1.3 空间几何体的表面积与体积（通用）教学目标设计

高中数学必修二(人教版A版）

1.3

空间几何体的表面积与体积

1．3.1

柱体、锥体、台体的表面积与体积

课时教案

阿克苏库车县乌尊镇中学

吐松江·买买提

1.3

空间几何体的表面积与体积

1．3.1

柱体、锥体、台体的表面积与体积

[目标] 1.会求柱体、锥体、台体的表面积与体积； 2.知道圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图，并会求它们的侧面积；

3.通过柱体、锥体、台体的体积公式体会它们之间的关系．

[重点] 求圆柱、圆锥、圆台的侧面积；求柱体、锥体、台体的表面积与体积．

[难点] 柱体、锥体、台体的侧面展开图及这三类几何体之间关系的理解．

知识点 一 、多面体与旋转体的表面积

[填一填] 1．柱体的表面积

(1)棱柱的表面积：S表＝ ①其中底面周长为C，高为h的直棱柱的侧面积：S侧＝ ；

②长、宽、高分别为a，b，c的长方体的表面积：S＝ ；

③棱长为a的正方体的表面积：S表＝ . (2)圆柱的表面积：底面半径为r，母线长为l的圆柱的侧面积：表S侧＝ ，表面积：S表＝ 3．台体的表面积

(1)棱台的表面积：S表＝ (2)圆台的表面积：两底面半径分别为r′，r，母线长为l的圆台的侧面积：S侧＝ ，表面积：

S表＝-------------------- [答一答] 1．几何体的侧面积与表面积有何区别？

提示：侧面积指的是几何体侧面的面积，而表面积是指整个几何体表面的面积．表面积等于侧面积与底面积之和，因此，侧面积仅是几何体表面积的一部分．

2．圆锥的侧面展开图为一扇形，怎样根据扇形圆心角度数α°推导出母线l与底面半径r的关系？

提示：圆锥侧面展开图中扇形弧长为圆锥底面周长，而扇形弧长

ααα又是以l为半径圆周长的360，于是有360·2πl＝2πr，即r＝360l. 知识点二 、柱体、锥体、台体的体积

[填一填] 1．柱体的体积：V柱体＝Sh(S表示柱体的底面面积，h表示柱体的高)．

2．锥体的体积：V锥体＝3Sh(S表示锥体的底面面积，h表示锥体的高)．

3．台体的体积：V1台体＝3(S′＋＋S)h

1(S′，S分别表示台体的上、下底面面积，h表示台体的高)．

[答一答] 3．柱体的体积与哪些量有关？

提示：柱体的体积仅与它的底面积和高有关，而与底面的形状以及是斜棱柱或直棱柱无关．

4．对于三棱锥在求体积时，底面固定吗？怎样确定哪个面为底面？

提示：不固定，三棱锥的任何一个面都可以作为它的底面，关键是哪个底面的面积和相应的高容易求出，就选哪个面为底面．

通法提“炼”

在掌握直棱柱、正棱锥、正棱台侧面积公式的基础上，对于一些较简单的组合体，能够将其分解成柱、锥、台体，再进一步分解为平面图形(正多边形、三角形、梯形等)，以求得其表面积与体积，要注意对各几何体相重叠部分的面积的处理. 解决旋转体的有关问题常需要画出其轴截面图，将空间问题转化

为平面问题来解决.对于与旋转体有关的组合体问题，首先要弄清楚它是由哪些简单几何体组成的，然后根据条件分清各个简单几何体底面半径及母线长，再分别代入公式求各自的表面积或体积. [变式训练] 一个直角梯形的两底边长分别为2和5，高为4，将其绕较长的底所在的直线旋转一周，求所得旋转体的表面积．

解：如图，梯形ABCD中，AD＝2，AB＝4，BC＝5.作DM⊥BC，垂足为点M，则DM＝4，MC＝5－2＝3.在Rt△CMD中，由勾股定理得CD＝＝5.在旋转形成的旋转体中，AB形成一个圆面，AD形成一个圆柱的侧面，CD形成一个圆锥的侧面，设其面积分别为S1，S2，S3，则S1＝π·42＝16π，S2＝2π×4×2＝16π，S3＝π×4×5＝20π，故此旋转体的表面积为S＝S1＋S2＋S3＝52π.

