1.2.1 中心投影与平行投影教学设计模板

《§1.5.1曲边梯形的面积》

教学设计

李慧梅

一．教学内容解析

本节课选自人教A版选修2-2第一章第五节定积分概念的第一课时，是定积分概念的引例和重要铺垫．教材借助于如何求“曲边梯形的面积”这一直观具体的实例来引入定积分的学习，从而为定积分概念构建认知基础，让学生初步感受定积分的定义，了解定积分的实际背景，为理解其概念及几何意义奠定基础．

本节课教学的核心目标是：让学生经历曲边梯形面积的探索过程，体验其中的分析及解决问题全程，特别是从中领会“化未知为已知”，“以直代曲”和“无限逼近”的数学思想方法，为后面学习定积分的概念及几何意义奠定基础．

二．学生学情分析

在前面的课程中，学生已经学习了导数的基础知识，并且用导数解决了一些实际问题，比如：已知位移求速度，曲线的切线问题，函数的最大值或最小值问题及生活中的优化问题等，渗透了微分思想．特别是导数概念的建立过程：首先明确瞬时速度的含义，然后将瞬时速度一般化，给出导数定义．这个过程蕴含了无限逼近的思想和用已知探究未知的思考方法．这些内容都为本节课的学习奠定了基础．

学生在必修3的阅读与思考内容中对刘徽的“割圆术”求圆面积的方法已经有所了解，因此在教学中，再次引入刘徽的“割圆术”，通过类比圆面积的求法得到解决曲边梯形面积的思想方法，符合学生的认知规律．教学重点是：了解定积分的基本思想方法——“以直代曲”、“无限逼近”的思想，初步掌握求曲边梯形面积的“四步曲”——“分割、近似代替、求和、取极限”．

在学生已有的认知基础上，引导学生用学过的直边图形的面积近似代替曲边梯形的面积是学生通过自己动手操作，小组讨论可以做到的．但是，如何由曲边梯形面积的近似值得到精确值，使学生理解“无限逼近”的思想，对于没有极限运算基础的学生来说是比较困难的．

结合教材和学生实际，确定本节课的教学难点是：“以直代曲”、无限逼近”思想的形成过程及理解．对本节内容中比较抽象的几个问题，借助多媒体课件进行演示，使学生“看”到数学的本质激发学生的学习兴趣，加深其对“以直代曲、“无限逼近”

