3.3.4 两条平行直线间的距离优质课教案

《两条平行直线间的距离》教学设计

一重五中

侯蕊

一、教学任务分析

学生已经有的相关知识是：两点间距离公式，点到直线的距离公式，直线的倾斜角、斜率，直线方程的各种形式，直线间关系判断的依据；并且经历了建立这些公式、解决这些问题的过程，积累了一定的用坐标法思想解决问题的经验与各种具体方法。这一节的任务是：把两条平行直线间的距离转化为直线上的一点到另外一条直线的距离，利用点到直线间的距离公式来求平行线之间的距离。通过推广发现两条平行直线间的距离的公式，并进行简单的应用。

从课型来说，应该属于“问题数学”。以一个问题为载体，学生在教师的引导与帮助下，分析、研究问题，制定解决问题的策略，选择解决问题的办法。

通过一个数学问题的解决，让学生参与教学过程。在这个过程中，教师尊重学生的思维过程，充分发挥学生在学习中的主动性以及他们之间的合作交流。

二、教材与学情分析

1、地位与作用

本节是两点间距离公式和点到直线的距离的认识的继续,，对本节的研究，既是点到直线间的距离公式的应用，又为后面直线与圆的位置关系和圆锥曲线的进一步学习奠定了基础，具有承上启下的重要作用。

2、学情分析

（1）知识与能力：学生已经学习了两点之间的距离公式，点到直线间的距离公式，具备直线的有关知识等。学生对坐标法解决几何问题有了初步的认识。

（2）学生实际：我校学生实际是基础扎实、思维活跃，但解题能力特别是抽象思维的能力比较欠缺，所以需要老师循序渐进的引导。

三、教学目标

根据新课程标准的理念,以及上述教材结构与内容的分析，考虑到学生已有的知识结构及心理特征，制定如下三维教学目标：

【知识与技能】（直接性目标）

（1）让学生理解把两条平行直线间的距离转化为直线上的一点到另外一条直线的距离，利用点到直线间的距离公式来求平行线之间的距离。掌握两条平行直线间距离公式及其简单应用；

（2）通过由特殊到一般的归纳，培养学生探索问题的能力。

【过程与方法】（发展性目标）

（1）通过推导公式方法的发现，培养学生观察发现、分析归纳、抽象概括、数学表达等基本数学思维能力；

（2）在推导过程中，渗透数形结合、转化化归等数学思想以及特殊与一般的方法. 【情感态度价值观】（可持续性目标）

引导学生用联系与转化的观点看问题，体验在探索问题的过程中的受挫感和成功感。同时感受数学的形式美与简洁美，从而激发学习

兴趣。

四、教学重点、难点

【重点】两条平行直线间距离公式和简单应用。

【难点】两条平行直线间距离公式的推导。

【重难点的确定】

本课在设计上采用了由特殊到一般、从具体到抽象的教学思路，采用探究式教学方法。同时，借助于多媒体的直观演示，帮助学生理解，并通过逐步深入的课堂练习，师生互动、讲练结合，从而突出重点、突破教学难点。

五、教法学法

本节课难点在于公式的推导，所以利用探究式教学以及多媒体帮助分散难点，更符合学生的认知规律。同时在教学中注意关注整个过程和全体学生，充分调动学生积极参与教学过程的每个环节。在教学中，鼓励学生观察，鼓励学生发现问题，解决问题，让学生在课堂中让学生多做，多练，让他们能更多地体验成功的乐趣。

六、教学程序

“数学是思维的体操”，课程标准指出，教学中应注意沟通各部分内容之间的联系，通过类比、联想、知识的迁移和应用等方式，使学生体会知识间的有机联系，感受数学的整体性．课标又指出，鼓励学生积极参与教学活动．为此，在具体教学过程中，把本节课分为以下：“提出问题——互动交流

