直接开平方法优质课一等奖

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总计课时：

年级学科

课题

学习目标

八年级数学

授课人

一元二次方程

戴晓娟

授课时间

课型

新授课

1.通过观察，归纳一元二次方程的概念. 2.理解一元二次方程一般形式，说出二次项、一次项、常

数项、二次项的系数、一次项的系数. 一元二次方程的概念和一般形式. 正确理解和掌握一般形式中的a≠0 ，“项”和“系数”. 启发引导学习

学习重点

学习难点

学法指导

自主学习1.只含有____________ 个未知数，且未知数的最高次数是二次备（预习新课

知检测）

___________的整式方程叫一元一次方程. 2.方程2（x+1）=3的解是________________. [来源:Zxxk.Com]

3.方程3x+2x=0.44含有_____个未知数，含有未知数项的最高次数是_________ ，它___（填“是”或“不是”）一元一次方程. 4. 根据题意列方程： ⑴正方形桌面的面积是2m，求它的边长. 解：

设正方形桌面的边长是xm，根据题意,得方程_______________，

则这个方程含有_____个未知数，未知数的最高次数是_____. ⑵如图，矩形花园一面靠墙，另外三面所围的栅栏的总长度是19m，如果花园的面积是24m2，求花园的长和宽. 解：设花园的宽是xm,则花园的长是 m,根据题意，得：x(19－2x)=24，

去括号，得:______________.[来源:学科网]2

则这个方程含有____________个未知数，含有未知数项的最高次

数是________. 合作探究1.概括归纳与知识提升：

（课堂展222示—自主⑴像2x19x240，xx0，x2这样的方程，含有___ 学习成果个未知数，并且含有未知数的最高次数是_____________的整式方程叫

及存在问题，师生互一元二次方程.

动环节）

(2)任何一个关于x的一元二次方程都可以化成下面的形式：

这种形式叫做一元二次方程的一般形式，其中ax2、bx、c做

、

和

，a、b分别叫做

和

.(设计意图：概念的形成要有归纳的过程，要会判断一个方程是否是一元二次方程，还要知道任何一个关于x的方程都可化成一般形式：ax2＋bx＋c＝0（a、b、c是常数，a≠0）．) 2.典型例题

例1 下列哪些是一元二次方程？哪些不是？

①

xx1

②x1

③x221x

④x22x3y0

2②

⑤x23(x1)(x4)

⑥axbxc0

2③

⑦mx0（m是不为零常数）

例2 把下列关于x的一元二次方程化为一般式，写出它的二次项系数、一次项系数及常数项. (1)8x23x5 （2）

3x(x2)2(x2)

（3）2x1x1x13

2例3 已知关于x的方程(m29)x2(m3)x50

（1）当m为何值时，此方程是一元一次方程？并求出此时方程的解．

（2）当m为何值时，此方程是一元二次方程？并写出这个方程的二次项系数、一次项系数及常数项

随堂练习

1．下列方程中，属于一元二次方程的是（

）．

（A）x2－1=1 （B）x2+y=2

（C）2x2=2

（D）x+5=（－7）2 x2．把一元二次方程（x+2）（x－3）=4化成一般形式，得（

）．

（A）x2+x－10=0

（B）x2－x－6=4

（C）x2－x－10=0

（D）x2－x－6=0课堂检测

来源学|科|网

3．一元二次方程3x2－3x－2=0的一次项系数是________，

常数项是_________．

4．x=a是方程x2－6x+5=0的一个根，那么a2－6a=_________．

5．一元二次方程2x2x6的二次项系数、一次项系数及常数之和为

．

6．关于x的方程(m1)x22mx30是一元二次方程，则m的取值范围是

．

自主反思

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课题

学习目标

学习重点

八年级数学

授课人

戴晓娟

授课时间

课型

新授课

一元二次方程的解法（1）

1．了解形如（x＋m）2＝n（n≥0）的一元二次方程的解法——直接开平方法；

2．会用直接开平方法解一元二次方程．

会用直接开平方法解一元二次方程．

学习难点

理解直接开平方法与平方根的定义的关系．

学法指导

自主学习（预习新知检测）

启发引导学习

1、若x2=a，那么x就是a的平方根，把x2=a看作关于x的一元二次方程，则得到解一元二次方程的方法，直接开平方法

试一试

（1）如果x=2，则x= （2）如果x－2=0，则x= 2、根据平方根的意义解一元二次方程的方法叫做

22二次备课

合作探究（课堂展示—自主学习成果及存在问题，师生互动环节）

例1、

解下列方程

(1)

x2－4 = 0；

(2)

