小结教学设计模板

课程名称：《空间几何体的小结》

（人教A版）

必修二

黑龙江省泰来县第一中学

李爽

空间几何体的小结

黑龙江省泰来县第一中学

李爽

一、教学目标

知识与技能目标

通过总结和归纳空间几何体的知识，能够使学生熟练掌握柱体、锥体、台体的表面积和体积的计算方法，并能够使学生综合运用知识解决有关问题. 过程与方法

培养学生分析、探究和思考问题的能力，激发学生学习数学的兴趣. 情感与价值观

使学生学会分类讨论的思想，提高学生抽象思维能力. 重点：掌握空间几何体的计算方法，能计算简单组合体的表面积和体积，以便从量的角度认识空间几何体. 难点：用联系、类比、运动变化的思想研究立体几何问题. 教学用具：多媒体投影仪

二、教学设计

（一）知识小结

（二）知识链接

1、空间几何体的三视图与直观图

三视图是立体几何中的基本内容，能根据三视图识别其所表示的立体模型，并能根据三视图与直观图所提供的数据解决问题．解决这类问题时要注意三视图和直观图中的度量分别是立体几何中的哪些度量，有怎样的对应关系，切不可混淆．

例1

若一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为(

)

119A.2

B．5

C.2

D．4

【解析】

由三视图可以判断该几何体为六棱柱，直观图如图所示．

AB＝1，AA1＝1.

VABCDEF－A1＝4. BCDEF＝4×111111总结归纳：对三视图的考查，有可能由三视图去画空间几何体，因此观察三视图，想象几何体是至关重要的，这类题目只要把握三视图和几何体之间的关系是不难解决的．

练习一：如图所示，四边形OABC是上底为2，下底为6，底角为45°的等腰梯形，由斜二测画法，画出这个梯形的直观图O′A′B′C′且在直观图中梯形的高为(

)

321A.2

B．1

C.2

D.2

【解析】

按斜二测画法，得梯形的直观图O′A′B′C′，如图所示，原图形中梯形的高CD＝2，在直观图中C′D′＝1，且∠C′D′E′2＝45°，作C′E′垂直于x′轴于E′，则C′E′＝C′D′·sin45°＝2.

总结归纳：求直观图面积的关键是依据斜二测画法，求出相应的直观图的底边和高，也就是在原来实际图形中的高线，在直观图中变为与水平直线成45°角且长度为原来的一半的线段，以此为依据来求出相应的高线即可．

2、几何体的表面积与体积公式的应用

空间几何体的表面积与体积计算公式在实际生活中有着广泛的应用，但只记住公式是远远不够的，我们还应把握图形的内在因素，灵活选择合理的方法加以求解．只有这样才能把所学到的知识灵活运用到现实生活中，才能有效地解决一些问题，达到事半功倍的效果．

例2．一块石材表示的几何体的三视图如图所示．将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于(

)

A．1

B．2

C．3

D．4

【解析】该几何体为直三棱柱，底面是边长分别为6,8,10的直角三角形，侧棱长为12，故能得12×6×82×到的最大球的半径等于底面直角三角形内切圆的半径，其半径为r＝＝2，故选B. 6＋8＋10总结归纳：求几何体的表面积与体积一直是高考中的常考内容．在新课标中难度不大，在小题中多与三视图相结合来考查．明确度量、熟练运算是解题的关键．

练习二、在轴截面是直角三角形的圆锥内有一个内接圆柱，若圆柱的表面积等于圆锥的侧面积，求圆柱的体积与圆锥的体积的比值．

【解析】

画出此组合体的轴截面，如图所示．

设圆锥的底面半径为R，内接圆柱的底面半径为r，则OB＝R，OD＝r，

由题设知∠APB＝90°，则圆锥的高PO＝R，PO1＝r，

∴圆柱的高OO1＝OP－O1P＝R－r，

∴S圆锥侧＝πR·PA＝2πR2，S圆柱表＝2πr·(R－r)＋2πr2＝2πrR.

由题意可得2πR2＝2πrR，即R＝2r. V柱πr2－∴＝1V锥2πR·R3πr2＝132r－233＝4(2－2)．

3故圆柱的体积与圆锥的体积的比值为4(2－2)．

归纳总结：对于由旋转体组成的组合体问题，一般都作出组合体的轴截面，把有关旋转体的各元素都集中到轴截面里，这样可以化“空间”问题为“平面”问题，然后利用平面几何的有关概念、性质，借助有关公式解决问题．

3、综合应用

熟悉各种空间几何体的结构特征，注意空间图形中的度量关系，运用空间想象能力和逻辑思维能力正确地转化，借助“割补法”、“等体积法”进行解答．

例3、在正方体ABCD-A1B1C1D1中棱长为1，E、F分别为线段AA1，B1C上的点，则三棱锥D1—EDF的体积为

. 答案：

练习三．三棱锥P－ABC中，D，E分别为PB，PC的中点，记三棱锥D－ABE的体积为V1，PV1－ABC的体积为V2，则V＝________. 2

1【解析】如图，设点C到平面PAB的距离为h，三角形PAB的面积为S，则V2＝3Sh，V1＝VE1111V11＝×S×h＝Sh，所以－ADB32212V＝4. 2

（三）知识小结

1、空间几何体的三视图与直观图

2、几何体的表面积与体积公式的应用

3、“割补法”、“等体积法”

（四）布置作业

教材复习参考题