习题2.3优质课教案设计

2.3

习题课

教学目标

知识与技能目标: ①进一步巩固和掌握面面垂直的定义、判定,使学生理解和掌握面面垂直的性质定理. ②能运用性质定理证明一些空间位置关系的简单命题, 应用定理解决相关问题.进一步培养学生空间观念. 过程与方法目标: ①了解直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互联系,掌握等价转化思想在解决问题中的运用. ②通过“直观感知、操作确认,推理证明”, 培养学生逻辑推理能力. ③发展学生的合情推理能力和空间想象力

,培养学生的质疑思辨、创新的精神. 情感、态度与价值观目标: ①学生的合情推理能力和空间想象力

,培养学生的质疑思辨、创新精神. ②让学生亲身经历数学研究的过程,体验探索的乐趣,增强学习数学的兴趣. 教学重点、难点：

重点：理解掌握面面垂直的性质定理和推导. 难点：运用性质定理解决实际问题. 教学过程

一、复习回顾

2、面面垂直的判定:一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直. 1、面面垂直的定义:两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直.

二、引入新课

思考1.(情境导入)

教室的黑板所在的平面与地面是什么关系？能否在黑板上画一条直线与地面垂直？

思考2.(事例导入)

如图1,,平面,,由可以得到b,是否可以得到b？

图1

【设计意图】通过简单小实验,在复习面面垂直判定定理的同时,让学生感受到数学知识在生活中的实例.通过简单的实物操作,为新知识找到生长点,让学生直观感知到：垂直于交线即垂直于另一平面,从而在引入新课题的同时让学生经历数学发现的过程. 三、探究新知

如图2,设,

l,.观察两垂直平面中,一个平面内的直线与另一个平面的有哪些位置关系? 

1

b

l



图2 当平面内直线b满足什么条件时,b? 【设计意图】通过简单的实物操作,为新知识找到生长点,让学生直观感知到:垂直于交线即垂直于另一平面,从而在引入新课题的同时让学生经历数学发现的过程. （1）创设情境:将面面垂直的判定定理的条件和结论互换,得到的新命题是否还成立. 结合黑板面与地面垂直,你能在黑板面内找到一条直线与地面平行、相交或垂直吗这样的直线分别有什么性质？试说明理由！

（2）探索新知: 由前面小实验,让学生体会由特殊到一般的数学思想,并总结出直观结论: 面面垂直的性质定理: 两平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直. ,lbb符号语言表述

bl

注:1学习自然语言转化为数学语言:符号化.

2、揭示定理的内涵:在面内作交线的垂线,体现“平

面化”的数学思想. 我们知道,面面垂直也可通过线面垂直来证明,这种互相转换的证明方法是常用的数学思想方法. 练习:1.下列命题中错误的是：

（A）如果平面α ⊥平面β

，那么平面α内所有直线都垂直于平面β

（B）如果平面α ⊥平面β

，那么平面α内一定存在直线平行于平面β

（C）如果平面α 不垂直于平面β

，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β

（D）如果平面α ⊥平面γ

，平面β

⊥平面γ

，αՈβ=l，那么l ⊥γ

【设计意图】以小练习的方式,加深学生对性质定理中条件的认识,进一步强调学习中必须注意

细节,培养学生养成细致观察的良好学习习惯. 练习:2.已知两个平面垂直，下列命题：

（1）一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线

（2）一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线

2

（3）一个平面内的任一直线必垂直于另一个平面

（4）过一个平面内的任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面

其中正确命题的个数是（ ）

A.3 B.2 C.1 D.0 【设计意图】猜想的结论需要严格的数学证明,教会学生怎样分析条件和结论,找出关键点,解决问题.这是面面垂直的另一个性质,它的作用是判定直线在平面内. 用语言叙述就是：如果两个平面垂直,那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线,在第一个平面内.

四、运用新知

例1.

如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC．

求证：BC⊥AB

证明

如图，在平面PAB内，

作AD⊥PB于D ．

∵平面PAB⊥平面PBC，

平面PAB∩平面PBC＝PB．AD⊥PB ∴AD⊥平面PBC．

又BC⊂平面PBC，∴AD⊥BC．

又∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，

∴PA⊥BC，

又∵PA∩AD＝A，∴BC⊥平面PAB．

又AB⊂平面PAB，∴BC⊥AB．

【设计意图】由实际问题提炼出的数学知识,需要经过严格的证明才能成为规律,通过证明培养学生严密的数学思维与知识应用能力. 例2. 如图，立体图形P-ABCD的侧面PAD是正三角形且垂直于底面，

底面ABCD是矩形，E是PD的中点.

（1）求证：平面ACE⊥平面PCD；

（2）若PB⊥AC,求PB与底面AC所成的角.

五、课堂小结

1、平面与平面垂直的性质定理：两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直. 2、证明线面垂直的两种方法：

线线垂直→线面垂直；面面垂直→线面垂直

3、线线、线面、面面之间的关系的转化是解决空间图形问题的重要思想方法.

3

【设计意图】系统化总结空间垂直关系,也使学生对知识形成良好的知识网络.加深认识“线面位置关系同面面位置关系相互转化”是解决空间图形问题重要的思想方法. 六、布置作业

必做题：

课本复习参考题

选做题：

如图，在长方形

ABCD

中，AB＝2，BC＝1，E、F

分别CD

、AE

的中点，现在沿

AE将三角形

ADE

向上折起，

(1)在线段

AB

上是否存在一点

K，使

BC∥平面

DFK？若存在，请证明你的结论；若不存在，请说明理由；

(2)若面

ADE⊥面

ABCE，求证：面

BDE⊥面

ADE.

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