4x2 = 1．

例２、解方程：（x+1）2=2．

思考：

1、方程（x+1）2= 0，方程：（x+1）2= -1有解吗？如果有，你能求出它们的解吗？

2、过对以上题目的理解，你认为一个一元二次方程具有什么样的形式时可以用直接开平方法解？

随堂练习

1、解下列方程

1x1622x20.81039x244y21440

2、解下列方程

1x1



课堂检测

242x223

3x4225042x3250（1）x240

（2）4x210

（3）（x＋1）2－4＝0；

（4）12（2－x）2－9＝0.

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总计课时：

年级学科

课题

学习目标

八年级数学

授课人

戴晓娟

授课时间

课型

新授课

一元二次方程的解法2（）

1.

理解配方法，会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程；

在配方过程中体会“转化”的数学思想，掌握转化的技巧．

用配方法解二次项系数为1的一元二次方程．

学习重点

学习难点

学法指导

自主学习（预习新知检测）

把一元二次方程转化为(x＋h)2＝k的形式．

启发引导学习

1、试一试：把下列各式配方成完全平方式：

2x28x_____(x_____)二次备课

； x210x_____(x_____)2

2x25x______(x_____)； x29x______(x_____)2

2、想一想:如何解方程x＋6x＋4 = 0呢？

合作探究1、请仔细阅读课本P10——P11页，完成下列问题）：

（课堂展2我们如何解方程x＋6x＋4 = 0呢？

示—自主学习成果先将常数项移到方程的右边，得 ，

及存在问2在方程的两边加上一次项系数6的一半的平方，即3后，

题，师生互动环节）

得 ， 即 解这个方程，得 归纳配方法的概念：

例1、解下列方程

（1）x2 -4x +3= 0；

（2）x2 + 3x -1= 0.

议一议：用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的一般步骤：

2

思考：为什么在配方过程中，方程的两边总是加上一次项系数一

半的平方？

随堂练习

解下列方程：

⑴

x2 +2x =3

⑵

x2 +10x +20=0

⑶

x2 -6x =4

⑷

x2 -x -1=0 课堂检测

1、用配方法解方程：

（1）x＋2x＝5；

（2）x－4x＋3＝0.

22（3）x－5 x－6＝0.

（4）x76x

2222x2m1xm5是一个完全平方式，则m_____

2、如果

自主反思

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总计课时：

年级学科

课题

学习目标

八年级数学

授课人

戴晓娟

授课时间

课型

新授课

一元二次方程的解法（3）

1.

会用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程；

在用配方法解方程的过程中，体会转化的思想．

学习重点

学习难点

学法指导

会用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程；

在用配方法解方程的过程中，体会转化的思想．

启发引导学习

二次备课

自主学习问题1

解方程：x2+2x-8=0 （预习新2 2

思考：

方程2x+4x-16=0与

方程x+ 2x -8 = 0 有什么区别与知检测）

联系

问题2

如何解2x2 +4x-16=0？

合作探究（课堂展示—自主学习成果及存在问题，师生互动环节）

随堂练习

例１

解方程

2x2 -5x+2=0

例２

解方程

-3x2

+ 4x + 1 = 0

解下列方程：

2（1）2x8x10

⑵12x2x10

2⑶2x23x0

⑷

3x216x

课堂检测

1、用配方法解一元二次方程2x2-5x-8=0的步骤中第一步是

。

2、用配方法解下列方程：

22（1）3x16x

（2）x1510x

2（3）2t7t40

（4）(2x1)(x3)4

自主反思

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年级学科

课题

学习目标

八年级数学

授课人

戴晓娟

授课时间

课型

新授课

一元二次方程的解法（4）

1、会用公式法解一元二次方程；

2.

学生体验用配方法推导一元二次方程求根公式的过程，并明确运用公式求根的前提条件是b2－4ac≥0；

3.

