等边三角形的判定课件配套优秀教案案例

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第一章

三角形的证明

1．1

等腰三角形

第1课时

全等三角形和等腰三角形的性质

新教案word版

1．了解等腰三角形的概念，掌握等腰三角形的性质．

2．运用等腰三角形的概念及性质解决相关问题．

自学指导：阅读教材P2～3，完成下列问题．

知识探究

1．在△ABC和△DEF中，若∠A＝∠D，∠B＝∠E，AC＝DF，则△ABC与△DEF全等，AB＝DE，BC＝EF，∠C＝∠F．

2．在△ABC中，若AB＝AC，则AB，AC叫做这个三角形的腰，BC叫做这个三角形的底边，∠A是这个三角形的顶角，∠B，∠C是这个三角形的底角．

探究一：做一张等腰三角形的纸片，每个人的等腰三角形的大小和形状可以不一样，把纸片对折，让两腰AB，AC重叠在一起，折痕为AD.通过动手操作，你能发现什么现象吗？(利用动画片演示对折前后的变化) 答：折叠的两个部分是互相重合的，所以等腰三角形是一个轴对称图形，折痕所在的直线就是它的对称轴．由于AB与AC重合，因此点B与点C重合，这样线段BD与CD也重合，所以∠B＝∠C. 结论：等腰三角形的两底角相等(简写成“等边对等角”)．

(多媒体展示)用数学语言表示：

∵AB＝AC，

∴∠B＝∠C(等边对等角)．

探究二：请画出等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线这三条线并比一比，能发现什么特征．

结论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合，简称“三线合一”．

(强调：必须认清是哪三条线合一) 总结：

1．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等．

2．全等三角形的对应边相等、对应角相等．

3．等腰三角形的两底角相等(简写成“等边对等角”)．

4．等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合．

自学反馈

1．如图，已知∠1＝∠2，要判定△ACO≌△BCO，则需要补充的条件为∠A＝∠B．(只需补充一个即可)

2．在△ABC中，若AC＝AB，则∠B＝∠C．

3．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上．

①∵AD⊥BC，

∴∠1＝∠2，BD＝CD；

②∵AD是中线，

∴AD⊥BC，∠1＝∠2；

③∵AD是角平分线，

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∴AD⊥BC，BD＝CD．

活动1

小组讨论

例1

如图，PA＝PB，∠M＝∠N.求证：AM＝BN.

新教案word版

证明：在△PMB和△PNA中，

∠M＝∠N，∠P＝∠P，

PB＝PA，∴△PMB≌△PNA(AAS)．

∴PM＝PN.

∴PM－PA＝PN－PB，即AM＝BN. 例2

已知△ABC是等腰三角形，且∠A＋∠B＝130°，求∠A的度数．

解：①当∠A为顶角时，则∠B＝∠C，

∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∠A＋∠B＝130°，

∴∠C＝50°.∴∠A＝80°.

②当∠C为顶角时，则∠A＝∠B，

∵∠A＋∠B＝130°，∴∠A＝65°.

③当∠B为顶角时，则∠A＝∠C，

∵∠C＝50°，

∴∠A＝50°.

利用等腰三角形的性质解题时易犯考虑不周全的错误，解题时应认真审题，分析已知条件，分清是顶角还是底角．

例3

如图，已知AB＝AC，BD⊥AC于点D.求证：∠BAD＝2∠DBC.

证明：过点A作AE⊥BC于点E.

∵AB＝AC，

∴∠BAD＝2∠EAC.

∵BD⊥AC于点D，

∴∠BDC＝90°.

∴∠EAC＋∠C＝∠C＋∠DBC＝90°.

∴∠DBC＝∠EAC.

∴∠BAD＝2∠DBC.

利用等腰三角形三线合一的性质求证．

活动2

跟踪训练

1．等腰三角形有两条边长分别为4 cm和9 cm，则该三角形的周长是22_cm．

等腰三角形在分类讨论的同时，还要注意三边关系．

2．等腰三角形的一个外角是80°，则其底角是40°．

3．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则这个等腰三角形的顶角为60°或120°．

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4．已知等腰三角形的腰长比底边长多2 cm，并且它的周长为16 cm，则它的底边长为4_cm．

5．已知，如图，∠ABC＝∠DEF，AB＝DE，要说明△ABC≌△DEF：

(1)若以“SAS”为依据，还要添加的条件为BC＝EF；

(2)若以“ASA”为依据，还要添加的条件为∠A＝∠D；

(3)若以“AAS”为依据，还要添加的条件为∠C＝∠F．

6．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，O为△ABC内一点，且OB＝OC.求证：AO⊥BC.

