复习参考题优秀公开课教案

空间向量与立体几何复习课——用向量法求空间角

教学目标：

1、进一步掌握用求异面直线所成角、线面角以及二面角的向量方法；

2、能运用向量方法解决一些简单的立体几何问题；

3、进一步提高学生分析与推理能力和空间想象能力. 教学重点：用两个特殊向量求解三类空间角的方法与步骤

教学难点：空间角的大小与两特殊空间向量夹角的大小的关系

教学过程：

一、知识梳理

前面我们已经学习了立体几何问题的一些求解方法和空间向量的计算与应用，这节课我们将一起来复习利用空间向量求解空间角的方法。

这里我们主要会用到两个重要的空间向量，分别是直线的方向向量和平面的法向量。

空间一直线上任取两个点A、B，用有向线段AB所表示的向量即为该直线的方向向量，显然一条直线的方向向量可以有无数个。

垂直于平面的直线的方向向量称为该平面的法向量，一个平面的法向量也有无数个，且任意两个都是共线的。

我们再来回顾一下求法向量的具体步骤：

（1）设出平面的法向量为n(x,y,z)；

（2）找出（求出）平面内两个不共线的向量的坐标a(a1,b1,c1)，b(a2,b2,c2)；

na0（3）根据法向量的定义建立关于x,y,z的方程组；

nb0（4）解方程组，取其中的一个解，即得法向量。

对于直线的方向向量和平面的法向量，我们主要是用来解决三个空间角的求解问题，即异面直线所成的角，直线与平面所成的角和平面与平面所成的角。

其中，异面直线所成角的范围是(0,]，两直线方向向量所成角与异面直线2所成角的关系是什么？相等或者互补。所以，a,b或a,b，coscosa,b。

直线与平面所成角的范围是[0,]，直线方向向量和平面法向量所成角与所2求的线面角的关系是什么？a,b或a,b，22sincosa,b。

平面与平面所成角的范围是[0,]，两平面的法向量所成角与二面角的关系是什么？相等或者互补。所以，a,b或a,b，coscosn1,n2或coscosn1,n2，具体根据题目实际情况而定。

二、典例剖析

例1、长方体ABCD­-A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝1，E为CC1的中点，求异面直线BC1与AE所成角的余弦值. 例2、如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB＝2，∠BAD＝60°

(1)求证：BD⊥平面PAC；

(2)若PA＝AB，求PB与AC所成角的余弦值．

思考：应该如何建系？以AC与BD的交点为原点，分别以BD、AC、AP方向为X轴、y轴、Z轴方向建立空间直角坐标系。

小结：向量法求异面直线所成角的余弦值的一般步骤：1、建系；2、求两异面直线的方向向量；3、求两方向向量的夹角的余弦值；4、得两异面直线所成角的余弦值。

例3、如图，在三棱锥P­ABC中，△ABC是等边三角形，D是AC的中点，PA＝PC，二面角P­AC­B的大小为60°. (1)求证：平面PBD⊥平面PAC；

(2)求AB与平面PAC所成角的正弦值．

思考：应该如何建系？以D为原点，分别以BD、AC、垂直于BD的方向为X轴、y轴、Z轴方向建立空间直角坐标系。

小结：向量法求直线与平面所成角的正弦值的一般步骤：1、建系；2、求直线的方向向量及平面的法向量；3、求直线的方向向量与平面的法向量的夹角的余弦值；4、得直线与平面所成角的正弦值。

例4、如图，四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为平行四边形，PA⊥底面ABCD，M是棱PD的中点，且PA＝AB＝AC＝2，BC＝22. (1)求证：CD⊥平面PAC；

(2)求二面角M­AB­C的大小.

小结：向量法求平面与平面所成角的余弦值的一般步骤：1、建系；2、求两平面的法向量；3、求两法向量的夹角的余弦值；4、根据题设条件得二面角的余弦值。

三、课堂小结

1、用空间向量求空间角公式归纳

（1）异面直线所成角公式：cosABCDABCDPMnPMnn1n2n1n2；

（2）直线与平面所成角公式：sin；

（3）平面与平面所成角公式：cos。

2、运用空间向量法(坐标法)求空间角步骤：

（1）建系（强调两两互相垂直）；

（2）求坐标（求点和向量坐标）；

（3）求法向量；

（4）用公式求解。

四、布置作业

复习题A组

五、教学反思

本节课选题背景是必修2学过立体几何而又在选修2-1中学习了空间向量在立体几何中的应用。对比传统方法与向量法，学生更加容易接受后者。鉴于此种情况，本人特意针对向量法解决空间角这一高考热点展开，具体规范学生的解题步骤，完善学生使用向量法解决立体几何问题的知识体系。

整节课，本着以“学生为主，教师为辅”的这一原则，利用学生的求知欲和好胜心强的这一特点，采取竞赛方式通过具体例题来归纳，分析概括求解不同空间角的方法之间的异同。最终让学生在知识上有所掌握，在能力和意识上有所收获。

那么这节课我最满意的有以下几个地方：（1）学生的参与。

这节课的主讲不是我，而是学生。我要做的是设置问题和激发兴趣。至于整个分析过程和解决过程都是由师生合作来完成的。总的来说，学生能够积极参与，注意力集中，兴趣浓厚，求知欲强，参与面大，课堂气氛活跃，能够进行有效的合作与平等的交流。（2）学生的置疑。在授课过程中，学生能直截了当的指出课件上的错误，这说明了学生的注意力高度集中，善于观察。

我不满意的地方有以下几点：（1）题量的安排。例题虽然代表不同的类型，但可以适当增加一些变式训练或者同堂测试。（2）

课件的制作。对于向量符号的规范性和课件的整体美观程度有待提高。（3）课堂总结时间短。