

1、已知f(x)x2，则f'(3)（

）

A、0

B、2x

C、6

D、9 1，则f'(2)（

）

x11A、4

B、

C、4

D、

442、已知函数f(x)3、yx的斜率等于2的切线方程为（

）

A、2xy10

B、2xy10或2xy10

C、2xy10

D、2xy0

21上一点P的切线的斜率为4，则P的坐标为（

）

x11111A、(,2)

B、(,2)或(,2)

C、(,2)

D、(,2)

222224、过曲线y5、在曲线yx上的切线的倾斜角为22的点的坐标为

；

46、抛物线yx过点（1，1）的切线方程为

；

7、某物体做直线运动，其运动规律是s=t2+的瞬时速度为

.

8、已知P(1,1),Q(2,4)是曲线yx上的两点，求与直线PQ平行的曲线yx的切线223( t的单位是秒，s的单位是米)，则它在4秒末t

方程。

【课后反思】

由于公式没有推导的过程，所以应当要求学生熟记公式，并能在大量的训练基础上熟练的掌握以及应用公式。