直角三角形的性质与判定板书设计及意图

三角形全等的判定(二)

一、教学目的和要求

熟练掌握角边角公理，能正确找出公理的条件，从而证明两个三角形全等

，进而由三角形全等还可以得出对应边相等和对应角相等。利用三角形全等解决证明边相等或角相等的问题。

二、教学重点和难点

重点：对于证明两个三角形全等条件的正确运用，可以由两角和夹边对应相等的条件证明三角形全等，在图形较复杂的情况下，对应关系应当找对，同时对角角边公理应加以重视。

难点：例题难度加强了，使学生能够经过几步推理逐渐找到解题最佳途径。证明两次全等，运用不同判定公理时，要思路清楚。

二、教学过程

(一)复习、引入

提问：

1. 我们已经学习了角边角公理，“角、边、角”的含义是什么？

（两个三角形的两个角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等）。

2. 已知两个三角形有两个角相等，能否推出第三个角也对应相等？为什么？由此可以得到哪个判定公理？

（第三个角也应相等，因为三角形内角和等于180，由此可以得到角角边公理）。

3. 两个直角三角形中，斜边和一个锐角对应相等，这两个三角形全等吗？为什么？

（全等，由AAS公理可得出）

4. 两个直角三角形中，有一条直角边和它的对角对应相等，这两个直角三角形全等吗？为什么？

（全等，由AAS公理可得出）

5. 两个直角三角形中，有一条直角边和与它相邻的锐角对应相等，这两个直角三角形全等吗？为什么？

（全等，由AAS公理可得出）

(二)新课

刚才同学们能很快运用ASA和AAS公理证明三角形全等，但是有些题目的条件比较隐蔽，需经过分析方能找到解题的思路，这类题目能锻炼同学们的思维能力，请特别注意，下面我们看几个例题：

例1

已知：如图67，1＝2，AD＝AE

求证：OB＝OC

A

D

1

2

E

O

分析：这题与书中例1图相同，但改变了已知条件，难度有所增加，所求线段OB和OC分别在BOD和COE中，但直接证这两个三角形全等，条件不够，需要从另两个三角形全等中创造条件。根据已知条件，可证明ABE 

ACD。

证明：

在ABE和ACD中

AA(公共角)

AEAD(已知)

21(已知)

ABE 

ACD（ASA）

AB＝AC（全等三角形对应边相等）

B＝C（全等三角形对应边相等）

又∵AD＝AE（已知）

BDCE

1＝2

BDO＝CEO

在BOD和COE中

BDO＝CEO(已证)

BDCE(已证)

BC(已证)

BOD 

COE（ASA）

OB＝OC（全等三角形对应边相等）

例2

已知：如图68，1＝2，3＝4

求证：ADC＝BCD。

D

C

B

C

图67

3

4

1

2

A

B

图68

分析：所要求证相等的两个角分别在两个三角形中，即ACD和BDC中，欲让此两三角形全等有已知3＝4，这时可有两种思路：若用边角边公理，则应找到AD＝BC，AC＝BD，若用角边角公理则应证出AC＝BD，ACD＝BDC，经过分析，用第一种思路较好。

证明：∵1＝2，3＝4

1＋3＝2＋4

即BAD＝ABC

在ABD和BAC中

21(已知)

ABBA(公共边)

BADABC(已证)

ABD 

BAC(ASA)

AD＝BC，BD＝AC（全等三角形对应边相等）

在ADC和BCD中

ADBC(已知)

34(已证)

ACBD(已证)

ADC 

BCD(SAS)

ADC＝BCD（全等三角形对应角相等）

例3

已知：如图69，AB//CD，AB＝CD，AD、CB交于O点。

求证：OE＝OF。

C

E

D

O

分析：此题可以开发学生一题多解的思维，即COD与BOA全等既可以用“AAS”，又可以用“ASA”，进一步再证OCF 

OBE即可。

证明：∵AB//CD（已知）

C＝B，D＝A（两直线平行内错角相等）

在OCD和OBA中

CB(已证)

CDBA(已知)

DA(已证)

OCD 

OBA（ASA）

此时可提问学生：还有没有其他办法证这两个三角形全等？

OC＝OB（全等三角形对应边相等）

A

E

B

图69

在OCF和OBE中

CB(已证)

OCOB(已证)

FOCEOB(对顶角相等)