在探索和应用求根公式中，使学生进一步认识特殊与一般的关系，体会转化的思想方法．

学习重点

学习难点

学法指导

自主学习（预习新知检测）

会用公式法解一元二次方程．

学生体验用配方法推导一元二次方程求根公式的过程，并明确运用公2式求根的前提条件是b－4ac≥0．

启发引导学习

1、回顾用配方法解一元二次方程的一般步骤？

二次备课

2、用配方法解一元二次方程：

2 x2－7x＋3 = 0 3、用配方法结合直接开平方法解一元二次方程，计算比较麻烦，能否研究出一种更好的方法，迅速求得一般形式的一般步骤一元二次方程ax2＋bx＋c = 0（a≠0）的实数根呢？

1、用配方法探究一元二次方程ax＋bx＋c = 0（a≠0）的求根公式：

因为a0，方程两边都除以a，得

移项，得

配方，得

即

2合作探究（课堂展示—自主学习成果及存在问题，师生互动环节）

b24ac思考1：当b4ac0，且a0时，大于等于零吗？

4a22答： 2当b4ac0时，一般形式的一元二次方程ax2bxc0(a0)的根为 ，即 。

由以上研究的结果，得到了一元二次方程

ax2bxc0(a0)的求根公式： （b24ac0） 归纳公式法的概念： 思考2：当b－4ac＜0时，一元二次方程ax2bxc0(a0)2有实数根吗？为什么？

答： 例1．

解下列方程

(1)

x2 + 3 x + 2 = 0；

(2)

2(x22)7x

随堂练习

用公式法解下列方程：

2（1）x3x40

(2)2x2x10

(3)x22x3(4)20x28x1(5)x(x6)6

(6)4x(x1)1

课堂检测

用公式法解下列方程：

2（1）x2-2x-8=0；

（2）

x4x2

22xx60

（4）

3x(3x-2)+1=0. （3）

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年级学科

课题

学习目标

八年级数学

授课人

戴晓娟

授课时间

课型

新授课

一元二次方程的解法（5）

4.

能用b2－4ac的值判别一元二次方程根的情况；

用公式法解一元二次方程的过程中，进一步理解代数式b2－4ac对根的情况的判断作用．

能用b2－4ac的值判别一元二次方程根的情况．

学习重点

学习难点

用公式法解一元二次方程的过程中，进一步理解代数式b2－4ac对根的情况的判断作用．

启发引导学习

用公式法解方程

⑴

x2＋x－1 = 0

⑵

x2－23x＋3 = 0

⑶

2x2－2x＋1 = 0 二次备课

学法指导

自主学习（预习新知检测）

合作探究1、一元二次方程根的情况与一元二次方程中二次项系数、一次（课堂展示—自主项系数及常数项有关，

学习成果一元二次方程ax2＋bx＋c = 0（a≠0）的根的情况可由b2－4ac及存在问题，师生互来判定：

动环节）

当b2－4ac＞0时，

当b2－4ac = 0时，

当b2－4ac＜0时.

我们把b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c = 0（a≠0）的根的

. 例1 不解方程，判断下列方程根的情况：

⑴

3x－x＋1 = 3x 22 ⑵ 5（x＋1）= 7x 2⑵

⑶ 3x－43x = －4 随堂练习

不解方程，判别方程根的情况：

(1)x23x10

(2)x26x50

(3)2y23y40

(4)x2525x

2、若已知一个一元二次方程的根的情况，是否能得到b2－4ac的值的符号呢？

当一元二次方程有两个不相等的实数根时，

当一元二次方程有两个相等的实数根时，

当一元二次方程没有实数根时，

课堂检测

1、方程3x2+2=4x的判别式b2-4ac=

，所以方程的根的情况是

. 2、一元二次方程x2-4x+4=0的根的情况是（

）

A.有两个不等的实数根

B.有两个相等的实数根

C.没有实数根

D.不能确定

23、若关于x的方程x4xc0的判别式△=4，则c=

4、求证:关于y的方程:y-(a+2)y+2(a-1)=0一定有两个不相等的实数

自主反思

2

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年级学科

课题

学习目标

八年级数学

授课人

戴晓娟

授课时间

课型

新授课

一元二次方程的解法（6）

5.

会用因式分解法解一元二次方程，体会“降次”化归的思想方法；

能根据一元二次方程的特征，选择适当的求解方法，体会解决问题的灵活性和多样性．

学习重点

会用因式分解法解一元二次方程，体会“降次”化归的思想方法．

学习难点

能根据一元二次方程的特征，选择适当的求解方法，体会解决问题的灵活性和多样性．

启发引导学习

1、把下列各式因式分解：

（1）、x2－x

（2）、x3－x

（3）、x2－6x+9

2、若a×b=0,则a= 或b= .

