公式法优秀教案

4.2一元二次方程的解法（4）

班级__________姓名__________ 学习目标：

1、会用公式法解一元二次方程

22、体验用配方法推导一元二次方程求根公式的过程，明确运用公式求根的前提条件是b－4ac≥0

3、在公式的推导过程中培养学生的符号感

学习重点：掌握一元二次方程的求根公式，并应用它熟练地解一元二次方程

学习难点：求根公式的结构比较复杂，不易记忆；系数和常数为负数时，代入求根公式常出符号错误

学习过程：

一、知识准备

1、用配方法解一元二次方程的步骤是什么？

2、用配方法解下例方程

（1）2x7x20 （2）2x4x50

二、学习内容

2如何解一般形式的一元二次方程ax＋bx＋c = 0（a≠0）？

1、阅读下列解方程的过程：

22bcx0

aabc2移项，得 xx

aabbcb2x()2()2 配方，得

x22a2aa2a2因为a0，方程两边都除以a，得 xb2b24ac)即 (x

22a4abb24acbb24ac当b4ac0，时，x，即x。

2a2a2a2

1

2、思考：

（1）为什么要求b4ac0？

(2)这个公式说明了什么？

（这个公式说明方程的根是由方程的系数a、b、c所确定的，利用这个公式，我们可以由一元二次方程中系数a、b、c的值，直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法。）

2 （3）若b– 4ac＜ 0，方程还有根吗？

3、请你利用求根公式解下列方程：

2 2

⑴

x＋3x＋2 = 0⑵ 2 x－7x = 4

三、知识梳理

1、用公式法解一元二次方程时要注意什么？

2、任何一个一元二次方程都能用公式法求解吗？举例说明。

23、若解一个一元二次方程时，b－4ac＜0，请说明这个方程解的情况。

四、达标检测

221、把方程4-x=3x化为ax+bx+c=0(a≠0)形式为

，2b-4ac= .

2、用公式法解下列方程：

222（1）x-2x-8=0； （2）x+2x-4=0； （3）2x-3x-2=0；

（4）3x(3x-2)+1=0. （5）2xx60 （6）x4x2

3、已知等腰三角形的底边长为9，腰是方程x10x240的一个根，求这个三角形的周长。

22224.2一元二次方程的解法（5）

2

班级 姓名 学习目标：

1、用公式法解一元二次方程的过程中，进一步理解代数式b2－4ac对根的情况的判断作用

2、能用b2－4ac的值判别一元二次方程根的情况

3、在理解根的判别式的过程中，体会严密的思维过程

学习重点：一元二次方程根与系数的关系

学习难点：由一元二次方程的根的情况求方程中字母系数的值

学习过程：

一、复习巩固

1、一元二次方程ax＋bx＋c = 0（a≠0）当b24ac0时，X1,2 = 22、运用公式法解下例方程：

（1）x2 -4x+4=0 （2）2x2 -3x -4=0 (3) x2+3x+5=0

二、情境创设

1、引导学生思考：不解方程，你能判断下列方程根的情况吗？

⑴

x2＋2x－8 = 0 ⑵ x2 = 4x－4 ⑶ x2－3x = －3

三、探索活动

1、一元二次方程根的情况与一元二次方程中二次项系数、一次项系数及常数项有关吗？能否根据这个关系不解方程得出方程的解的情况呢？

2、解下列方程：

⑴

x2＋x－1 = 0 ⑵ x2－23x＋3 = 0 ⑶ 2x2－2x＋1 = 0

3、通过解上述方程你能得出什么结论？

探索一元二次方程的根的情况与b2－4ac的符号有什么关系？

四、知识梳理

1、一元二次方程ax2＋bx＋c = 0（a≠0）

3

有两个不相等的实数根时

， b2－4ac

2有两个相等的实数根时， b－4ac 没有实数根时， b2－4ac 2、反过来呢？

3、方程的根与系数又有怎样的关系？

五、达标检测

1、不解方程，判断下列方程根的情况：

（1）2x2x60； （2）x24x2；

（3）4x213x

（4）

3x2－x＋1 = 3x （5）5（x2＋1）= 7x （6）3x2－43x =－4

2、方程3x2+2=4x的判别式b2-4ac= ，所以方程的根的情况是 .