OCF 

OBE（ASA）

OF＝OE（全等三角形对应边相等）

例4

已知：如图70，在ABC中，ADBC于D，CFAB于F，AD与CF相交于G，且CG＝AB。

求证：BCA的度数。

A

F

G

B

D

C

图70

分析：图形比较复杂，图中三角形较多，正确分析已知条件后可知应当证明AB和CG所在的三角形，即ABD和CGD全等，然后可知对应边AD＝DC，则ADC为等腰直角三角形，BCA＝45。

证明：∵ADBC，CFAB

B＋BAD＝B＋DCG＝90（直角三角形两个锐角互余）

BAD＝DCG

在BAD和GCD中

BADDCG(已证)

ADBCDG(垂直定义)

ABCG(已知)

BAD 

GCD(AAS)

AD＝CD（全等三角形对应边相等）

∵RtADC中

BCA＝45

(三)巩固练习

1. 已知：如图71，1＝2，C＝D

求证：AC＝AD。

D

A

1

B

2

C

图71

2. 已知：如图72，点B、F、C、E同在一条直线上，FB＝CE，AF＝DC，AFB＝DCE。

求证：AB＝DE；AC＝DF。

A

B

F

C

E

D

图72

(四)小结

1. 三角形全等公理2与推论有同等重要的地位，应牢记。只要两个三角形有两个角和一条边对应相等，就可以证出全等三角形，但对应关系应当找对，不能一个三角形是AAS，而另一个三角形是ASA。

2. 在求边相等或角相等的题目中，应首先观察所要求证相等的边或角在哪两个三角形中，若直接用三角形全等，条件不够，则应当考虑先证其他三角形全等，得出所需的条件，因而可以解决问题，也就是要证两次全等的类型题目。

(五)作业

1. 已知：如图73，ABC中，N是AB中点，BCMN是平行四边形

求证：AP＝PC。

A

N

P

M

B

C

图73

2. 已知：如图74，ABC中，BDAC，CEAB

垂足分别是D、E。ABC＝ACB，BD和CE相交于O。

求证：OD＝OE。

A

E

D

B

C

图74

3. 已知：如图75，点E、F在BC上，BE＝CF。

AB＝DC，B＝C，AF和DE相交成60角，且AF、DE相交于O点，

求：DFE和AFE的度数。

A

D

O

B

E

F

C

图75

（古

伟）

答案及揭示

巩固练习

1. 证明：在ABD和ABC中

12(已知)

ABAB(公共边)

DC(已知)

ABD 

ABC（ASA）

AC＝AD（全等三角形对应边相等）

2. 证明：在ABF和DEC中

FBCE(已知)

AFBDCE(已知)

AFDC(已知)

ABF 

DEC（SAS）

ABDE（全等三角形对应边相等）

B＝E（全等三角形对应角相等）

BF＋FC＝EC＋FC（等量加等量和相等）

在ABC和CEF中

ABDE(已证)

BE(已证)

BCFE(已证)

ABC 

DEF（SAS）

AC＝DF（全等三角形对应边相等）

作业：

1. 证明：∵N是AB中点

AN＝BN（中点定义）

∵BCMN是平行四边形

BN＝CM＝AN

∵AB//MC（平行四边形对边平行）

ANP＝M（两直线平行内错角相等）

在ANP和CMP中

ANPM(已证)

ANCM(已证)

APNCPM(对顶角相等)

ANP 

CMP（AAS）

AP＝PC（全等三角形对应边相等）

2. 证明：∵BDAC，CEAB（已知）

BEC＝CDB（直角定义）

在BCD和CBE中

BECCDB(已证)

ABCACB(已知)

BCBC(公共边)

BCD 

CBE（AAS）

BE＝CD（全等三角形对应边相等）

在OBE和OCD中

BEOCDO(已证)

EOBDOC(对顶角相等)

BECD(已证)

OBE 

OCD（AAS）

OD＝OE（全等三角形对应边相等）

3. 解：∵BE＝CF（已知）

BE＋EF＝FC＋EF（等量加等量和相等）

即BF=CE

在ABF＝DCE中

ABDC(已知)

BC(已知)

BFCE(已证)

ABF 

DCF（SAS）

AFEDEC（全等三角形对应边相等）

EOF60(已知)AFEDEC120DEFAFE60