二次备课

学法指导

自主学习（预习新知检测）

合作探究（课堂展示—自主学习成果及存在问题，师生互动环节）

1、请你用不同的方法解方程x－x = 0 【提示一】用配方法解 【提示二】

用公式法解 2

思考：仔细观察方程的左边，还有其他方法可以解吗？

由此得解一元二次方程又一方法因式分解法：

例1 解下列方程：

（1）x＝4x；

（2）x＋3－x(x＋3)＝0．

2

例2

解方程：

(2x－1)－x＝0

例3

解方程：

(x＋2)

＝4（x＋2）．

222

随堂练习

用因式分解法解下列方程

(1)x23x0

(2)3x2x

(3)(x1)290

(4)(x2)29(x1)20

课堂检测

解下列方程

（1）（x＋1）－9 = 0 （2）2x－3X-1 = 0

22

（3）（2x＋3）＝x22 (4)（x＋1）＋2（X＋1）＋1 = 0

2

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总计课时：

年级学科

课题

学习目标

八年级数学

授课人

戴晓娟

授课时间

课型

新授课

一元二次方程的根与系数的关系

6.

了解一元二次方程根与系数的关系，并能进行简单的应用；

能通过对根与系数关系的探索，提高代数推理的能力与意识．

了解一元二次方程根与系数的关系，并能进行简单的应用．

学习重点

学习难点

学法指导

自主学习（预习新知检测）

能通过对根与系数关系的探索，提高代数推理的能力与意识．

启发引导学习

1.观察下表，你能发现下列一元二次方程的根与系数有什么关系吗？

二次备课

ax2bxc0

x1

1 －1 2 －2 0 x2

2 －2 3 －3 3 x23x20

x23x20

x25x60

x25x60

x23x0

结论：

两根的积

，两根的和

。

再观察 方程2x-5x-3=0的两个根x1=3，x2=-0.5，这两个根与系数有什么关系吗？

2.你能解释刚才的发现吗？如何验证？

一元二次方程

ax2＋bx＋c＝0 （a≠0），如果b2－4ac≥0，它的两个根分别是x1、x2．

2bb24acx12abb24acx2=，2a

则：x1+x2 =

x1·x2 =

2结论：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），如果b－4ac≥0，它的两个根分别是x1、x2．

则x1+x2 =

x1·x2 =

合作探究（课堂展示—自主学习成果及存在问题，师生互动环节）

例1求下列方程两根的和与两根的积：

（1）x2＋2x－5＝0；

（2）2x2＋x＝1.

需要解方程吗？

例2小明在一本课外读物中读到如下一段文字：

“一元二次方程x2－

x

＝0的两根是23和，你能写出这个方程中被墨迹污染的一次项系数和常数23”项吗？

随堂练习

1. 求下列方程两根的和与两根的积：

（1）

2x23x2

（2）

（3）4x

2x26x60

1

课堂检测

2.已知方程2x2mx500的一个根是10 ，求它的另一个根和m的值。

自主反思

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课题

学习目标

八年级数学

授课人

戴晓娟

授课时间

课型

新授课

用一元二次方程解决问题（1）

1、经历和体验用一元二次方程解决实际问题的过程，进一步体会一元二次方程是刻画现实世界数量关系的有效模型；

2、

会根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程并求解，培养学生的数学应用能力；

3、

能检验所得的问题的结果是否符合实际意义，进一步提高学生逻辑思维能力、分析和解决问题的能力．

学习重点

学习难点

学法指导

自主学习（预习新知检测）

分析和解决问题．

根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程．

启发引导学习

解应用题的一般步骤．

第一步：设未知数（单位名称）；

第二步：列出方程；

第三步：解这个方程，求出未知数的值；

第四步：验(1)值是否符合实际意义；

(2)值是否使所列方程左右相等．

第五步：答题完整（单位名称）．

关键是

二次备课

合作探究例1

用一根长22cm的铁丝：

（课堂展(1)