探究问题——概括归纳

解决问题——

课堂训练

简单应用——学生体会

教师点评——课外作业

巩固提高”六个阶段来完成。 七、教学情境设计

（一）、直击概念

教师直接点题，本节课学习：第三章第三节第四小节《两条平行直线间的距离》（教师同时板书课题）。大家一起看教材第108页，先明确一下两条平行直线间的距离是怎样定义的。大家齐声读一下。

学生齐读：两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间公垂线段长。

教师在黑板上画两条平行线，作与两条平行直线都垂直相交的线段（即公垂线段）。帮助大家理解两条平行直线间的距离的概念。

（设计意图：直接点题，引入新课，有效的提高学生学习的目标性，为学生后续探究做好知识铺垫。）

（二）、复习回顾

教师帮助学生回忆曾经学习过的两点间的距离公式和点到直线间距离公式。

提问：我们学习了两点间的距离公式，则两点间的距离公式是什么？

P1P2(x2x1)2(y2y1)2（点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)）

提问：上节课我们学习点到直线的距离公式，那么点到直线的距离公式是什么？

点P(x0,y0)到直线l:AxByC0的距离公式为d|Ax0By0C|AB122

特别提示：当A=0或B=0时,直线方程为y=y或x=x的形式.如果A=01或B=0，此公式恰好也成立；但不用此公式更加方便；还要注意用此

公式时直线要先化成一般式。

（设计意图：以学生刚刚学习过的知识为教学前提，接近学生的最近发展区，有效激发学生的学习兴趣，为新课的学习打下基础。）

（三）、提出问题-探究问题-解决问题

提问：我们从点到点的距离，推广到点到直线的距离，还可以继续推广吗？

备学生：可以求两条直线间的距离。

提问：平面内，两条直线的位置关系有哪些？

备学生：相交和平行。

提问：那么我们所指的两条直线的位置关系应该是那种？

备学生：两条平行直线间的。

提问：对，两条平行线间距离的都一样吗？

备学生：两条平行线间距离的都一样。

提问：大家探究一下，如果直线l与l是两条平行直线，如何求两12条平行直线间的距离呢？能否将平行直线间的距离转化为点到直线的距离哪？如何取点，可使计算简单？ 备学生：可以利用点到直线的距离求直线l与l两条平行直线间的12距离。

提问：如何取点，可使计算简单。我们带着这样的问题先来看一道例题，求平行线2x-7y+8=0与2x-7y-6=0的距离。

提问：具体的我们如何取点，可使计算简单呢？同学们观察图像看直线l与x轴的交点P(3,0)，可以利用点p到直线l的距离来求直线21l与l两条平行直线间的距离。

12那位同学到黑板上给大家演示具体的计算过程。

解：在直线2x-7y-6=0上任取一点，例如取P(3，0)，则两平行线间的距离就是点P(3，0)到直线2x-7y+8=0的距离(图1-38)．

生到黑板板演，教师到学生间检查做题情况，对发现的问题及时解决，及时处理。

（设计意图：培养学生的具体操作和运算能力，自主学习的能力，并感受成功。）

提问：同学们看一看，通过这道题我们可以把求两条平行直线间距离问题上升到公式高度哪？

备学生：可以。

教师利用幻灯片展示，在l1 :Ax+By+C1=0中，

教师板书当A=0时，公式也成立的过程。

提问：如果对于两条平行直线中的一条直线来说，我们不是选择特殊的点来求两条平行直线间的距离，而是选择任意的点，来求两条平行直线间的距离行吗？我们一起验证一下，我们一起看大屏幕。