证明：延长AO交BC于点D.

∵AB＝AC，AO＝AO，BO＝CO，

∴△ABO≌△ACO(SSS)．

∴∠BAO＝∠CAO，即AO平分∠BAC.

又∵AB＝AC，

∴AD⊥BC.

延长AO交BC于点D，要证AO是等腰△ABC边BC上的高，根据“三线合一”，只要证AO是∠BAC的平分线即可．

活动3

课堂小结

在等腰三角形中，常常需要作底边上的高，运用等腰三角形“三线合一”的性质，对于解决所有相关的问题能起到事半功倍的效果．

第2课时

等边三角形的性质

1．能运用综合法证明等腰三角形中一些相等的线段．

2．利用等腰三角形的性质证明等边三角形的性质，并且会用等边三角形的性质解决相关问题．

自学指导：阅读教材P5“例1”以及“议一议”，完成下列问题．

知识探究

1．例1中，你能用其他的方法证明BD＝CE吗？

证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.

∵BD，CE分别平分∠ABC和∠ACB，

11∴∠ABD＝∠ABC，∠ACE＝∠ACB.

22∴∠ABD＝∠ACE.

在△ABD和△ACE中，

∵∠ABD＝∠ACE，AB＝AC，∠A＝∠A，

∴△ABD≌△ACE(ASA)．

∴BD＝CE(全等三角形的对应边相等)．

2．在等腰三角形中自主作出一些线段(如角平分线、中线、高等)，观察其中有哪些相等的线段，并尝试给出证明．

解：等腰三角形两个底角的平分线相等；等腰三角形两腰上的高相等；等腰三角形两腰上的中线相等．证明略．

3．写出“议一议”中，你所得到的结论．

自学指导：阅读教材P6“想一想”，完成下列问题：

等边三角形的性质：

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(1)定义：等边三角形的三条边都相等；

(2)等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°．

自学反馈

下列关于等边三角形的说法，正确的有(D) ①等边三角形的三个角相等，并且每一个角都是60°；

②三边相等的三角形是等边三角形；

③三角相等的三角形是等边三角形；

④有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．

A．①②③

B．①②④

C．②③④

D．①②③④

活动1

小组讨论

例

如图，已知△ABC为等边三角形，点D，E分别在BC，AC边上，且AE＝CD，AD与BE相交于点F. (1)求证：△ABE≌△CAD；

(2)求∠BFD的度数．

解：(1)证明：∵△ABC为等边三角形，

∴∠BAE＝∠ACD＝60°，AB＝AC.

在△ABE和△CAD中，

AB＝CA，∠BAE＝∠ACD，

AE＝CD，∴△ABE≌△CAD(SAS)．

(2)∵△ABE≌△CAD，∴∠ABE＝∠CAD.

∵∠BAF＋∠DAC＝∠BAC＝60°，

∠BFD＝∠ABE＋∠BAF，

∴∠BFD＝∠BAF＋∠DAC＝60°.

由等边三角形的性质，根据SAS证全等，然后利用全等的性质求∠BFD的度数．

活动2

跟踪训练

1．如图，△ABC是等边三角形，AD＝CD，则∠ADB＝90°，∠CBD＝30°．

2．如图，等边△ABC的边长如图所示，那么y＝3．

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3．如图所示，△ABC为等边三角形，AD⊥BC，AE＝AD，则∠ADE＝75°．

活动3

课堂小结

对于等边三角形，它属于特殊的等腰三角形，特殊到三条边相等，三个角都等于60°，“三线合一”的性质就更能不受限制、淋漓尽致地发挥了．

第3课时

等腰三角形的判定与反证法

1．探索并理解等腰三角形的判定定理，会运用其进行简单地证明．

2．了解反证法的基本证明思路，并能简单的运用．

自学指导：阅读教材P8，完成下列问题．

知识探究

1．阅读下面的证明过程，完成问题：

已知：如图所示，在△ABC中，∠B＝∠C，求证：AB＝AC. 解法一：过点A作BC的垂直平分线AD，垂足为D. 解法二：作△ABC的角平分线AD. 数学老师看了两种辅助线的作法后，说：解法二是正确的，而解法一的作法需要订正．

(1)请你简要说明解法一辅助线作法错在哪里；

(2)根据解法二的辅助线作法，完成证明过程．

解：(1)AB＝AC是要证明的结论，无法说明点A一定在BC的垂直平分线上，所以解法一中作辅助线的方法不恰当．

(2)证明：∵AD平分∠BAC，

∴∠BAD＝∠CAD.