3、一元二次方程x2-4x+4=0的根的情况是（

）

A.有两个不等的实数根 B.有两个相等的实数根

C.没有实数根 D.不能确定

4、下列方程中，没有实数根的方程式（

）

A.x2=9 B.4x2=3(4x-1) C.x(x+1)=1 D.2y2+6y+7=0

5、方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实数根，那么总成立的式子是（

）

A.b2-4ac＞0 B. b2-4ac＜0 C. b2-4ac≤0 D. b2-4ac≥0

6、如果方程9x2-(k+6)x+k+1=0有两个相等的实数根，那么k= .

7、关于x的方程x2+2kx+1=0有两个不相等的实数根，则k = .

8、已知方程x2-mx+n=0有两个相等的实数根，那么符合条件的一组m，n的值可以是m= ,n= . 4

9、若关于x的一元二次方程mx22x10有两个相等的实数根，则m满足___________。

10、当k为何值时，关于x的方程kx2－（2k＋1）x＋k＋3 = 0有两个不相等的实数根？

4.2一元二次方程的解法（6）

班级

姓名

学习目标： 1、了解因式分解法的解题步骤；

2、能用因式分解法解一元二次方程；

3、能根据具体的一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的多样性。

学习重点：应用因式分解法解一元二次方程。

学习难点：因式分解的方法。

学习过程：

一、复习回顾：

1、什么叫因式分解？因式分解的目的是什么？你已经学习了哪些因式分解的方法？

2、你能用因式分解的方法来解方程

x23x

0吗？

二、学习内容：

1、把下列各式因式分解

（1）2x2x （2）x216y2 （3）9a224ab16b2

2、解下列一元二次方程：

（1）x2160 （2）(x2)216

5

（3）t24t45 （4）x22x19

三、知识梳理：

因式分解法解一元二次方程的一般步骤：

１、将方程的右边化为０

２、将方程左边因式分解．

３、根据“至少有一个因式为零”,得到两个一元一次方程

４、分别解两个一元一次方程，它们的根就是原方程的根. 四、典型例题

例1、

解方程：

( x2)24(x2).

例2、解方程：

(x1)290

五、达标测试

1、解下列一元二次方程

（1）(2y1)(y3)0 （2）x23x0

（3）2(x1)x(x1)0 （4）4x(2x1)3(2x1)

6

2、用因式分解法解下列一元二次方程

（1）x24x0 （2）(x1)2160

3、用因式分解法解一元二次方程

（1）3x2=x （2）x＋3－x（x+3）=0

（3）(x2)24(x2) （4）

9t2(t1)20

4.3用一元二次方程解决问题（1）

班级

姓名

学习目标： 1.进一步理解方程是刻画客观世界的有效模型， 2.通过对实际问题的决实际问题的过程，知道解应用题的一般步骤和关键所在

学习重点：用一元二次方程解决问题

学习难点：分析等量关系

学习过程：

一、情境引入：

围绕长方形公园的栅栏长280m.已知该公园的面积为4800m2. 求这个公园的长与宽. 二、探究学习：

1．尝试：

通常用一元一次方程解决实际问题要经历怎样的过程？

2．概括总结．

用方程解决实际问题的一般步骤为：找相等关系；设未知数，列方程，解方程，检验，答题。

7

3.典型例题：

例1、我社组团去龙湾风景区旅游，收费标准为：如果人数不超过30人，人均旅游费用为800元，如果人数多于30人，那么每增加1人，人均旅游费用降低10元，但人均旅游费用不得低于今为500元。甲公司分批组织员工到龙湾风景区旅游，现计划用28000元组织第一批员工去旅游，问这次旅游可以安排多少人参加？