思想方法的理解，增强学生对极限思想的直观感知，因此教学中用动画演示了矩形面积逼近曲边梯形面积的过程，增强学生对极限思想的直观感知，从而突破教学难点．

三．核心素养目标

1.通过对曲边梯形面积的探求，了解定积分的实际背景，初步掌握求曲边梯形面积的方法步骤：“分割、近似代替、求和、取极限”．

2.经历探求曲边梯形的面积的过程，体会“以直代曲”和“无限逼近”的思想方法．通过类比体会从具体到抽象、从特殊到一般的数学思想方法．

3.通过探索求曲边梯形面积的过程，体会“以直代曲”，“无限逼近”的思想，感受量变到质变的变化过程，理解用极限的思想方法思考与处理问题．

四．教学重难点

教学重点：探究求曲边梯形的面积的方法．

教学难点：把“以直代曲”的思想方法转化为具体可操作的步骤，理解“无限逼近的思想方法．

1

五．教学过程

（一）创设情境，引出课题．

问题1：下面这些图形的面积你会求吗？

问题2：下面这个图形的面积你会求吗？

问题3．你还会求哪些平面图形的面积？

问题4．问题1，2中的图形与问题3中在图形有什么区别？

设计意图：1.引导学生认识到平面图形分为“直边图形”和“曲边图形”．

2.将不规则的图形“分割”得到熟悉的图形，从而求出它的面积。让学生体会分割转化的思想．

问题5．圆的面积是怎样求得的？

设计意图：介绍我国古代数学家刘徽的“割圆术”求圆面积的方法，增强学生的民族自豪感．借助flash动画演示，让学生直观地看到正多边形逼近圆的过程．体会最早的

“以直代曲”，“无限逼近”的思想方法。割圆术的动态演示能够激起学生的学习兴趣和求知欲望．

观察：

这个平面图形与前面说到的直边图形有何区别？

y

x

o

曲边梯形的定义：

阴影部分类似于一个梯形，但有一边是曲线yf(x)的一段，我们把由直线xa,xb(ab),y0和曲线yf(x)所围成的图形称为曲边梯形．

怎样去求这个曲边梯形的面积？先看一个特殊的曲边梯形的面积问题．

（二）初步探究，合作学习．

探究：如何求由抛物线yx与直线x1,y0所围成的平面图形的面积S？

问题6．由刘徽“割圆术”中以直代曲思想的启示，用正多边形逼近圆去求圆的面积．那能否将求这个曲边梯形面积的问题转化为求直边图形面积的问题呢？

设计意图：启发学生通过类比想到用学过的直边图形的面积近似代替曲边梯形的面积。

问题7．能否直接对整个曲边梯形进行“以直代曲”？

设计意图：引导学生思考讨论，得出结论：直接对整个曲边梯形进行“以直代曲”误差太大，2

2

为了减少近似代替的误差，需要先分割，再“以直代曲”．

问题8．我们可以用哪些学过的直边图形的面积近似代替曲边梯形的面积？如何分割？

设计意图：引导学生把未知问题转化为已知问题，体会“以直代曲”的思想，使学生联想到用梯形面积，矩形面积近似代替曲边梯形面积，培养学生发散思维．

设计意图：通过幻灯片展示，让学生较直观地感受到不论哪种方案，随着分割逐渐加细，误差都会逐渐减少，面积也都无限逼近要求的曲边梯形的面积．有助于学生更好地体会“以直代曲”、“无限逼近”的思想方法．

问题9．设想用无限逼近的思想方法求上面图形的面积，在该曲边梯形内作若干个小矩形，具体如何操作？

问题10．上述小矩形从左到右它们的高分别为多少？宽为多少？

问题11．这些小矩形的面积之和是多少？

问题12．怎样使Sn更接近于真实值？

设计意图：通过问题启发学生去思考n对结果有什么影响？由于学生没有极限运算的基础，所以最后一步取极限的时候学生会感到比较困难，不理解这种有限到无限，近似到精确，量变到质变的变化过程，因此教学中用四幅图来演示矩形面积逼近曲边梯形面积的过程，增强学生对极限思想的直观感知，突破教学难点．

第一步：分割

在区间0,1上等间隔地插入n1个点，将它等分成n个小区间：

112n1...，，，0,,,1，

nnnn记第i个区间为i1i,i1,2,,n，其长度为

nnii11

nnn分别过上述n1个分点作x轴的垂线，把曲边梯形分成n个小曲边梯形，它们的面积记作：

xS1,S2,,Sn.

显然，SS

ii1n第二步：近似代替

记f(x)x，如图⑴，当n很大，即x很小时，

在区间2i1i,上，可以认为函数f(x)x2

nni1i1)，

⑴

处的函数值f(nn的值变化很小，近似地等于一个常数，不妨认

为它近似地等于左端点

3

从图形上看（图⑵），就是用平行于x轴的直线段近似地

代替小曲边梯形的曲边，这样，在区间i1i,上，

nn用小矩形的面积Si'近似地代替Si，即在局部小范

围内“以直代曲”，则有

图⑵

SiSi'f(第三步：求和

i1i12i121)x()x()(i1,2,n).

①

nnnn由①，图

⑵

中阴影部分的面积Sn为

ni1i121SnSf()x()nnni1i1i1111n1210()2()nnnnn1

3[1222(n1)2]n1(n1)n(2n1)3n6111(1)(1)3n2n'inn从而得到S的近似值

111SSn(1)(1)

3n2n第四步：取极限

分别将区间0,1等分成8，16，20，…

等份，可以看到，当n趋向于无穷大，即x趋向于0时，SSn111(1)(1)趋向于S，从而有

3n2n1i1f()nnni1n

1111lim(1)(1)n3n2n3SlimSnlimn

4

（三）形成方法，学以致用

1.类比练习：以区间右端点对应的函数值为矩形的高进行近似代替，求曲边梯形的面积S，看看这个值还是吗？

设计意图：培养学生自觉运用新知与方法的能力．结合两种计算结果，从代数角度进一步诠释“无限逼近”思想，体现数形结合的数学方法．

2.计算：

由直线

x0，x2，y0与曲线yx2所围成的曲边梯形的面积．

设计意图：进一步巩固求曲边梯形面积的方法和步骤．

（四）归纳小结，深化认知

1.经历了探求特殊的曲边梯形面积的过程，我们该如何计算一般的曲边梯形的面积？

2.解决问题的过程中，用到了哪些数学思想？

3.通过本节课的学习，你有什么收获？

（五）课后作业

⑴由直线

x0，x2，y0与曲线y-x2所围成的曲边梯形的面积．

⑵由直线

x0，x2，y0与曲线y-x2+1所围成的曲边梯形的面积．

设计意图：在课后进一步巩固本节课的知识与方法，达到掌握并深化提高．

板书设计：

曲边梯形的面积

1.

曲边梯形的定义

2.

思想方法：“以直代曲”，“无限逼近”

3.

求曲边梯形面积的步骤：

第一步：分割

第二步：近似代替

第三步：求和

第四步：取极限

4.

练习

5.

归纳总结

6.

作业布置

5