2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系课件配套优秀获奖教案

必修二第二章

点、直线、平面的位置关系复习

一、选择题（本大题共12题，每小题5分，共60分）

1.三个平面把空间分成7部分时，它们的交线有（

）

Ａ．1条

Ｂ.2条

Ｃ．3条

Ｄ．1条或2条

【答案】C

【解析】

此时三个平面两两相交，且有三条平行的交线。故选C。

2．下面四个命题：

①若直线a，b异面，b，c异面，则a，c异面；

②若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交；

③若a∥b，则a，b与c所成的角相等；

④若a⊥b，b⊥c，则a∥c. 其中真命题的个数为(

) A．4

B．3

C．2

D．1

【答案】

D

【解析】异面、相交关系在空间中不能传递，故①②错；根据等角定理，可知③正确；对于④，在平面内，a∥c，而在空间中，a与c可以平行，可以相交，也可以异面，故④错误．故选D. 3．a、b、c为三条不重合的直线，、β、γ为三个不重合平面，现给出六个命题

①a∥ca∥∥c⇒a∥b

②⇒a∥b

③⇒∥β

b∥cb∥∥c∥∥ca∥④⇒∥β

⑤⇒∥a

⑥⇒∥a

∥a∥c∥其中正确的命题是(

) A．①②③

B．①④⑤ C．①④ D．①③④

【答案】

C 【解析】

①④正确，②错在a、b可能相交或异面．③错在与β可能相交．⑤⑥错在a可能在内．故选C。

4、设PH平面ABC，且PA,PB,PC相等，则H是ABC的（ ）

A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心

【答案】B

【解析】PH平面ABC，且PA,PB,PC相等，则HAHBHC，故H是ABC的外心．故选B。

5．如图，在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，则在下列说法中，错误的为 （ ）

1

A.AC⊥BD C.AC＝BD 【答案】C

【解析】因为截面PQMN是正方形，所以PQ∥MN、QM∥PN，

则PQ∥平面ACD、QM∥平面BDA，

所以PQ∥AC，QM∥BD，由PQ⊥QM可得AC⊥BD，故A正确；

由PQ∥AC可得AC∥截面PQMN，故B正确；

异面直线PM与BD所成的角等于PM与QM所成的角，故D正确；

综上C是错误的．故选C．

6. 在三棱柱ABC－A1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是(

) A．30°

B．45°

C．60°

D．90°

【答案】C

AE【解析】过A作AE⊥BC于点E，则易知AE⊥面BB1C1C，则∠ADE即为所求，又tan∠ADE＝＝

DE

3，故∠ADE＝60°.故选C.

7、已知正三棱锥的侧棱长是底面边长的2倍，则侧棱与底面所成的角的余弦值为（

）

A.

B.

C.

D.

B.AC∥截面PQMN

D.异面直线PM与BD所成的角为45°

【答案】A 【解析】如图所示，设VA=VB=VC=2a，AB=BC=AC=a，

因为是正三棱锥，所以顶点P的射影0为底面中心，也是重心，

所以∠VB0即为侧棱与底面所成的角B0=故选A．

，∴cos∠VBO==

2

8．如下图，在平行四边形ABCD中，AD=2AB=2，∠BAC=90°．将△ACD沿AC折起，使得BD=5．在三棱锥D-ABC的四个面中，下列关于垂直关系的叙述错误的是（ ）