在△ABD和△ACD中，

∠B＝∠C，∠BAD＝∠CAD，

AD＝AD，∴△ABD≌△ACD(AAS)．

∴AB＝AC. 2．学习教材P9“例3”，回答下面的问题：

(1)写出该命题的条件和结论．

解：条件：如果一个图形是三角形；

结论：那么该三角形不能有两个角是直角．

(2)假设该命题的结论不成立，即：假设这个三角形中有两个角是直角．

3．小结：

(1)有两个角相等的三角形是等腰三角形(简写成“等角对等边”)．

(2)先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的www.sjhzhb.com

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结论一定成立．这种证明方法称为反证法．

自学反馈

1．在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝50°，那么△ABC的形状是等腰三角形．

2．用反证法证明：在△ABC中，∠A，∠B，∠C中至少有一个角大于或等于60°. 证明：假设△ABC中每个内角都小于60°，则

∠A＋∠B＋∠C<180°.

这与三角形内角和定理矛盾，

故假设错误．

所以在△ABC中，∠A，∠B，∠C中至少有一个角大于或等于60°.

活动1

小组讨论

例1

如图，DB＝DC，∠ABD＝∠ACD，求证：AB＝AC.

证明：连接BC.

∵DB＝DC，

∴∠DBC＝∠DCB.

∵∠ABD＝∠ACD，

∴∠ABD＋∠DBC＝∠ACD＋∠DCB，

即∠ABC＝∠ACB.

∴AB＝AC.

本题主要是通过连接BC，使AB，AC在同一个三角形中，最后通过证明它们所对的角相等，从而证得这两条线段相等．

例2

如图，在△ABC中，D，E分别是AC，AB中点，且BD≠CE，求证：AB≠AC.

证明：假设AB＝AC，则∠ABC＝∠ACB.

∵AB＝AC，D，E分别是AC，AB的中点，

∴∠ABC＝∠ACB，BE＝CD.

在△BCD和△CBE中，

CD＝BE，∠ACB＝∠ABC，

BC＝CB，∴△BCD≌△CBE(SAS)．

∴BD＝CE.这与BD≠CE相矛盾．

∴AB＝AC这个假设不成立．

∴AB≠AC.

此题先假设AB＝AC，然后推导出与条件不符的结论，说明假设不成立．

活动2

跟踪训练

1．用反证法证明命题“钝角三角形中必有一个内角小于45°”时，首先应该假设这个三角形中(D) www.sjhzhb.com

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A．有一个内角小于45°

B．每一个内角都小于45°

C．有一个内角大于等于45°

D．每一个内角都大于等于45°

2．如图，已知OC平分∠AOB，CD∥OB.若OD＝3 cm，则CD＝3_cm．

3．用反证法证明命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角”，应先假设四边形中没有一个角是钝角或直角．

4．如图，AB＝AC，FD⊥BC于D，DE⊥AB于E.若∠AFD＝145°，则∠EDF＝55°．

5．如图，△ABC中，BA＝BC，点D是AB延长线上一点，DF⊥AC于F，且交BC于E.求证：△DBE是等腰三角形．

证明：∵BA＝BC，∴∠A＝∠C.

∵DF⊥AC，

∴∠DFA＝∠EFC＝90°，∠A＋∠D＝90°，∠C＋∠FEC＝90°.

∴∠D＝∠FEC.

∵∠BED＝∠FEC，∴∠D＝∠BED.

∴BE＝BD，即△DBE是等腰三角形．

活动3

课堂小结

1．对于判断三角形是不是等腰三角形这一类问题，常常是抓一个三角形有两个角相等，转化到对应的边相等，可以借助计算，运用平行线的性质，以及同角或等角的余角相等等方法去辅助证明．

2．运用反证法证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果．

第4课时

等边三角形的判定

1．理解并掌握等边三角形的判定定理，并会运用定理进行判定．

2．掌握含30°角的直角三角形的性质，并学会运用该结论进行相关的计算和证明．

自学指导：阅读教材P10～11，完成下列问题．

知识探究

1．等边三角形的判定：

(1)三个角都相等的三角形是等边三角形；

(2)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．

2．在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．

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自学反馈

1．在等边△ABC中，∠A＝∠B＝∠C＝60°．

2．在△ABC中，AB＝AC＝2，∠A＝60°，则BC＝2．

3．在Rt△ABC中，若∠BCA＝90°，∠A＝30°，AB＝4，则BC＝2．

活动1

小组讨论

例1

填空：

(1)如图1，BC＝AC，若BC＝AB或AC＝AB或∠A＝60°或∠B＝60°或∠C＝60°，则△ABC是等边三角形；

(2)如图2，AB＝AC，AD⊥BC，BD＝4.若AB＝8，则△ABC是等边三角形；

(3)如图3，在Rt△ABC中，∠B＝30°.若AC＝6，则AB＝12；若AB＝7，则AC＝3.5．

1例2

如图，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD⊥AB.求证：AD＝AB. 4

证明：∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，

1∴AC＝AB.