例2、建造一个池底为正方形、深度为2米的长方体无盖水池，池壁的造价为100元/平方米池底的造价为200元/平方米，总造价为6400元，求正方形池底的长。

例3、两个连续奇数的积是323，求这两个数。

4.巩固练习：

（1）在三位数345中，3，4，5是这个三位数的什么？

（2）如果a ,b ,c 分别表示百位数字、十位数字、个位数字，这个三位数能不能写成abc形式？为什么？

（3）有一个两位数，它的两个数字之和是8，把这个两位数的数字交换位置后所得的数乘以原来的数就得到1855，求原来的两位数。

（4）已知两个数的和等于12，积等于32，则这两个是

8

（5）求 x:(x-1)=(x+2):3 中的x.

（6）三个连续整数两两相乘后，再求和，得362，求这三个数。

三、归纳总结：

1、列一元二次方程解决实际问题的一般步骤. 2、解的取舍情况. 【课后作业】

1、某电视机厂计划用两年的时间把某种型号的电视机的成本降低36%, 若每年下降的百分数相同,则这个百分数为 （ ）

A、10% B、20% C、120% D、180% 2、若两个连续整数的积是56,则它们的和是 ( ) A、±15 B、15 C、-15 D、11 3、一种药品经过两次降价后,每盒的价格由原来的60元降至48.6元,那么平均每次降价的百分率是 。

4、某地区开展“科技下乡”活动三年来，接受科技培训的人员累计达95万人次，其中第一年培训了20万人次。设每年接受科技培训的人次的平均增长率都为x，根据题意列出的方程是___________。

5、西瓜经营户以2元/kg的价格购进一批小型西瓜，以3元/kg的价格出售，每天可售出200kg，为了促销，该经营户决定降价销售，经调查发现，这种小型西瓜每降价0、1元/kg，每天可多售出40kg，另外，每天的房租等固定成本共24元，该经营户要想每天盈利润200元，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元？

9

6、如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为a为15米），

围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃。

（1）如果要围成面积为45平方米的花圃，AB的长是多少米？

（2）能围成面积比45平方米更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由。

7、常州春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游，推出了如下收费标准：

如果人数超过25人，如果人数不超过每增加1人，人均旅25人，人均旅游游费用降低20元，费用为1000元

但人均旅游费用不 得低于700元

某单位组织员工去天水湾风景区旅游，共支付给春秋旅行社旅游费用27000元，请问该单位这次共有多少员工去天水湾风景区旅游？

4.3用一元二次方程解决问题（2）

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班级

姓名

学习目标： 1、进一步体会通过建立方程解决实际问题的意义和方法

2、进一步体会运用方程解决问题的关键是寻找等量关系，提高分析问题、解决问题的能力

学习重点：学会用列方程的方法解决有关形积问题．

学习难点：如何找出形积问题中的等量关系

学习过程：

一、情境引入：

小明有一块长方形铁皮，长是宽的2倍，现他在四角各截去一个正方形后，制成了高是5㎝，容积是500的无盖长方体容器。你能求这块铁皮的长和宽吗？

二、探究学习：

尝试：

如何设未知数？如何找出表达实际问题的相等关系？这个问题中的相等关系是什么？

一般情况下，应设要求的未知量为未知数；应从题中寻找未知数所表示的未知量与已知量之间的等量关系；这个问题的等量关系是“长×宽×高=容积”与“长=宽×2”。

2．概括总结．

用方程解决实际问题首先要找出相等关系，然后通过将已知数或含未知数的代数式代入，从而得到方程。

3.典型例题：

例1、一块起码方形铁皮的四个角各剪去一个边长为4㎝的小正方形，做成一个无盖的盒子。已知盒子的容积是400㎝，求原铁皮的边长。

课堂练习

1.一块长方形菜地的面积是150m2,如果它的长减少5m,那么菜地就变成正方形.求原菜地的长和宽

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例2、在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅所图所示的矩形图．如果要使整个挂图的面积是5400cm2，求金色纸边的宽。