．．

A．面ABD⊥面BCD B．面ABD⊥面ACD

C．面ABC⊥面ACD D．面ABC⊥面BCD

【答案】A

【解析】∵平行四边形ABCD中，AD=2AB=2，将△ACD沿AC折起，使得BD=5，

∴DC⊥BC，AB⊥AD，∵AB⊥AC，AD∩AC=A，∴AB⊥平面ACD，∵AB⊂面ABD，AB⊂面ABD，

∴面ABD⊥面ACD，面ABC⊥面ACD，∵DC⊥BC，DC⊥AC，BC∩AC=C，∴DC⊥面ABC，∵DC⊂面BCD，

∴面ABD⊥面BCD，∴B，C，D正确．若面ABD⊥面BCD，∵面ABD⊥面ACD，∴面BCD∥面ACD，显然不成立。故选A。

ADCD，E是AC的中点，9．如图，在三棱锥DABC中，若ABBC，则下列命题中正确的是（ ）

DCEBA

A．平面ABC平面ABD

B．平面BCD平面ABD

C．平面ABC平面BDE，且平面ACD平面BDE

D．平面ABC平面ACD，且平面ACD平面BDE

【答案】C

【解析】ABBC，ADCD，E是AC的中点ACDE,ACBEAC平面BDE，因此有平面ABC平面BDE，且平面ACD平面BDE，C正确。故选C。

10．空间四边形ABCD的四边相等，则它的两条对角线AC，BD的关系是(

) A．垂直且相交

B．相交但不一定垂直

C．垂直但不相交

D．不垂直也不相交

【答案】C

【解析】

取BD中点E，连接AE，CE.∵AB＝AD＝BC＝CD，∴AE⊥BD，CE⊥BD，∴BD⊥平面AEC. 又AC⊂平面AEC，∴BD⊥AC.故选C。

3

11、11.如图,在正四棱锥S-ABCD(顶点S在底面ABCD上的射影是正方形ABCD的中心)中,E是BC的中点,点P在侧面△SCD内及其边界上运动,并且总是保持PE⊥AC.则动点P的轨迹与△SCD组成的相关图形最有可能是图中的(

)

【答案】A 【解析】:

所以AC⊥GF,所以点P在直线GF上.

12.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=1,则BC1与平面BB1D1D所成的角的正弦值为(

) A.错误！未找到引用源。

误！未找到引用源。

B.错误！未找到引用源。

C.错误！未找到引用源。

D.错

【答案】D

4

【解析】在平面A1B1C1D1内过点C1作B1D1的垂线,垂足为E,连接BE.

错误！未找到引用源。⇒C1E⊥平面BDD1B1, ∴∠C1BE的正弦值就是所求角的正弦值.

∵BC1=错误！未找到引用源。,C1E=错误！未找到引用源。, ∴sin∠C1BE=错误！未找到引用源。.

二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)

13、已知P是正方体ABCDA1B1C1D1棱DD1上任意一点，则在正方体的12条棱中，与平面ABP平行的是

．

【答案】

、

、

【解析】棱DC、D1C1、A1B1都平行于棱AB，所以棱DC、D1C1、A1B1都平行于平面ABP。

14．已知

、

、

是三条不重合直线，

⑴

⑷

； ⑵

； ⑸、

、

是三个不重合的平面，下列说法中：

； ⑶

； ⑹；

．

其中正确的说法依次是

．

【答案】

（1）、（4）

【解析】

由平行公理知（1）正确；两条相交直线可平行一个平面，所以（2）错；一条直线可平行两个相

交的平面，所以（3）错；两个平面平行于第三个平面。则两个平面平行，所以（4）对；直线a有可能在

平面内，所以（5）和（6）都错。

15、已知△ABC为直角三角形，且ACB900，AB=10，点P是平面ABC外一点，若PA=PB=PC，且PＯ⊥平面ABC，Ｏ为垂足，则ＯＣ= ．

【答案】5

【解析】因为PAPBPC，所以OAOBOC．即O是ABC的外心，即点O是ABC斜边AB的中点，所以OC1AB5．

216．已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB.则下列命题中正确的有___________．(填序号) ①PA⊥AD；②平面ABC⊥平面PBC；③直线BC∥平面PAE；④直线PD与平面ABC所成角为30°. 【答案】①③

【解析】由PA⊥平面ABC，∴PA⊥AD，故①正确；②中两平面不垂直；③中BC∥AE，故BC∥平面PAE，故③正确；④中直线PD与平面ABC所成角为45°.