2∵CD⊥AB，∴∠CDB＝90°.

∴∠DCB＝60°.

∵∠ACB＝90°，

∴∠ACD＝30°.

在Rt△ACD中，∠ACD＝30°.

11∴AD＝AC＝AB. 24活动2

跟踪训练

1．如图，△ABC是等边三角形，O为△ABC内任意一点，OE∥AB，OF∥AC，分别交BC于点E，F，△OEF是等边三角形吗？为什么？

解：△OEF是等边三角形．理由：

∵△ABC是等边三角形，

∴∠B＝∠C＝60°.

∵OE∥AB，OF∥AC，

∴∠OEF＝∠B＝60°，∠OFE＝∠C＝60°.

∴△OEF是等边三角形．

根据三个角都相等的三角形是等边三角形或有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形判定．

2．如图，一棵大树在一次强台风中离地面5米处折断倒下，倒下部分与地面成30°夹角，这棵大树在折断前的高度为(B) www.sjhzhb.com

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A．10米

B．15米

C．25米

D．30米

活动3

课堂小结

1．等边三角形的判定：

(1)三个角都相等的三角形是等边三角形；

(2)有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．

2．含30°角的直角三角形中存在线段与线段的比例关系，是今后证明线段倍分关系的重要途径．

1．2

直角三角形

第1课时

勾股定理及其逆定理

1．掌握“直角三角形的两个锐角互余”和“有两个角互余的三角形是直角三角形”这两个定理，并学会运用．

2．会证明勾股定理及其逆定理．

3．了解逆命题和逆定理的概念，能写出一个命题的逆命题并判断其真假．

自学指导：阅读教材P14～16，完成下列问题．

知识探究

1．定理：直角三角形的两个锐角互余．

定理：有两个角互余的三角形是直角三角形．

2．你还记得勾股定理吗？请把勾股定理的内容写下来：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．

3．定理：如果三角形两边的平方等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．

4．什么叫互逆命题、逆命题？什么叫互逆定理、逆定理？

解：如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题．如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理．

5．你能写出命题“如果两个有理数相等，那么它们的平方相等”的逆命题吗？它们都是真命题吗？请你举出一些互逆定理的例子．

解：它的逆命题是：如果两个有理数的平方相等，那么这两个有理数也相等．这个命题是真命题，它的逆命题不是真命题．

例子：“同位角相等，两直线平行”和“两直线平行，同位角相等”等．

自学反馈

1．在一个直角三角形中，有一个锐角等于40°，则另一个锐角的度数是(B) A．40°

B．50°

C．60°

D．70°

2．如图所示，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为(A)

A．－1－5 B．1－5 C．－5 D．－1＋5 3．下列命题中，是真命题的是(B) A．同位角相等

B．邻补角一定互补

C．相等的角是对顶角

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D．有且只有一条直线与已知直线垂直

4．下列命题：

①同旁内角互补，两直线平行；②若|a|＝|b|，则a＝b；③直角都相等；④相等的角是对顶角．

它们的逆命题是真命题的有(B) A．4个

B．3个

C．2个

D．1个

活动1

小组讨论

例1

已知：如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c.求证：a2＋b2＝c2.

证明：延长CB至D，使BD＝b，作∠EBD＝∠A，并取BE＝c，连接ED，AE.则△ABC≌△BED.

∴∠BDE＝90°，ED＝a(全等三角形的对应角相等，对应边相等)．

∴四边形ACDE是直角梯形．

11∴S梯形ACDE＝(a＋b)(a＋b)＝(a＋b)2.

22∵∠ABE＝180°－(∠ABC＋∠EBD)＝180°－90°＝90°，

AB＝BE＝c，

1∴S△ABE＝c2.∵S梯形ACDE＝S△ABE＋S△ABC＋S△BED，

21111111∴(a＋b)2＝c2＋ab＋ab，即a2＋ab＋b2＝c2＋ab.

2222222∴a2＋b2＝c2.

利用割补法证明勾股定理．

例2

判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形．

(1)a＝15，b＝8，c＝17；

解：∵152＋82＝225＋64＝289，172＝289，

∴152＋82＝172，即a2＋b2＝c2.