由教师通过播放幻灯片来完成这一问题的证明。

教师引领学生利用两条平行直线间的具体公式，求平行线2x-7y+8=0和2x-7y-6=0的距离的这道题。比较利用公式能不能达到简便计算的作用。

学生利用公式认真的应用。教师检查学生做题出现的问题，及时的修正。

提问：大家做的结果是不是跟我们之前做的结果一样呀？感觉利用公式简单吗？

备学生：结果一样，利用公式较为简单。

教师提示：公式虽然好用，但大家还是要注意当两条直线的方程A、B系数必须一样时，才能利用公式。

（设计意图：在探究问题的过程中体现了从特殊到一般的认识，而本环节探求公式成立的条件，又实现了从一般到特殊的认识，同时

体现了知识的完备性。公式的形式特点体现了数学美，应用公式体现了简洁美。）

教师通过大屏幕和大家一起研究例7。

提问：大家观察一下，这两条直线平行吗？

备学生：平行。

提问：为什么？

备学生：斜率相等。

提问：对，斜率相等，截距不相等。但两条直线的方程A、B系数相同吗？能否用公式来计算？

备学生：可以将第一条直线两边乘以2倍，使他们的系数相等再利用公式计算。或也可以将第二条直线两边除以2倍，使他们的系数相等再利用公式计算。

教师及时提示：只要两条直线的方程A、B系数相同，就可以利用公式来计算。结果都是一样的。找一个同学到黑板上来给大家展示计算过程。

生按照自己的理解，板演例7的做题过程。教师巡视同学们的做题过程，及时的进行纠正。

（设计意图：尊重教材但不照搬，创造性的使用教材，符合学生从特殊到一般，循序渐进的认知规律。一题多解使发散思维得到训练。充分发挥学生的主体作用的同时，还要注意特殊与一般的逻辑方法以及转化、数形结合等数学思想的渗透。）

（四）、巩固练习

1.平行线2x-7y+6=0和2x-7y-6=0的距离是______;

2.两平行线3x-2y-1=0和6x-4y+2=0的距离是_____; （设计意图：通过练习，熟悉公式结构，记忆并简单应用公式。）

（五）变式练习

1、求直线l1:2x3y10与l2:4x6y50的正中平行直线方程. 解：直线l1的方程化为4x6y20. 设正中平行直线的方程为4x6yC0，

46线方程为4x6y70. 2C||5C|7|C2||C5|，解得C. 所以正中平行直则|2，即2222462提问：观察一下两条平行直线方程中系数的特点，我们来看看有什么规律吗？

师指导学生，先化一次项系数为相同，巧设正中平行直线方程，利用两组平行线间距离相等而求。

结论：两条平行直线l1:AxByC10，l2:AxByC20的正中平行直线方程为AxBy(C1C2)/20. 2、两平行直线3x + 4y

– 1 = 0与6x + 8y + 3 = 0关于直线l对称，求l的方程. 依题可知直线l的方程为：6x + 8y + C = 0. 则它到直线6x + 8y

– 2 = 0的距离d1到直线6x + 8y + 3 = 0的距离为d2所以d1 = d2即|C2|6282|C3|6282|C2|6282，

|C3|6822

，所以C1. 2即l的方程为：6x8y10. 2（设计意图：通过变式练习，进一步培养学生的具体操作和运算能力，自主学习的能力，并感受成功。）

（六）、小结：

教师让学生总结提升，教师适时补充，完成本节小结过程。

求两条平行直线间的距离问题的方法：

（1）、把两条平行直线间的距离转化为直线上的一点到另外一条直线的距离。利用点到直线间的距离公式来求平行线之间的距离。

（2）、掌握两条平行直线间距离公式及其简单应用。

（设计意图：通过师生共同小结，巩固所学知识，提炼用到的解决问题的方法，培养学生归纳概括能力。）

（七）、课后作业

求下列两条平行线的距离：

(1)2x+3y-8=0，

2x+3y+18=0．

(2)3x+4y=10，

3x+4y=0．

（八）、板书设计

题目：两条平行直线间的距离

1、两条平行直线间的距离公式d|C12C22|

AB2、两条平行直线l1:AxByC10，l2:程为AxBy(C1C2)/20. AxByC20的正中平行直线方