2.1.4 平面与平面之间的位置关系教学设计模板

2.1.2空间两条直线的位置关系

教学目的：

1.会判断两条直线的位置关系，学会用图形语言、符号语言表示三种位置关系. 2.理解公理四,并能运用公理四证明线线平行. 3掌握空间两直线的位置关系，掌握异面直线的概念，会用反证法和异面直线的判定定理证明两直线异面；

4. 掌握异面直线所成角的概念及异面直线垂直的概念，能求出一些较特殊的异面直线所成的角

教学重点：公理4及等角定理的运用异面直线所成的角. 教学难点：公理4及等角定理的运用异面直线所成的角. 教学过程：

一、复习引入： 把一张纸对折几次，为什么它们的折痕平行？

（每个矩形的竖边是互相平行的，再应用平行公理，可得知它们的折痕是互相平行的）

二、讲解新课：

1 空间两直线的位置关系

（1）相交——有且只有一个公共点；

（2）平行——在同一平面内，没有公共点；

（3）异面——不在任何一个平面内，没有公共点；

．．2 平行直线

（1）公理4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行

推理模式：a//b,b//ca//c．

说明：公理4表述的性质叫做空间平行线的传递性；

（2）等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等

分析：在平面内，这个结论我们已经证明成立了．在空间中，这个结论是否成立，还需通过证明．要证明两个角相等，常用的方法有：证明两个三角形全等或相似，则对应角相等；证明两直线平行，则同位角、内错角相等；证明平行四边形，则它的对角相等，等等．根据题意，我们只能证明两个三角形全等或相似，为此需要构造两个三角形，这也是本题证明的关键所在．

已知：BAC和BAC的边AB//AB,AC//AC，并且方向相同，

求证：BACBAC．

证明：在BAC和BAC的两边分别截取ADAD,AEAE，

∵AD//AD,ADAD，

∴ADDA是平行四边形，

∴AA//DD,AADD，同理AA//EE,AAEE，

D∴EE//DD,EEDD，即DEEE′A′EADC′D′B′CB是平行四边形，

∴EDED，∴ADEADE，

所以，BACBAC．

(4)等角定理的推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两条直线所成的锐角(或直角)相等. 指出:等角定理及其推论,说明了空间角通过任意平行移动具有保值性,因而成为异面直线所成角的基础. 3.空间两条异面直线的画法

abD1C1B1CBbabaA1DA

4．异面直线定理：连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线

推理模式：A,B,l,BlAB与l是异面直线

证明

：（反证法）假设

直线AB与l共面，

∵B,l,Bl，∴点B和l确定的平面为，

∴直线AB与l共面于，∴A，与A矛盾，

所以，AB与l是异面直线．

5．异面直线所成的角：已知两条异面直线a,b，经过空间任一点O作直线a//a,b//b，a,b所成的角的大小与点O的选择无关，把a,b所成的锐角（或直角）叫异面ab′bO

直线a,b所成的角（或夹角）．为了简便，点O通常取在异面直线的一条上

异面直线所成的角的范围：(0,]

26．异面直线垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直．两条异面直线a,b

垂直，记作ab．

7．求异面直线所成的角的方法：

（1）通过平移，在一条直线上找一点，过该点做另一直线的平行线；

（2）找出与一条直线平行且与另一条相交的直线，那么这两条相交直线所成的角即为所求

三、讲解范例：

例1 已知四边形ABCD是空间四边形，E、H分别是AAB、AD的中点，F、G分别是边CB、CD上的点，且ECFCG2H，求证：四边形EFGH是梯形

CBCD3D分析：梯形就是一组对边平行且不相等的四边形考BG虑哪组对边会平行呢？为什么？（平行公理）证明F对边不相等可以利用平行线分线段成比例

证明：如图，连接BD C1∵EH是△ABD的中位线，∴EH//BD,EH=BD. 2CFCG22，∴FG//BD,FG=BD. 又在△BCD中，CBCD33根据公理4，EH//FG 又FG＞EH,∴四边形EFGH的一组对边平行但不相等