∴这个三角形是直角三角形．

(2)a＝13，b＝14，c＝15. 解：∵132＋142＝169＋196＝365，152＝225，

∴132＋142≠152，即a2＋b2≠c2.

∴这个三角形不是直角三角形．

例3

说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假．

(1)四边形是多边形；

解：原命题是真命题．逆命题：多边形是四边形，是假命题．

(2)两直线平行，同旁内角互补；

解：原命题是真命题．逆命题：同旁内角互补，两直线平行，是真命题．

(3)如果ab＝0，那么a＝0，b＝0. 解：原命题是假命题．逆命题：如果a＝0，b＝0，那么ab＝0，是真命题．

活动2

跟踪训练

1．以下列各组数作为三角形的边长，其中不能构成直角三角形的是(D) A．6，8，10

B．5，12，13 C．9，40，41

D．5，6，7 2．在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，在满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是(A) www.sjhzhb.com

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A．∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5

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B．a∶b∶c＝1∶2∶3 C．a∶b∶c＝3∶4∶5

D．∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3 3．如果直角三角形的三条边分别为2，4，a，那么a的取值可以有(C) A．0个

B．1个

C．2个

D．3个

4．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，以△ABC的各边为边在△ABC外作三个正方形，S1，S2，S3分别表示三个正方形的面积，S1＝81，S3＝225，则S2＝144．

5．一个直角三角形两条直角边的比是3∶4，斜边的长为10 cm，则这个直角三角形的面积是24cm2，斜边上的高为4.8cm. 活动3

课堂小结

这节课我们了解了勾股定理及其逆定理的证明方法，并结合数学和生活中的例子了解了逆命题的概念．会识别两个互逆命题，知道原命题成立，其逆命题不一定成立．掌握了证明方法，进一步发展了演绎推理能力．

第2课时

直角三角形全等的判定

1．通过探索判定直角三角形全等的条件，掌握利用“HL”判定直角三角形全等的方法．

2．能灵活运用全等三角形的判定方法判定直角三角形全等，并能通过已知斜边和直角边作直角三角形．

自学指导：阅读教材P18～20，完成下列问题．

1．判定两个直角三角形全等的定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、直角边”或“HL”)．

2．判断：如图，具有下列条件的Rt△ABC与Rt△A′B′C′(其中∠C＝∠C′＝90°)是否全等？如果全等，在(

)里填写理由；如果不全等，在(

)里打“×”．

(1)AC＝A′C′，∠A＝A′；(ASA) (2)AC＝A′C′，BC＝B′C′；(SAS) (3)AB＝A′B′，∠B＝∠B′；(AAS) (4)∠A＝∠A′，∠B＝∠B′；(×) (5)AC＝A′C′，AB＝A′B′.(HL)

活动1

小组讨论

例1

已知：Rt△ABC和Rt△A′B′C′，∠C＝∠C′＝90°，BC＝B′C′，BD，B′D′分别是AC，A′C′边上的中线且BD＝B′D′(如图)．求证：Rt△ABC≌Rt△A′B′C′. 证明：在Rt△BDC和Rt△B′D′C′中，

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∵BD＝B′D′，BC＝B′C′，

∴Rt△BDC≌Rt△B′D′C′(HL)．

∴CD＝C′D′.

又∵AC＝2CD，A′C′＝2C′D′，

∴AC＝A′C′.

在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，

∵BC＝B′C′，∠C＝∠C′＝90°，AC＝A′C′，

∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′(SAS)．

例2

如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，∠CBA＝32°求∠EFD的度数．

解：在Rt△ABC和Rt△DEF中，

∵BC＝EF，AC＝DF，∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL)．

∴∠DEF＝∠ABC＝32°.∴∠EFD＝90°－32°＝58°.

活动2

跟踪训练

1．下列各选项中的两个直角三角形不一定全等的是(B) A．两条直角边对应相等的两个直角三角形

B．两个锐角对应相等的两个直角三角形

C．斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形

D．有一个锐角及这个锐角的对边对应相等的两个直角三角形

2．下列命题是真命题的有(B) ①一个锐角及斜边对应相等的两个直角三角形全等；

②一个锐角及一条直角边对应相等的两个直角三角形全等；

③两个锐角对应相等的两个直角三角形全等；

④两条边对应相等的两个直角三角形全等；

⑤斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等；

⑥一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形全等．

A．6个

B．5个

C．4个

D．3个

3．如图，PB⊥AB于点B，PC⊥AC于点C，且PB＝PC，D是AP上一点．求证：∠BDP＝∠CDP.

