小结优质课教案设计

7.2 二元一次方程组的解法

第1课

时代入法

※教学目标※

知识与技能

通过探索二元一次方程组的解法，经历化二元一次方程组为一元一次方程的过程，体会消元的思想，掌握直接代入法解二元一次方程组．

过程与方法

理解代入消元法的基本思想，体现的化未知数为已知的化归思想方法．

情感、态度与价值观

在数学学习活动中获得成功的体验，树立自信心．

教学重点

用代入法解二元一次方程组. 教学难道

体会用一个未知数表示另一个未知数进行带入消元. ※教学设计※

一、创设情境，引入新课

设计意图：问题情境是学生喜闻乐见的体育活动，增强求知欲，对所学知识产生亲切感．(这里实际还是引言中的问题) 问题：体育节要到了，篮球是七年级(1)班的重头项目．为了取得好名次，他们想在全部22场比赛中得到40分．已知每场比赛都要分出胜负，胜队得2分，负队得1分．那么七年级(1)班应该胜、负各几场? 你会用二元一次方程组解决这个问题吗? 播放学生篮球赛录像剪辑．

根据问题中的等量关系设胜x场，负y场，可以更容易地列出方程：

那么有哪些方法可以求得二元一次方程组的解呢? 二、探究新知

设计意图：重视知识的发生过程，让学生了解代入消元法解二元一次方程组的过程及依据．体会未知向已知，陌生向熟悉转化这一重要思想——化归思想．

问题1：什么是二元一次方程组的解?(方程组中各个方程的公共解) 问题2：这个问题能用一元一次方程来解决吗?问题3：观察上面的二元一次方程组和一元一次方程有什么关系? 教师提出问题1，学生利用上面的方程回答．

满足方程①的解有：

满足方程②的解有：

这两个方程的公共解是

教师提出问题2．

学生思考并列出一元一次方程．

设胜x场，负(22-x)场，解方程2x+(22-x)=40．③

解法略．

教师提出问题3．

若学生感到困难，教师可通过提问进一步引导．

(1)在一元一次方程解法中，列方程时所用的等量关系是什么? (2)方程组中方程②所表示的等量关系是什么? (3)方程②与③的等量关系相同，那么它们的区别在哪里? (4)怎样使方程②中含有的两个未知数变为只含有一个未知数呢? 结合学生的回答，教师做出讲解．

由方程①进行移项得y=22-x，

由于方程②中的y与方程①中的y都表示负的场数，故可以把方程②中的y用22-x来代换，即得2x+(22-x)=40．由此一来，二元化为一元了．解得x=18．

问题解完了吗?怎样求y? 将x=18代入方程y=22-x，得y=4．

能代入原方程组中的方程①②来求y吗?代入哪个方程更简便? 这样，二元一次方程组的解是

归纳：这种通过代入消去一个未知数，使二元方程转化为一元方程，从而方程组得以求解的方法叫做代入消元法，简称代入法．(板书课题) 三、巩固新知

设计意图：例1暂时省略了“用含一个未知数的式子去表示另一未知数”这一步骤，而将其放在例2中介绍，这样处理降低了难度，利于分阶段达成本课的学习目标．本例的重点在于让学生掌握代入法的基本步骤．

例2进一步巩固代入法的步骤.重点在于说明解二元一次方程组的一些技巧问题，主要表现在如何选择一个方程，如何用含一个未知数的式子去表示另一未知数．

例1

用代入法解方程组

本题较简单，直接由学生板演，师生共同评价．

解：把①代入②，得3(y+3)-8y=14，所以y=-1．

把y=-1代入①，得x=2．所以

解后反思．教师引导学生思考下列问题：

(1)选择哪个方程代入另一方程?其目的是什么? (2)为什么能代? (3)只求出一个未知数的值，方程组解完了吗? (4)把已求出的未知数的值，代入哪个方程来求另一个未知数的值较简便?

(5)怎样知道你运算的结果是否正确呢? (与解一元一次方程一样，需检验．其方法是将求得的一对未知数的值分别代入原方程组里的每一个方程中，看看方程的左、右两边是否相等．检验可以口算，也可以在草稿纸上验算) 教师给出例2．

例2 (为例1的变式)解方程组：

分析：(1)从方程的结构来看，例2与例1有什么不同? 例1是用x=y+3直接代入②的．而例2的两个方程都不具备这样的条件，都不能直接代入另一个方程．

(2)如何变形? 把一个方程变形为用含x的式子表示y(或含y的式子表示x)．

(3)那么选用哪个方程变形较简便呢? 通过观察，发现方程①中y的系数为-1，因此，可先将方程①变形，用含x的代数式表示y，再代入方程②求解．

(本题可由一名学生口述，教师板书完成)

(问：本题解完了吗?把x=10代入哪个方程求y较简单?)