能否围成面积是30cm2的矩形？

示—自主学习成果(2) 能否围成面积是32cm2的矩形？

及存在问题，师生互

动环节）

例2

某商店6月份的利润是2500元，要使8月份的利润达到3600元，平均每月增长的百分率是多少？

随堂练习

1.一块长方形菜地的面积是150m2,如果它的长减少5m，那么它就成为正方形菜地。求这个长方形菜地的长和宽。

课堂检测

2.某种服装原价每件80元，经过两次降价，现售价每件51.2元，求该种服装平均每次降价的百分率。

自主反思

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总计课时：

年级学科

课题

学习目标

八年级数学

授课人

戴晓娟

授课时间

课型

新授课

用一元二次方程解决问题（2）

1、

经历和体验用一元二次方程解决实际问题的过程，进一步体会一

元二次方程是刻画现实世界数量关系的有效模型；

2、会根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程并求解，培养学生的数学应用能力；

3、能检验所得的问题的结果是否符合实际意义，进一步提高学生逻辑思维能力、分析和解决问题的能力．

分析和解决问题．

学习难点

学法指导

自主学习（预习新知检测）

学习重点

根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程．

启发引导学习

某商场销售玩具。购进时的单价是每件30元。根据市场调查：在一段时间内，销售单价是每件40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件。

1.

如果定价为45元，

销售量为

多少元？

2.

如果定价为45元，销售额为多少元？

3.

如果定价为45元，销售利润是多少元？

4

如果商场获得了10000元的销售利润，该玩具销售定价是多少元？

二次备课

合作探究（课堂展示—自主学习成果及存在问题，师生互动环节）

例1某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，商场采取了降价措施．假设在一定范围内，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件．如果商场通过销售这批衬衫每天盈利1250元，那么衬衫的单价降

了多少元？

例2某公司组织一批员工到该风景区旅游，支付给旅行社28000元，你能确定参加这次旅游的人数吗？

随堂练习

某商店购进600个旅游纪念品，进价为每个6元，第一周以每个10元的价格售出200个，第二周若按每个10元的价格仍可售出200个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场调查，单价每降1元，可多售50个，但售价不得低于进价），单价降低x元销售一周后，商店对剩余的旅游纪念品清仓处理，以每个4元的价格全部售出。如果这批旅游纪念品一共获利1250元，问第二周每个旅游纪念品的销售价格为多少元？

课堂检测

某商店经销一批小家电，每个小家电成本为40元，经市场调研，售价为50元，课销售200个；售价每增加1元，销售量就会减少10个，如果商店的进货全部销售完，盈利2000元，那么该商店进了多少个这种小家电？售价是多少？

自主反思

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总计课时：

年级学科

课题

学习目标

八年级数学

授课人

戴晓娟

授课时间

课型

新授课

用一元二次方程解决问题（3）

1、经历和体验用一元二次方程解决实际问题的过程，进一步体会一元二次方程是刻画现实世界数量关系的有效模型；

2、会根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程并求解，培养学生的数学应用能力；

3、能检验所得的问题的结果是否符合实际意义，进一步提高学生逻辑思维能力、分析和解决问题的能力．

分析和解决问题．

学习重点

学习难点

学法指导

自主学习（预习新知检测）

根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程．

启发引导学习

如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=3cm,点P沿边AB从点A开始向点B以2cm/s的速度移动，点Q沿边DA从点D开始向点A以1cm/s的速度移动。如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0≤t≤3）。那么，当t为何值时，△QAP的面积等于2cm2？

A P Q B D C 二次备课

合作探究（课堂展示—自主学习成果及存在问题，师生互动环节）

例1如图，某海关缉私艇在C处发现在正北方向30km的A处有一艘可疑船只，并测得它正以60km/h的速度向正东方向航行．缉私艇随即以75km/h的速度前往拦截，在B处将可疑船只拦截．缉私艇从C处到B处需航行多长时间？

A B 北

C

例2如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A出发沿AB以1cm/s的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿BC以2cm/s的速度向点C移动．几秒钟后△DPQ的面积等于28cm2 ?

随堂练习

A P Q D C B 如图，在矩形ABCD中，AB = 7 cm，BC = 22cm, 点P从点A出发以1cm/s的速度移动到点B。点P出发几秒后，点P、A的距离是点P、C的距离的2倍。

A P B D C 课堂检测

如图，在矩形ABCD中，AB=16cm，BC=6cm，点P从A点出发沿AB以3cm/s的速度向点B移动，一直到达B点

为止；同时点Q从点C出发沿CD以2cm/s的速度向点D移动。经过多长时间P、Q两点间的距离是10cm.

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自主反思

B C Q A P D