证明：∵PB⊥AB于点B，PC⊥AC于点C，

∴∠ABP＝∠ACP＝90°.

∵PB＝PC，AP＝AP，

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，

华章文化

∴Rt△ABP≌Rt△ACP(HL)．

∴∠APB＝∠APC.

在△PBD和△PCD中，

新教案word版

∠APB＝∠APC，

DP＝DP，∴△PBD≌△PCD(SAS)．

∴∠BDP＝∠CDP.

活动3

课堂小结

1．“HL”公理是仅适用于直角三角形的特殊方法．

2．判断两个直角三角形全等的方法除了可以使用“SAS”“ASA”“AAS”“SSS”外，还可以使用“HL”．

1．3

线段的垂直平分线

第1课时

线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理

1．会证明线段的垂直平分线的性质定理及判定定理．

2．能运用线段的垂直平分线的性质定理及判定定理进行相关的证明与计算．

自学指导：阅读教材P22～23，完成下列问题．

知识探究

1．CD是线段AB的垂直平分线，E为垂足，点P是直线CD上的任意一点，连接PA，PB，则AE＝BE，PA＝PB，CD⊥AB，∠AEC＝∠BEC．

2．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．

自学反馈

1．已知，如图，EF是线段AB的垂直平分线，M是EF上的一点．若MA＝6，则MB＝6；若∠AMF＝20°，则∠BMF＝20°．

PB＝PC，

2．如图，AB＝AC，MB＝MC，直线AM是线段BC的垂直平分线吗？

解：直线AM是线段BC的垂直平分线．

理由：∵AB＝AC，

∴点A在线段BC的垂直平分线上．

同理，点M在线段BC的垂直平分线上．

∴直线AM是线段BC的垂直平分线．

活动1

小组讨论

例1

如图，AB＝AC＝8 cm，AB的垂直平分线交AC于D，若△ADB的周长为18 cm，求DC的长．

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解：∵DM是AB的垂直平分线，

∴AD＝BD.

设CD的长为x，则AD＝AC－CD＝8－x.

∵△ADB的周长为AB＋AD＋BD＝8＋(8－x)＋(8－x)＝18，

∴x＝3，即CD的长为3 cm.

由线段垂直平分线的性质得AD＝BD进而求解．

例2

如图，△ABC中，AC⊥BC于点C，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，求证：直线AD是CE的垂直平分线．

证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC，

∴∠EAD＝∠CAD，∠AED＝∠ACD＝90°.

又∵AD＝AD，

∴△AED≌△ACD(AAS)．

∴DE＝CD.

∴点D在CE的垂直平分线上．

在Rt△AED和Rt△ACD中，

∵AD＝AD，DE＝DC，

∴Rt△AED≌Rt△ACD(HL)．

∴AE＝AC.

∴点A在CE的垂直平分线上．

∴直线AD是CE的垂直平分线．

活动2

跟踪训练

1．下列条件中，不能判定直线MN是线段AB的垂直平分线的是(C) A．MA＝MB，NA＝NB B．MA＝MB，MN⊥AB C．MA＝NA，MB＝NB D．MA＝MB，MN平分∠AMB 2．如图，MN是线段AB的垂直平分线，垂足是D，点P是MN上的一点．若AB＝10 cm，PA＝10 cm，则BD＝5cm，PB＝10cm，PD＝53cm.

3．如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3 cm，AC＝5 cm，将△ABC折叠，使点C与A重合，得折痕DE，则△ABE的周长是7cm. www.sjhzhb.com

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4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线交AC于点D，垂足为E，若∠A＝30°，CD＝2. (1)求∠BDC的度数；

(2)求BD的长．

解：(1)∵DE垂直平分AB，

∴DA＝DB.

∴∠DBE＝∠A＝30°.

∴∠BDC＝60°.

(2)在Rt△BDC中，∵∠BDC＝60°，

∴∠DBC＝30°.

