复习参考题教学评价实录

利川五中高三数学教案

立体几何中添加辅助线的策略

主备人：梁中位

教学目标：

立体几何这部分内容比较抽象，空间思维要求较高，对很对同学来说，该部分内容难度较大，为了能使学生既快又准的完成该类题目的作答，因此引导学生作好相关题目的辅助线是很有必要的。特别是掌握常见题型的一些作辅助线的技巧。

教学重难点：

掌握一些常见立体几何中辅助线的作法。了解相关几何体中的“名”线及其解题方法。

教学参考：

教材、教参、考纲及第二轮复习参考资料

授课方法：

自学引导，讲练结合

教学辅助手段：

多媒体

教学过程：

立体几何中添加辅助线的主要策略：一是把定义或者定理中缺少的线、面、体补完整；二是要把已知量和未知量统一在一个图形中，如统一在一个三角形中，这样可以用解三角形的方法求得一些未知量，再如也可以统一在平行四边形或其他几何体中。

一、添加垂线策略。

因为立体几何的许多定义或定理是与垂线有关的，如线面角、二面角的定义，点到平面、线到平面、平面到平面距离的定义，三垂线定理，线面垂直、面面垂直的判定及性质定理，正棱柱、正棱锥的性质，球的性质等，所以运用这些定义或定理，就需要把没有的垂线补上。尤其要注意平面的垂线，因为有了平面的垂线，才能建立空间直角坐标系，才能使用三垂线定理或其逆定理。

例1.

在三棱锥OABC中，三条棱OA、OB、OC两两互相垂直，且OA=OB=OC，M是AB边的中点，则OM与平面ABC所成的角的余弦值大小是________

图1

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能力提升：

1、已知在三棱锥P-ABC中，若PA=PB=PC,则点P在面ABC内的射影是△ABC的

2、已知在三棱锥P-ABC中，若PA、PB、PC两两垂直，,则点P在面ABC内的射影是△ABC的

3、已知在三棱锥P-ABC中，若PA、PB、PC与底面ABC所成的角相等，,则点P在面ABC内的射影是△ABC的

4、已知在三棱锥P-ABC中，若三个侧面的斜高相等,则点P在面ABC内的射影是△ABC的

5、已知在三棱锥P-ABC中，若三个侧面与底面所成的二面角相等,则点P在面ABC内的射影是△ABC的

6、已知在三棱锥P-ABC中，若他们的对棱垂直（即PA⊥BC、PB⊥AC）,则点P在面ABC内的射影是△ABC的

二、添加平行线策略。

其目的是把不在一起的线，集中在一个图形中，构造出三角形、平行四边形、矩形、菱形，这样就可以通过解三角形等，求得要求的量，或者利用三角形、梯形的中位线来作出所需要的平行线。

例2.

如图2，在正方体ABCDA1B1C1D1中，B1E1D1F弦值是（

）

A. A1B1，则BE1与DF所成角的余415

17

B. 1

2

C. 8

17

D. 3

2

图2

三、向中心对称图形对称中心添加连线策略。这主要是因为对称中心是整个图形的“交通”枢纽，它可以与周围的点、线、面关联起来，常见的有对平行四边形连对角线，对圆的问题向圆心连线，对球体问题向球心连线。

例3.

如图3，O是半径为1的球的球心，点A、B、C在球面上，OA、OB、OC两两垂直，E、F分别是大圆弧AB与AC的中点，则点E、F在该球面上的球面距离是（

）

A. 

4

B. 

3

C. 

2

D. 2

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图3

四、名线策略。即添加常用的、重要的线，如中位线、高、角平分线、面对角线和体对角线等。尽管这些线上面也有提到，但还是要在这里强化一下，这些线有着广泛的联系。尤其是添加三角形中位线或者梯形中位线，这主要是因为中位线占据了两个边的中点，并且中位线平行于底边，且是底边长的一半，它可以把底边与其他线面的角度关系平移，使已知和未知集中在一个三角形中。

例4.

如图4，正三棱柱ABCA1B1C1的各棱长都为2，E、F分别是AB、A1C1的中点，则EF的长是（

）。

图4 A. 2

解：

五、割补策略。分割成常见规则图形，或者补形成典型几何体。

例5.

一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（

）

A. 3

解析：

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B. 3

C. 5

D. 7

B. 4

C. 33

D. 6

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图5

能力提升：对于棱长为a的正四面体中有如下结论：

1、

可以将它补形成一个边长为2a的正方体。

22、

对棱间的距离为26a

3、正四面体的高为a

2323a

5、正四面体的中心到底面与顶点的距离之比为1：3 1266a，内切球的半径为a

4124、

正四面体的体积为6、

正四面体的外接球半径为

课堂小结：

1、几种常见作辅助线的方法:添加垂线、添加平行线、添加名线、割补策略

2、掌握立体几何证明中的常用定理及结论。

3、会计算立体几何中的有关体积，表面积及点到面的距离问题。

课外作业：

1、如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1⊥底面ABC，且△ABC

为正三角形，AA1AB6，D为AC的中点．

(1)求证:直线AB1∥平面BC1D；

(2)求三棱锥B1BC1D的体积．

C1A1B1CADB

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2、如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE⊥平面ABCD. （Ⅰ）证明：平面AEC⊥平面BED；

（Ⅱ）若∠ABC=120°，AE⊥EC，三棱锥E—ACD的体积为6，求该三棱锥的侧面积

3

(2015年湖北高考文科数学试题) 3、如图，，四边形ABCD为菱形，∠ABC=120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE=2DF，AE⊥EC。

（1）证明：平面AEC⊥平面AFC （2）求直线AE与直线CF所成角的余弦值

(2015年湖北高考理科数学试题) 口诀：“有了中点配中点，两点相连中位线；等腰三角形出现，顶底中点相连线；有了垂面作垂线，水到渠成理当然。”

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