例2 如图，A是平面BCD外的一点G,H分别是ABC,ACD的重心，

求证：GH//BD．

证明：连结AG,AH分别交BC,CD于M,N，连结MN，

∵G,H分别是ABC,ACD的重心，

∴M,N分别是BC,CD的中点，

AGAH2，

AMAN3∴GH//MN，由公理4知GH//BD．

AGBMHDNC∴MN//BD，又∵

例3

如图，已知不共面的直线a,b,c相交于O点，M,P是直线a上的两点，N,Q分别是b,c上的一点

a求证：MN和PQ是异面直线

证（法一）：假设MN和PQ不是异面直线，

则MN与PQ在同一平面内，设为，

OMPQcNb∵M,Pa,M,P，∴a，又oa，∴o，

∵N,Ob,Nb，

∴b，

同理c，∴a,b,c共面于，与已知a,b,c不共面相矛盾，

所以，MN和PQ是异面直线

（法二）：∵acO，∴直线a,c确定一平面设为，

∵Pa,Qc，∴P,Q，∴PQ且M,MPQ，

又a,b,c不共面，Nb，∴N，所以，MN与PQ为异面直线

例4 正方体ABCDABCD中．那些棱所在的直线与直线BA是异面直线？求BA与CC夹角的度数．那些棱所在的直线与直线AA垂直？

解：（1）由异面直线的判定方法可知，与直线BA成异面直线的有直线BC,AD,CC,DD,DC,DC，

D′A′DABC′B′C（2）由BB//CC，可知BBA等于异面直线BA与CC的夹角，所以异面直线BA与CC的夹角为45．

（3）直线AB,BC,CD,DA,AB,BC,CD,DA与直线AA都垂直

例5 两条异面直线

的公垂线指的是

(

) (A)和两条异面直线都垂直的直线

(B)和两条异面直线都垂直相交的直线

(C)和两条异面直线都垂直相交且夹在两交点之间的线段

(D)和两条异面直线都垂直的所有直线

答案：B 例6 在棱长为a的正方体中，与AD成异面直线且距离等于a的棱共有 ( ) (A)2条 (B)3条 (C)4条 (D)5条

答案：BB1, CC1, A1B1, C1D1共四条故选C. 例7若a、b是两条异面直线，则下列命题中，正确的是

(

)

(A)与a、b都垂直的直线只有一条

(B)a与b的公垂线只有一条

(C)a与b的公垂线有无数条

(D)a与b的公垂线的长就是a、b两异面直线的距离

D1C1答案：B A1B1例8已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，则棱A1B1所在直线与面对角线BC1所在直线间的距离是

(

)

D

C

AB（A）a2a

（B）a

（C）2a

（D）

22答案：A

四、课堂练习： 1

判断

（1）平行于同一直线的两条直线平行 . （ ）

（2）垂直于同一直线的两条直线平行. （ ）

（3）过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 . （ ）

（4）与已知直线平行且距离等于定长的直线只有两条. （ ）

（5）若一个角的两边分别与另一个角的两边平行，那么这两个角相等（ ）

（6）若两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的

锐角（或直角）相等. （ ）

答案：（1）√（2）×（3）√（4）×（5）×（6）√（7）√

2．选择题

（1）“a，b是异面直线”是指

①

a∩b=Φ且a不平行于b；②

a



平面，b



平面且a∩b=Φ

③

a



平面，b



平面

④

不存在平面，能使a



且b



成立

上述结论中，正确的是

（ ）

（A）①②

（B）①③

（C）①④

（D）③④

（2）长方体的一条对角线与长方体的棱所组成的异面直线有

（ ）

（A）2对

（B）3对

（C）6对

（D）12对

（3）两条直线a,b分别和异面直线c,d都相交，则直线a，b的位置关系是（ ）

（A）一定是异面直线

（B）一定是相交直线

（C）可能是平行直线

（D）可能是异面直线，也可能是相交直线

（4）一条直线和两条异面直线中的一条平行,则它和另一条的位置关系是( )

（A）平行

（B）相交

（C）异面

（D）相交或异面

答案：（1）C（2）C（3）A（4）D 3．两条直线互相垂直，它们一定相交吗？ 答：不一定，还可能异面．

4.垂直于同一直线的两条直线，有几种位置关系？

答：三种：相交，平行，异面．

5．画两个相交平面，在这两个平面内各画一条直线使它们成为（1）平行直线；（2）相交直线；（3）异面直线．

解：

6．选择题

（1）分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是

（

）

（A）异面

（B）平行

（C）相交

（D）以上都有可能 （2）异面直线a,b满足a,b,∩=l，则l与a,b的位置关系一定是（

）

（A）l至多与a，b中的一条相交（B）l至少与a，b中的一条相交

（C）l与a，b都相交 （D）l至少与a，b中的一条平行

（3）两异面直线所成的角的范围是

（）

（A）（0°,90°）（B）[0°,90°) （C）（0°,90°] （D）[0°,90°] 答案（1）D（2）B（3）：C

7．判断下列命题的真假，真的打“√”，假的打“×”

（1）两条直线和第三条直线成等角，则这两条直线平行 （ ）

（2）和两条异面直线都垂直的直线是这两条异面直线的公垂线 （ ）

（3）平行移动两条异面直线中的任一条，它们所成的角不变 （ ）

（4）四边相等且四个角也相等的四边形是正方形 （ ）

答案：×，×，√，×

五、小结

：这节课我们学习了两条直线的位置关系（平行、相交、异面），平行公理和等角定理及其推论．异面直线的概念、判断及异面直线夹角的概念；

证明两直线异面的一般方法是“反证法”或“判定定理”；求异面直线的夹角的一般步骤是：“作—证—算—答”