∴BD＝2CD＝4. 活动3

课堂小结

1．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．

2．到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．

第2课时

三角形三边的垂直平分线

1．能证明三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等，并解决相关的问题．

2．能用尺规作已知线段的垂直平分线，培养使用直尺和圆规作图的技能．

自学指导：阅读教材P24～25，完成下列问题．

知识探究

探究一：三角形三边垂直平分线的性质．

利用尺规作三角形三条边的垂直平分线，然后说说你发现了什么？

发现：三角形三条边的垂直平分线相交于一点．

总结：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等．

探究二：分别作出直角三角形、锐角三角形、钝角三角形三边的垂直平分线，说明交点分别在什么位置．

总结：锐角三角形三边垂直平分线的交点在三角形内；直角三角形三边垂直平分线的交点在斜边上；钝角三角形三边垂直平分线的交点在三角形外．

自学反馈

1．到三角形三个顶点距离相等的点是(A) A．三条边的垂直平分线的交点

B．三条高线的交点

C．三条边的中线的交点

D．三条角平分线的交点

2．三角形纸片上有一点P，量得PA＝3 cm，PB＝3 cm，则点P一定(D) A．是边AB的中点

B．在边AB的中线上

C．在边AB的高上

D．在边AB的垂直平分线上

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活动1

小组讨论

例1

如图，在△ABC中，设AB，BC的垂直平分线交于点P，连接AP，BP，CP.求证：点P在AC的垂直平分线上．

证明：∵点P在线段AB的垂直平分线上，

∴PA＝PB(线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等)．

同理，PB＝PC.∴PA＝PC.

∴点P在AC的垂直平分线上(到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上)．

三角形三边垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等．

例2

在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，两腰的垂直平分线相交于点P，则(C) A．点P在△ABC内

B．点P在△ABC的底边上

C．点P在△ABC外

D．点P的位置与三角形的边长有关

钝角三角形三边垂直平分线的交点在三角形外．

例3

运用圆规和直尺作出线段AB的垂直平分线．

解：作法：

1(1)分别以点A和B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点C和D；

2(2)作直线CD.

直线CD就是线段AB的垂直平分线．

活动2

跟踪训练

1．已知△ABC三边垂直平分线的交点在△ABC的边上，则△ABC的形状为(B) A．锐角三角形

B．直角三角形

C．钝角三角形

D．不能确定

2．在锐角△ABC内有一点P，满足PA＝PB＝PC，则点P是△ABC(D) A．三条角平分线的交点

B．三条中线的交点

C．三条高的交点

D．三边垂直平分线的交点

3．已知直线l和l上一点O，利用尺规作l的垂线，使它经过点O.

解：作法：

(1)以点O为圆心，任意长为半径作弧，与直线l相交于点A和B；

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1(2)分别以点A和B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点C；

2(3)作直线OC，则直线OC就是所求的垂线．

活动3

课堂小结

本节课通过推理证明了“到三角形三个顶点距离相等的点是三角形三条边的垂直平分线的交点”及“三角形三条边的垂直平分线交于一点”的结论．

1．4

角平分线

第1课时

角平分线的性质定理及其逆定理

1．探索并理解角平分线的性质和判定．

2．能灵活运用角平分线的性质和判定解决有关问题．

自学指导：阅读教材P28～29，完成下列问题．

知识探究

1．角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．

2．角平分线的性质定理的逆定理：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上．

自学反馈

1．如图，OP平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，下列结论正确的是(A) A．PD＝PE

B．PE＝OE C．∠DPO＝∠EOP

D．PD＝OD

2．如图，△ABC中，∠C＝90°，AM平分∠CAB，CM＝20 cm，那么M到AB的距离是(C) A．10 cm

B．15 cm C．20 cm

D．25 cm

3．如图，AD⊥DC，AB⊥BC，若AB＝AD，∠DAB＝120°，则∠ACB的度数为(C)

A．60°

B．45°

C．30°

D．75°

活动1

小组讨论

例1

已知，如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD＝DF.求证：

(1)CF＝EB；

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(2)AB＝AF＋2EB. 证明：(1)∵AD是∠BAC的平分线，DC⊥AC，DE⊥AB，

∴DC＝DE.

在Rt△DCF和Rt△DEB中，

DC＝DE，

DF＝DB，∴Rt△DCF≌Rt△DEB(HL)．∴CF＝EB.

(2)由(1)得DC＝DE.

在Rt△ADC和△ADE中，

DC＝DE，

AD＝AD，∴Rt△ADC≌Rt△ADE(HL)．

∴AC＝AE.

∴AB＝AE＋BE＝AC＋EB＝AF＋CF＋EB＝AF＋2EB.

角平分线的性质是判定线段相等的一个重要依据，在应用时一定要注意是两条“垂线段”相等．

例2

如图，BE＝CF，DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，且DB＝DC，求证：AD是∠BAC的平分线．

证明：∵DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，

∴∠BED＝∠CFD＝90°.

在Rt△BDE和Rt△CDF中，

BE＝CF，

BD＝CD，∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)．

∴DE＝DF.