分析：如设金色纸边宽为xcm，根据纸边的面积等于5400-80×50即可得方程。

课堂练习

将5个边长为10cm的正方体钢锭，溶化后铸成底面半径为4cm的圆柱型钢，问这圆柱型钢长多少？

例3、某商店6月份的利润是2500元，要使8月份的利润达到3600元，这两个月利润的月平均增长的百分率是多少？

分析：如果设这两个月的利润平均月增长的百分率是x，那么7月份的利润是2500（1＋x）元，8月份的利润是2500（1＋x）2元。

课堂练习

1、某蔬菜交易市场2月份的蔬菜交易量是5000t，4月份达到7200t，平均每月增长的百分率是多少？

2、某种服装原价为每件80元,经两次降价,现售价为每件51.2元,求平均每次降价的百分率.

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3、一张长方形铁皮，四个角各剪去一个边长为4cm的小正方形，再折起来做成一个无盖的小

盒子。已知铁皮的长是宽的2倍，做成的小盒子的容积是1536cm3，求长方形铁皮的长与宽

。

4、某服装店花2000元进了批服装，按50%的利润定价，无人购买。决定打折出售，但仍无人购买，结果又一次打折后才售完。经结算，这批服装共盈利430元。如果两次打折相同，每次打了几折？

5、某厂1月份生产零件2万个，一季度共生产零件7.98万个，若每月的增长率相同，求每月的增长率.

6、某公司计划两年内把产量翻两番，如果每年比上一年提高的百分数相同，求这个百分数。

三、归纳总结：

1、形体类问题要注意其中变化的量及不变的量. 2、利润问题基本量之间的关系.

【课后作业】

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一、选择题:将下列各题中唯一正确答案的序号填在题后括号内。

1.某商品两次价格上调后，单位价格从4元变为4.84元,则平均每次调价的百分率是( ) A、9%

B、10％

C、11％

D、12％

2.某商品连续两次降价，每次都降20﹪后的价格为m元，则原价是（ ）

mm2（A）2元 （B）1.2m元 （C）元 （D）0.8m元

20.81.23.一工厂计划2007年的成本比2005年的成本降低15%，如果每一年比上一年降低的百分率为x，那么求平均每一年比上一年降低的百分率的方程是( )

A、(1-x)2=15% B、(1+x)2=1+15% C、(1-x)2=1+15% D、(1-x)2=1-15% 二、填空题：

4.某林场第一年造林200亩，第一年到第三年共造林728亩，若设每年增长率为x，则应列出的方程是________________________。

5..某工厂第一季度生产机床400台，如果每季度比上一季度增长的百分数相同，结果第二季度与第三季度共生产了1056台机床，这个百分数是_______. 三、列方程解应用题. 6．.某工厂计划两年内把产量翻一番，如果每年比上一年提高的百分数相同，求这个百分数。

7．某厂1月份生产零件2万个，一季度共生产零件7.98万个，若每月的增长率相同，求每月的增长率.

8．某商场今年2月份的营业额为400万元，3月份的营业额比2月份增加10%，5月份的营业额达到633.6万元，求3月份到5月份营业额的月平均增长率。

9．已知矩形ABCD，长BC=12cm，宽AB=8cm，P、Q分别是AB、BC上运动的两点。若P自点A出发，以1cm/s的速度沿AB方向运动，同时，Q自点B出发以2cm/s的速度沿BC方向运动，问经过几秒，以P、B、Q为顶点的三角形1占矩形面积的？

