3.1直线的倾斜角与斜率（通用）教学设计

3.1.1倾斜角与斜率

高二数学备课组 肖龙 2018.5.29 一、教学目标

1.知识与技能：理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计公式；通过直线倾斜角概念的学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示，培养学生观察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力. 2.过程与方法：经历用代数方法刻画直线斜率的过程. 3.情感态度与价值观：通过斜率概念的建立和斜率公示的推导，初步体会“数形结合”思想；培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神. 二、教学重难点

重点：1、初步培养学生的数形结合的思想；2、直线的倾斜角和斜率的概念；

3、过两点的直线的斜率公式；

难点：过两点的直线的斜率公式的导出。

三、教学过程

1.直线的倾斜角

导入：在直角坐标系中，两点可以确定一条直线；过平面内一点，可以做无数条直线。

y

l

o

x

问题：（1）在平面直角坐标系中经过一点P的直线l的位置能确定么？

（2）这些直线有什么不同？

显然不能，因为这些直线的区别在于直线的倾斜程度不一样。为了表示直线的倾斜程度，引入倾斜角这个几何概念。

2.直线倾斜角的定义： 当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角. 当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为00. 由此，我们得出直线的倾斜角的取值范围为：0180。倾斜角就是表示直线倾斜程度的一个几何元素。

练习画出过点P的各种倾斜角的直线。

yyylyl

ppplp

xoooxoxx

l

(1) (2) (3)(4)1

学生容易忽略与x轴平行的直线，补出图（4），问倾斜角在哪儿？

注:（1）在倾斜角的定义中，三个条件要注意，首先直线向上的方向，其次横轴的正向，最后小于平角的非负角。

（2）平面直角坐标系内每一条直线都有一个确定的倾斜角，且倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等，所以直线与倾斜角的关系是多对一的关系。

（3）确定平面内直线位置的几何要素：一个定点和倾斜角。 3.直线的斜率

在日常生活中我们描述人走地快慢、汽车行驶地快慢都是用速率来表示的，也就是用路程与时间的比来表示的；我们又如何刻画山坡的倾斜程度呢？

如果我们以前进量所在的直线为x轴，点o为原点建立平面直角坐标系，就是直线的倾斜角，即坡度就是倾升斜角的正切值，也就是说我们可以用倾斜角的正切高值来刻画直线的倾斜程度.这个正切值我们称为直线的

斜率. 前进

4.斜率的概念：一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率.倾斜角是900ktan的直线没有斜率.斜率常用k来表示，（900）. 特别地，当90时，直线的斜率不存在。在倾斜角

的取值范围内(0180)，倾斜角的大小与倾斜角的正切值是一一对应的，换句话说，倾斜角的大小与斜率是一一对应的。

进一步得到：直线上一点和直线的斜率同样能确定一条直线。

5.

由直线上两点的坐标计算直线的斜率

（1）

 (2)180

ktantan

在RtPPQ中，

12

Ktan180tan

QP2yy

tan21

PQx2x1在RtPPQ中，

112yy k21

QP2yyx2x1tan21

QPx1x21

yyyy

ktan2121

x1x2x2x1

2

（2）当P1,P2的位置变化时，k己验证。

由此我们得到斜率公式：ky2y1成立，举一反三，这点请同学们课后自x2x1y2y1 x2x1我们看一个特例，

（3）当0时，

ktan00，

这一点我们也可以由斜率公式得到。

当0时，直线和x轴平行或重合，此时y2y1。

yy0k210，同样符合公式。

x2x1x2x1(x,y1)，P2(x2,y2)的直线的斜率公式为：

经过两点P11

y2y1k(xx2)

x2x11

四、例题讲解

例1、已知A3,2,B4,1,C0,1，求直线AB,BC,CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角。

练习1：已知A(4,2)、B(-8,2)、C(0,-2)，求直线AB、BC、CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是什么角？

例2、已知直线l经过A（5，-3），B（4，y）,C(1,9)三点，求l的斜率和y的值。

练习2：已知p1(1,2),p2(x,3),p3(3,1)在一条直线上，求x的值。

能力提升

从M(2,2)射出一条光线，经过x轴反射后过点N（-8,3），求反射点P的坐标。

五、课堂小结

1、直线的倾斜角定义及其范围：0180

2、直线的斜率定义：ktan（900）

yy13、斜率公式：k2(x1x2)

x2x14、斜率k与倾斜角之间的关系：

六、课后作业：习题3.1 A组3、4 (P89) 七、教学反思：

a0ktan000a90ktana0a90tana(不存在)k不存在90a180ktana0

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