复习参考题教学设计方案

圆与圆的位置关系

制作者：徐超

圆与圆的位置关系

设圆O1：(x－a1)＋(y－b1)＝r1(r1>0)，圆O2：(x－a2)＋(y－b2)＝r2(r2>0).

方法

位置

关系外离

外切

相交

内切

内含

几何法：圆心距d与r1，r2的关系

________________

________________

________________

____________

____________

代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况

________________ ________________ ________________ ____________ ____________ 222222答案：d>r1＋r2

无解

d＝r1＋r2

一组实数解

|r1－r2|

两组不同的实数解

d＝|r1－r2|(r1≠r2) 一组实数解

0≤d<|r1－r2|(r1≠r2) 无解

例一：圆O1：(x＋2)＋y＝4与圆O2：(x－2)＋(y－1)＝9的位置关系为________．

答案：相交

解析：两圆圆心分别为O1(－2,0)，O2(2,1)，

半径长分别为r1＝2，r2＝3. ∵|O1O2|＝[2－－22222＋－2＝17，

3－2<17<3＋2，∴两圆相交．

例二：圆x＋y－4＝0与圆x＋y－4x＋4y－12＝0的公共弦长为________．

答案：22 x＋y－4＝0，解析：由

22x＋y－4x＋4y－12＝0，222222

得x－y＋2＝0. 又圆x＋y＝4的圆心到直线x－y＋2＝0的距离为由勾股定理得弦长的一半为4－2＝2，

所以所求弦长为22. 两圆相切：注意是内切还是外切．

若两圆x＋y＝1与(x－a)＋(y＋a)＝4(a>0)相切，则a＝________.

- 1 - 22222222＝2.

答案：232或

22解析：两圆的圆心距为2a，半径分别为r1＝1，r2＝2. 当两圆内切时，

2a＝2－1＝1，得a＝2；

232当两圆外切时，

2a＝2＋1＝3，得a＝. 2

例三：

已知圆C1：(x－a)＋(y＋2)＝4与圆C2：(x＋b)＋(y＋2)＝1相外切，则ab的最大值为(

) A.639 B. C. D．23 2242222[答案]

C [解析]

由圆C1与圆C2相外切，可得

a＋bab≤2＋－2＋2＝2＋1＝3，即(a＋b)＝9，根据基本(均值)不等式可知，2a＋b2＝9，当且仅当a＝b时等号成立．故选C. 24 [变式１] 把本例中的“外切”变为“内切”，求ab的最大值．

解：由C1与C2内切，得

a＋b22＋－2＋2＝1. 即(a＋b)＝1，又ab≤a＋b2＝1，

24当且仅当a＝b时等号成立，

1故ab的最大值为. 4[变式2] 把本例条件“外切”变为“相交”，求公共弦所在的直线方程．

解：由题意得，把圆C1，圆C2的方程都化为一般方程．

圆C1：x＋y－2ax＋4y＋a＝0，①

圆C2：x＋y＋2bx＋4y＋b＋3＝0，②

由②－①，得(2a＋2b)x＋3＋b－a＝0，

即(2a＋2b)x＋3＋b－a＝0为所求公共弦所在直线方程．

[变式3] 将本例条件“外切”变为“若两圆有四条公切线”，试判断直线x＋y－1＝0与圆(x－a)＋(y－b)＝1的位置关系．

解：由两圆存在四条公切线，故两圆外离，

故222222222222a＋b2＋－2＋2>3.

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∴(a＋b)>9，即a＋b>3或a＋b<－3. |a＋b－1|∴圆心(a，b)到直线x＋y－1＝0的距离d＝>1，

2∴直线x＋y－1＝0与圆(x－a)＋(y－b)＝1相离．

总结：

1.处理两圆位置关系多用圆心距与半径和或差的关系判断，一般不采用代数法．

2．若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差得到. 练习

1.圆(x＋2)＋y＝4与圆(x－2)＋(y－1)＝9的位置关系为(

) A．内切 B．相交

C．外切 D．相离

答案：B 解析：两圆圆心分别为(－2,0)和(2,1)，半径分别为2和3，圆心距d＝4＋1＝17. ∵3－2

2．过两圆x＋y＋4x＋y＝－1，x＋y＋2x＋2y＋1＝0的交点的圆中面积最小的圆的方程为________．

22222222222232624答案：x＋＋y＋＝

555x＋y＋4x＋y＝－1，①解析：由22x＋y＋2x＋2y＋1＝0，②22

1①－②得2x－y＝0，代入①得x＝－或－1，

521∴两圆两个交点为－，－，(－1，－2)．

5521过两交点的圆中，以－，－，(－1，－2)为端点的线段为直径的圆时，面积最小．

5563∴该圆圆心为－，－，

55半径为－1＋12＋－2＋2255252＝5，

32624圆的方程为x＋＋y＋＝. 555

总结：

[方法技巧] 1.圆的弦长的常用求法

(1)几何法：求圆的半径为r，弦心距为d，弦长为l，则＝r－d；

2l222

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(2)代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式：

|AB|＝1＋k|x1－x2|＝2＋k2x1＋x22－4x1x2]. 2．两圆的位置关系与公切线的条数：①内含：0条；②内切：1条；③相交：2条；④外切：3条；⑤外离：4条．

3．当两圆相交时，两圆方程(x，y项系数相同)相减便可得公共弦所在直线的方程．

[易错防范] 1.求过一点的圆的切线方程时，首先要判断此点是否在圆上，然后设出切线方程．注意：斜率不存在的情形．

2．过圆上一点作圆的切线有且只有一条；过圆外一点作圆的切线有且只有两条，若仅求得一条，除了考虑运算过程是否正确外，还要考虑斜率不存在的情况，以防漏解．

高考真题

1．[2016·新课标全国卷Ⅱ]圆x＋y－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1，则a＝(

) 4A．－ 3C.3 3B．－ 4D．2 22222．[2015·新课标全国卷Ⅱ]过三点A(1,3)，B(4,2)，C(1，－7)的圆交y轴于M，N两点，则|MN|＝(

) A．26 C．46 B．8 D．10 223．[2015·重庆卷]已知直线l：x＋ay－1＝0(a∈R)是圆C：x＋y－4x－2y＋1＝0的对称轴．过点A(－4，a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|＝(

) A．2 C．6 B．42 D．210 224．[2016·新课标全国卷Ⅲ]已知直线l：mx＋y＋3m－3＝0与圆x＋y＝12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点．若|AB|＝23，则|CD|＝________. 5．[2015·江苏卷]在平面直角坐标系xOy中，以点(1,0)为圆心且与直线mx－y－2m－1＝0(m∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为__________________．

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