8A D

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P B Q C

4.3用一元二次方程解决问题（3）

班级

姓名

学习目标： １、掌握列出一元二次方程解应用题；并能根据具体问题的实际意义，检验结果的合理性；

２、理解将一些实际问题抽象为方程模型的过程，形成良好的思维习惯，学会从数学的角度提出问题、理解问题，并能运用所学的知识解决问题。

学习重点：学会用列方程的方法解决有关形积问题．

学习难点：如何找出形积问题中的等量关系

学习过程：

一、情境引入：

问题、一根长22cm的铁丝。

（1）

能否围成面积是30cm2cm2的矩形？

（2）能否围成面积是32 cm2的矩形？并说明理由。

二、探究学习：

1．尝试：下面数量之间的关系吗？

如果设这根铁丝围成的矩形的长是xcm，你能用数学式子表示矩形的宽吗？

你能找出这个问题中的相等关系吗？

相等关系： 。

2．概括总结．

列方程的关系是找出相等关系。

3.典型例题：

例题1、如图所示

（1）小明家要建面积为150m2的养鸡场，鸡场一边靠墙，另一边用竹篱笆围成，竹篱笆总长为35m。若墙的长度为18m，鸡场的长、分别是多少？

（2）如果墙的长为15m，鸡场一边靠墙，竹篱笆总长为45m，可围成的鸡场最大面积是多少平方米？

(3) 如果墙的长为15m，鸡场一边靠墙，竹篱笆总长为45m，可围成的15

鸡场的面积能达到250m2吗？通过计算说明理由。

（4）如果墙的长为15m，鸡场一边靠墙，竹篱笆总长为45m，可围成的鸡场的面积能达到100m2吗？通过计算并画草图说明。

例题2、如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=3cm。点P沿边AB从点A开始向点B以2cm/s的速度移动，点Q沿边DA从点D开始向点A以1cm/s的速度移动。如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0≤t≤3）。那么，当t为何值时，△QAP的面积等于2cm2?

4.巩固练习：

（1）用长为100 cm的金属丝制作一个矩形框子。框子各边多长时，框子的面积是600 cm2？能制成面积是800 cm2的矩形框子吗？

（2）如图，在矩形ABCD中，AB=6 cm，BC=12 cm，点P从点A沿边AB向点B以1cm/s的速度移动；同时，点Q从点B沿边BC向点C以2cm/s的速度移动，问几秒后△PBQ的面积等于8 cm2？

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DQABCP

D

C

（3）如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长Q度为a为15米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃。

①如果要围成面积为45平方米的花圃，AB的长是多少米？

B②能围成面积比45平方米更大的花圃吗？如果能，请求出最AP大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由。

（4）、把一根长为80cm的绳子剪成两段，并把每一段绳子围成一个正方形。

①要使这两个正方形的面积之和等于200cm2, 该怎么剪？

②这两个正方形面积之和可能等于488cm2吗？

三、归纳总结：

1、通常用一元二次方程解决实际问题要经历怎样的过程？

2、用一元二次方程解决实际问题的关键是什么？

【课后作业】

1、用长为100 cm的金属丝制作一个矩形框子。框子各边多长时，框子的面积是600 cm2？能制成面积是800 cm2的矩形框子吗？

2．如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB=16cm，BC=6cm，动点AP、Q分别从点A、C出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达B为止；点Q以2cm/s的速度向点D移动。经过多长时间P、Q两P17

QBCD

点之间的距离是10cm？

3．如图，在Rt△ABC中，AB=BC=12cm，点D从点A开始沿边AB以2cm/s的速度向点B移动，移动过程中始终保持DE∥BC，DF∥AC，问点D出发几秒后四边形DFCE的面积为20cm2？

E

AD

4．如图所示，人民海关缉私巡逻艇在东海海域执行巡逻任务时，发现在其所处的位置O点的正北方向10海里外的A点有一涉嫌走私船只正以24海里/时的速度向正东方向航行，为迅速实施检查，巡逻艇调整好航向，以26海里/时的速度追赶。在涉嫌船只不改变航向和航速的前提下，问需要几小时才能追上（点B为追上时的位置）？

5．如图，把长AD=10cm，宽AB=8cm的矩形沿着AE对A折，使D点落在BC边的F点上，求DE的长。

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BFCFBDEC

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