探究与发现 祖暅原理与柱体、椎体、球体的体积教案3

《祖暅原理与柱体、锥体、球体的体积》教学设计

一、教材分析：

《祖暅原理与柱体、锥体、球体的体积》是新课标人教A版高中数学必修二第一章《空间几何体》第三节后面的探究与发现内容。是在学生们已经认识了简单几何体、组合体、三视图及知道了柱体、锥体、球体体积公式的基础上来学习研究的。本节内容主要是通过数学实验法，利用祖暅原理来研究柱体、锥体、球体的体积。通过本节内容的学习，学生们不仅可以掌握棱柱、棱锥、球的体积公式，还可以利用祖暅原理求一些不规则几何体的体积，可以进一步提高学生们的空间想象能力，也激发了学生强烈的探索欲望，油然而生了民族自豪感。

二、学情分析：

学习本节内容时学生已经进入高一下学期了，在将近一年的高中数学学习中，学生们已经基本形成了观察、猜想、推理、实验、证明、进而得出结论的数学思想方法与过程，有较强的动手操作能力，他们善于利用集体的智慧来解决问题。

三、教学目标：

（1）理解祖暅原理的含义，理解利用祖暅定理计算几何体体积的方法；

（2）在发现祖暅原理的过程中，体会从“平面”到“空间”的类比、猜想、论证的数学思想方法；体会祖暅原理中由“面积相等”推出“体积相等”的辩证法的思想；

（3）通过介绍我国古代数学家对几何体体积研究的成果，激发学生的民族自豪感，提高学生学习数学的兴趣，拓展爱国主义情感教育。

四、教学的重点、难点：

（1）柱体、椎体、球体的体积公式的探究；

（2）学生探究能力的培养。

五、教法与教学手段：

1、教法：探究法

2、教学手段：多媒体辅助教学。

六、教学过程：

（一）、复习回顾：

回顾已经学习的柱体、椎体、球体的体积公式，并提问：这些公式是怎么来的？

（设计意图：让学生产生疑问，带着疑问主动的探究柱体、椎体、球体的体积公式的由来）

（二）、探究新知：

1、出示等底等高的图形，并提问：面积有什么关系？（设计意图：通过复***面图形的等面积定理，为接下来学习等体积定理打下基础）

2、数学小实验：取一摞书放在桌面上，并改变它们的位置，观察改变前后的体积是否发生变化？（设计意图：通过小实验让学生直观感知祖暅原理，激发他们的学习热情）

3、用flash演习祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”

（设计意图：通过flash演习祖暅原理，让学生更加直观感知祖暅原理，易被学生接受）

4、介绍祖暅（设计意图：介绍我国古代数学家对几何体体积研究的成果，激发学生的民族自豪感，提高学生学习数学的兴趣，拓展爱国主义情感教育）

5、探究祖暅原理与柱体体积的关系：设有底面积都等于S，高都等于h的任意一个棱柱、一个圆柱和一个长方体，使它们的下底面在同一平面内。你能得到什么结论？（设计意图：通过对祖暅原理的学习让学生更加深刻认识柱体体积公式，为以后更好的学习打下良好的基础）

6、课堂练习：

如图，是某几何体的三视图。由祖暅原理知：“幂势既同，则积不容异”。已知某不规则几何体与如图所示的几何体满足“幂势同”，求该不规则几何体的体积。(图中所给长度均为厘米)

（设计意图：通过此题锻炼学生把几何体的三视图还原成直观图的能力，并能正确运用柱体体积公式）

7、探究祖暅原理与椎体体积关系：

（1）提问：设有底面积都等于S，高都等于h的两个锥体（如图：一个棱锥和一个圆锥），使它们的下底面在同一平面内。你能得到什么结论？

（设计意图：进一步体会割补法和归纳推理的数学思想方法，为以后他们数学能力的提升奠定基础）

（2）提问：如何把一个三棱柱分割成三个等体积的棱锥？

（设计意图：通过把常见的直三棱柱分割成三个等体积的棱锥，而引出椎体体积公式）

8、课堂练习：

某几何体的三视图如图，求该几何体的体积。

(图中所给数字单位为厘米) （设计意图：通过此题锻炼学生把几何体的三视图还原成直观图的能力，并能正确运用锥体体积公式）

9、探究祖暅原理与球体的体积公式：

（1)

思考：如何找到一个与半球等体积的“替代品”？

（设计意图：通过此问题进一步提高学生们的空间想象能力，提高学

生对祖暅原理深刻认识）

10、推导球体体积公式：

（设计意图：通过多媒体展示及求球的截面面积与圆环面积，利用祖暅原理推导球体体积公式易被学生理解掌握）

11、课堂练习：

一个正四面体的所有棱长都是2厘米，四个顶点都在同一球面上，求此球的体积。

（设计意图：通过此题体会数学中的补形法，正确运用正方体模型处理问题）

（三）、课堂小结：

知识方面：本节探究了利用祖暅原理获得了柱体、锥体、球体的体积公式。

思维能力方面：体会到联想，类比，猜想

证明等合情推理及逻辑推理的方法在探索新知识方面的重要作用。

（四）、布置作业

1、三棱锥P-ABC三条侧棱两两互相垂直，且PA=1,PB=2,PC=3,求它外接球的体积。

2、三棱锥P-ABC中侧棱PA长为3且垂直于底面ABC，底面是边长为2的正三角形，求这个三棱锥外接球的体积。

七、板书设计：

祖暅原理与柱体、锥体、球体的体积

1、探究祖暅原理与柱体体积的关系

例1.

小结：

2、探究祖暅原理与锥体体积的关系

例2. 3、探究祖暅原理与球体体积的关系

例3.

作业：

八、反思：

首先，本节的教学设计以探究式学习为主。通过已知几何体的体积公式，结合祖暅原理，探究未知几何体的体积公式。这一探究活动将使学生经历观察、猜想、验证、归纳的过程，增强主动探索能力，提高学习兴趣。

通过对祖暅原理的学习，不仅提高了学生的探究兴趣，还培养了学生的民族自豪感，让学生感受到中国古代传统数学的魅力。

在次，在学习几何体体积公式时，利用祖暅原理，更易使学生进入到从特殊到一般，从已知到未知的探究过程，体会其中的数学思想。

最后，本节课贴近生活，化抽象为具体。高中学生的抽象思维有限，直接给学生讲原理，学生很难理解。本节课中，先让学生观察一摞作业本的形状，然后动手改变形状，观察体积的变化，再归纳总结，水到渠成，易被学生接受理解。