[例1] 一个棱锥的三视图如下图，则该棱锥的表面积(单位：cm2)为( ) A．48＋12 B．48＋24 C．36＋12 D．36＋24

[解析] 该棱锥为一个底面是等腰直角三角形的三棱锥，如右图，

由已知可知：SD＝4，AB＝BC＝6，

∴SE＝5，AC＝6. 111∴S＝2×6×6＋2×2×5×6＋2×6×4 ＝48＋12. [答案] A 通法提“炼”

当给出几何体的三视图，求该几何体的表面积或体积时，应首先根据三视图确定该几何体的结构特征，是简单组合体的还应将其分解为柱、锥、台、球，再根据公式计算表面积或体积. 空间几何体体积计算常见技巧

柱、锥、台的体积的计算，一般要找出相应的底面和高，要充分利用截面、轴截面，求出所需要的量，最后代入公式计算．常见的求几何体体积的方法有：公式法，等积法，分割法，构造法等．

1．等积法

三棱锥也称为四面体，它的每一个面都可当做底面，恰当地进行换底等积变换便于问题的求解．

[典例2] 如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，截下一三棱锥D1－A1CD，求三棱锥D1－A1CD的体积与剩余部分的体积之比．

[解] 剩余部分是一个不规则的几何体，可利用长方体和三棱锥的体积之差来求．设矩形ADD1A1的面积为S，侧棱CD的长为h，则VD111115－A1CD＝VC－A1D1D＝3×2Sh＝6Sh，剩余部分的体积为Sh－6Sh＝6Sh，所以三棱锥D1—A1CD的体积与剩余部分的体积之比为1:5. 2.分割法

当所给几何体是不规则或不易求体积的几何体时，可以将原几何体分割成几个规则的几何体，然后分别求这几个几何体的体积，再求和，便得到原几何体的体积．

[典例3] 如图，已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为a的正方体，E，F

分别是棱AA1和CC1的中点，求四棱锥A1－EBFD1的体积．

[分析] 考虑到四棱锥的高不好计算，可将四棱锥分割成两个小三棱锥，利用三棱锥体积运算的灵活性即可简化问[解] 连接EF.因a5为EB＝BF＝FD1＝D1E＝2＝2a，且EB∥FD1，ED1∥BF，所以四边形EBFD1为菱形．

又△EFB≌△EFD1，且三棱锥A1－EFB和三棱锥A1－EFD1等高，所以VA1－EFB＝VA1－EFD1，题．

所以VA1－EBFD1＝2VA1－EFD1＝2VA1－EFB＝2VF－EA1B. 1aa2而S△EA1B＝2·2·a＝4，点F到面EA1B的距离为a，所以VF1a2a3a3a3－EA1B＝3·4·a＝12，所以VA1－EBFD1＝2×12＝6. 3．构造法

对于某些几何体性质的探究较困难时，我们可以将它放置在我们熟悉的几何体中，如正方体等这些对称性比较好的几何体，以此来研究所求几何体的性质．

[典例4] 如下图，在等腰梯形ABCD中，AB＝2CD＝2，∠DAB＝60°，E是AB的中点，将△ADE，△BEC分别沿ED，EC向上折起，使A，B重合于点P，求三棱锥P－CDE的体积．

[解] 根据题意，折叠后的三棱锥P－CDE的各棱长都相等，且等于1，根据此三棱锥构造相应正方体(如上图)，则该正方体的棱长为2232212，故正方体的体积为(2)＝4，所以三棱锥P－CDE的体积为4－4×3×122222×2×2×2＝12. 课后作业：课本第27页练习题1、2 课后反思：

组长签字：