四、练习与小结

设计意图：及时梳理知识，形成模式化，同时起到了小结的作用，使学生认识到用代入法解二元一次方程的一般步骤．通过练习进一步熟练掌握用代入法解二元一次方程组的一般步骤．

合作交流：你从上面的学习中体会到代入法的基本思路是什么?主要步骤有哪些呢?与你的同伴交流．

学生畅所欲言，互相补充，小组派发言人进行总结发言．最后，由老师出示幻灯片．

代入法的实质是消元，使两个未知数转化为一个未知数，一般步骤为：

①从方程组中选一个未知数系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数，例如y，用含x的式子表示出来，也就是化成y=ax+b的形式；

②将y=ax+b代入方程组中的另一个方程中，消去y，得到关于x的一元一次方程；

③解这个一元一次方程，求出x的值；

④把求得的x值代入方程y=ax+b中，求出y的值，再写出方程组解的形式；

⑤检验得到的解是不是原方程组的解．这一步不是完全必要的，若能肯定解题无误，这一步可以省略．

教师要求学生完成教材第29页练习第1、2题．

五、布置作业

教材第29页练习第3、4题．

※板书设计※

※备课资料※

逆向思维解趣题所谓倒推法，就是从结果出发，利用正确的推理和合理的运算去寻找起始条件的方法．有的应用题题设条件较多，若直接从正面入手，解法较繁．因而用倒推法，问题的求解就会显得十分简便．现举例说明如下：

例1

现对甲、乙、丙三个小组的人员作如下调整：第一次丙组不动，甲、乙两组中的一组调出7人给另一组；第二次乙组不动，甲、丙两组中的一组调出7人给另一组；第三次甲组不动，乙、丙两组中的一组调出7人给另一组．三次调整后，甲组有5人，乙组有13人，丙组有6人，问甲、乙、丙三个小组原来各有多少人? 分析：用列方程的方法“正面”求解将很烦琐，因为我们并不知道第一次调整是甲组调进乙组7个人，还是乙组调进甲组7个人，需要分别讨论，然而用倒推的方法就简洁明快得多了．

解：显然，如果某一组在一次调整时调进7个人，那么调整后这组的人数应不少于7人．第三次调整(甲组未动)后丙组才有6人，而乙组有13人，说明此次调整是由丙组调出7人给乙组．所以第三次调整前各组人数是甲组有5人，乙组有6人，丙组有13人；同理，第二次调整(乙组不动)只能是甲组调出7人给丙组，所以第二次调整前各组人数是甲组有12人，乙组有6人，丙组有6人；第一次调整(丙组不动)应是乙组调出7人给甲组，所以各组情况为甲组有5人，乙组有13人，丙组有6人．

例2

有兄弟三人，收到亲戚送来的N个苹果：每人分得的个数，分别等于自己三年前的岁数．三弟是个伶俐的孩子，他向两个哥哥提出一个交换苹果的建议，他说：“他只要留下一半苹果，还有一半送给你们平分．然后，要二哥也留一半，把另一半让我和大哥平分．最后，也要大哥留一半，把另一半让我和二哥平分．”两个哥哥没有怀疑这建议有什么不妥的地方，都同意三弟的建议．结果，大家的苹果数都变成相等的了，每人各分到8个苹果．问现在三弟几岁，两个哥哥各几岁? 分析：本题可用列方程的方法来解，但过程较繁．若用倒推法求解就显得十分简便．

解：交换的结果，三兄弟各分到8个苹果，所以，大哥把自己的苹果的一半分给两个兄弟之前，有16个苹果，而二哥和三弟各有4个苹果，二哥在分出自己的苹果之前有8个苹果，大哥有14个苹果，三弟有2个苹果，由此可知，三弟在分出苹果之前有4个苹果，二哥有7个苹果，大哥有13个苹果，因为最初每人得到的苹果数等于各人三年前的岁数，所以现在三弟是7岁，二哥是10岁，大哥是16岁．