又∵DE⊥AB，DF⊥AC，

∴AD是∠BAC的平分线．

证明一条射线是角平分线的方法有两种：一是利用三角形全等证明两角相等；二是证明射线上的点到角两边的距离相等．

活动2

跟踪训练

1．在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，到∠AOB两边距离相等的点应是(A)

A．M点

B．N点

C．P点

D．Q点

2．如图，已知∠C＝90°，AD平分∠BAC，BD＝2CD，若点D到AB的距离等于5 cm，则BC的长多少？

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解：过点D作DE⊥AB于E，

∵点D到AB的距离等于5 cm，

∴DE＝5 cm.

∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，

∴DE＝CD＝5 cm.

∵BD＝2CD，

∴BD＝2×5＝10(cm)．

∴BC＝CD＋BD＝5＋10＝15(cm)．

3．如图，在△ABC中，外角∠CBD和∠BCE的平分线BF，CF相交于点F.求证：点F也在∠BAC的平分线上．

证明：过点F作FM⊥BC于点M，FG⊥AB于点G，FH⊥AC于点H，

∵BF，CF是∠CBD和∠BCE的平分线，

∴FG＝FM，FH＝FM.

∴FG＝FH.

∴点F也在∠BAC的平分线上．

活动3

课堂小结

这节课证明了角平分线的性质定理和判定定理，在有角的平分线(或证明一条射线是角的平分线)时，过角平分线(或

射线)上的点向角两边作垂线段，利用角平分线的性质(或判定)则使问题迅速得到解决．

第2课时

三角形三个内角的平分线

1．能证明三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等．

2．能利用角平分线的性质定理及判定定理进行相关的证明与计算．

自学指导：阅读教材P30～31，完成下列的问题．

知识探究

从例2中我们可以知道：

(1)PD＝PE＝PF；

(2)点P同时在∠A，∠ABC，∠ACB的平分线上．

于是我们得出了有关三角形的三条角平分线的结论，即三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等．

自学反馈

1．△ABC是一个任意三角形，用直尺和圆规作出∠A，∠B的平分线，如果两条平分线交于点O，那么下列选项中不正确的是(D) A．点O一定在△ABC的内部

B．∠C的平分线一定经过点O C．点O到△ABC三边的距离一定相等

D．点O到△ABC三顶点的距离一定相等

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2．如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，OD⊥BC于D点，OD＝3 cm，则点O到边AB，AC的距离之和为6_cm．

活动1

小组讨论

例1

如图，已知△ABC内，∠ABC，∠ACB的平分线交于点P，且PD，PE，PF分别垂直于BC，AC，AB于D，E，F三点．求证：PD＝PE＝PF.

证明：∵BP是∠ABC的平分线，PF⊥AB，PD⊥BC，

∴PF＝PD.

同理，PE＝PD.

∴PD＝PE＝PF. 例2

如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F. (1)若△ABC面积是40 cm2，AB＝12 cm，AC＝8 cm，求DE的长；

(2)求证：S△ABD∶S△ACD＝AB∶AC.

解：(1)∵在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，

∴DE＝DF.

∵S△ABC＝40 cm2，AB＝12 cm，AC＝8 cm，

11∴40＝×12·DE＋×8·DF.

22∴DE＝DF＝4 cm.

11(2)证明：∵S△ABD＝AB·DE，S△ACD＝AC·DF，DE＝DF，

22∴S△ABD∶S△ACD＝AB∶AC. 活动2

跟踪训练

1．到三角形三边距离相等的点是(C) A．三条高的交点

B．三条中线的交点

C．三条角平分线的交点

D．不能确定

2．如图，△ABC的三边AB，BC，CA长分别是20，30，40，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO∶S△BCO∶S△CAO等于(C)

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A．1∶1∶1

B．1∶2∶3

C．2∶3∶4

D．3∶4∶5 3．如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F. (1)求证：AE＝AF；

(2)若△ABC面积是36 cm2，AB＝10 cm，AC＝8 cm，求DE的长．

解：(1)证明：∵在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，

∴DE＝DF.

在Rt△AED和Rt△AFD中，

DE＝DF，

AD＝AD，∴Rt△AED≌Rt△AFD(HL)．

∴AE＝AF.

(2)由(1)得DE＝DF.

∵△ABC面积是36 cm2，AB＝10 cm，AC＝8 cm，

1111∴S△ABC＝S△ADB＋S△ACD＝AB·DE＋AC·DF＝DE·(AB＋AC)，即×DE×(10＋8)＝36.

2222∴DE＝4 cm.

活动3

课堂小结

本节课我们利用角平分线的性质定理和判定定理证明了三角形三条角平分线交于一点，且这一点到三角形各边的距离相等．并综合运用我们前面学过的性质定理等解决了几何中的计算和证明问题．

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