5

三、解答题（共2小题，每题10分，共20分）

π17、如图所示，四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA＝23，BC＝CD＝2，∠ACB＝∠ACD＝. 3

(1)求证：BD⊥平面PAC；

(2)若侧棱PC上的点F满足PF＝7FC，求三棱锥P ­

BDF的体积． 【解析】解：(1)证明：因为BC＝CD，即△BCD为等腰三角形．

又∠ACB＝∠ACD，故BD⊥AC.因为PA⊥底面ABCD，

所以PA⊥BD，从而BD与平面PAC内两条相交直线PA，AC都垂直，所以BD⊥平面PAC. 2π11(2)三棱锥P­BCD的底面BCD的面积S△BCD＝BC·CD·sin∠BCD＝×2×2×sin

＝3.由PA⊥底面ABCD，223得

111VP­BCD＝·S△BCD·PA＝×3×23＝2.由PF＝7FC，得三棱锥F­BCD的高为PA，

3381111117故VF ­

BCD＝·S△BCD·PA＝×3××23＝，所以VP ­

BDF＝VP ­

BCD－VF ­

BCD＝2－＝. 383844418、如图所示，在四棱台ABCD－A1B1C1D1中，D1D⊥平面ABCD，底面ABCD是平行四边形，AB＝2AD，AD＝A1B1，∠BAD＝60°.

(1)证明：AA1⊥BD；

(2)证明：CC1∥平面A1BD.

6

∴四边形A1OCC1为平行四边形，∴C1C∥A1O，

又A1O⊂平面A1BD，C1C⊄平面A1BD，

∴CC1∥平面A1BD. 19、如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD为菱形，E、P、Q分别是棱AD、SC、AB的中点，且SE平面ABCD．

（1）求证：PQ//平面SAD；

（2）求证：平面SAC平面SEQ．

【答案】（1）详见解析（2）详见解析

【解析】证明：（1）取SD中点F，连接AF,PF．∵P、F分别是棱SC、SD的中点，∴FP//CD，且1CD．∵在菱形ABCD中，Q是AB的中点，

21QPF∴AQ//CD，且AQCD，∴FP//AQ且FPAQ．∴A2FP平面SAD，AF平面SAD，∴PQ//平面SAD．

为平行四边形，∴PQ//AF．∵PQ

7

（2）连接BD，∵ABCD是菱形，∴ACBD，

∵E、Q分别是棱AD、AB的中点，∴EQ//BD，∴ACEQ，

∵SE平面ABCD，AC平面ABCD，∴ACSE，

∵SEEQE，SE、EQ平面SEQ，∴AC平面SEQ，

∵AC平面SAC，∴平面SAC平面SEQ．

20、如图，将一副三角板拼接，使它们有公共边BC，且使两个三角形所在的平面互相垂直，若∠BAC＝90°，AB＝AC，∠CBD＝90°，∠BDC＝60°，BC＝6。

A C D B

⑴

求证：平面ABD平面ACD；

⑵

求二面角A的平面角的正切值；

CDB⑶

设过直线AD且与BC平行的平面为，求点B到平面的距离。

【解析】

⑴平面BCD⊥平面ABC，BD⊥BC，平面BCD∩平面ABC＝BC，∴BD⊥平面ABC。

AC平面ABC，∴AC⊥BD，又AC⊥AB，BD∩AB＝B，∴AC⊥平面ABD。

又AC平面ACD，∴平面ABD⊥平面ACD；

⑵设BC中点为E，连AE，过E作EF⊥CD于F，连AF。

由三垂线定理：∠EFA为二面角的平面角

EFC~DBC EFCEBDCDAEtanEFA2EF3EF，又AE32

∴二面角的平面角的正切值为2 。

（III）过点D作DG//BC，且CB＝DG，连AG BC∥平面ADG ∴B到平面ADG的距离与C到平面ADG的距离h

[

8

VCAGDVACBD

1167SAGDhSBCDAE h、

337

9