2.3 抛物线（通用）ppt配用优秀获奖教案

《抛物线的焦点弦问题》教学设计

瓜州县第一中学

谢正新

一、教学背景

抛物线中，有许多与焦点弦有关的常用的、重要性质。这些性质对圆锥曲线的深入学习以及解决物理、生产、生活中的实际问题，具有广泛而深远的意义。通过对这些性质的探究、证明、应用，可以进一步加深对抛物线定义的理解，进一步理解抛物线标准方程中参数p的几何意义，培养学生数形结合解决问题的意识和利用定义等价转化的能力。

二、教学内容

人教A版普通高中课程标准实验教科书《数学》选修2-1第二章《圆锥曲线与方程》第三节。

三、教学目标

1．知识与技能

（１）理解焦点弦的概念；

（２）掌握抛物线与焦点弦有关的常用结论；

（３）进一步理解参数p的几何意义。

2．过程与方法

（１）通过对抛物线性质的提炼，培养学生归纳、推理能力；

（２）通过对重要性质的证明，培养学生数形结合解决问题的意识和利用定义合理转化的能力。

3．情感、态度、价值观

（１）进一步感受抛物线性质的数学美，激发求知欲，培养乐于探究的习惯；

（２）进上步体会数学思想、数学方法在数学学习中的作用与价值；

（３）认识交流与合作的重要性，养成主动合作的精神。

四、教学方法

学议导练（自学探究—合作交流—引导点拨—练习提高）。

五、教学过程

１．温故知新

温习抛物线的定义、标准方程、焦半径、焦点弦等相关知识。

２．情景导入

通过几何画板课件演示，使学生直观感受与抛物线焦点弦有关的重要性质。

３．探究新知

（一）与焦点弦有关的常用结论

设直线l通过抛物线y22px(p0)的焦点F，并且和抛物线相交于两点A(x1,y1)和B(x2,y2)（如图）.则有如下常用结论:

(1)y1y2＝－p2，

p2(2)x1x2＝.

42p(3)|AB|＝x1＋x2＋p＝2(θ为AB的倾斜角)．

sinθ112(4)＋为定值. |AF||BF|p(5)以AB为直径的圆与准线相切．

(6)以AF或BF为直径的圆与y轴相切．

（二）几何画板演示验证结论

（三）结论的证明

(1)y1y2＝－p2. 证明:若AB平行于y轴，则x1x2p，2y122px1,y222px2

(y1y2)24p2x1x2p4，又y1与y2异号，y1y2p2; 若AB不平行于y轴,则x1x2,由A、B、F三点共线，得y1y2y20，px1x2x22yy2y2y12y22，代入上式得21，即,x2y2px1,y22px2，x122y1y2y22p2p2p2p2p212y1222，y1y2p2. y1y2y2pp2(2)x1x2＝. 4

证明:抛物线y22px(p的焦0)点F(p2,0)lx轴时,易得,当pp2x1x2,x1x2. 24当l不垂直于x轴时,设l: yk(x),代入y22px(p得0)p2k2P2p2kxp(2k)x0,由韦达定理得x1x2. 44222(3)|AB|＝x1＋x2＋p＝证明:2p(θ为AB的倾斜角)．

sin2θ|AB|=|AF|+|BF|,由抛物线定义得pp|AF|x1,|BF|x2,|AB|x1x2P. 222p以下证明|AB|=＝2(θ为AB的倾斜角). sinθp22,将它代入抛物线方程得yp, 222p. |AB||y1y2|2p,即|AB|y1、y2分别为p与P, sin2pytan(x)，代入y2当时,设l: 22当时,直线AB的方程为x2有xpP22pptan22tanx(2pptan)xtan0，x1x2，

4tan2222|AB|x1x2p2p. sin2pp2p,|BF||AB||AF|BF|,. 21cos1cossin法二:用参数方程可得|AF|112(4)＋为定值. p|AF||BF|证明:由(3)知,当2时,|AF|=|BF|=p, 112; |AF||BF|p,代入当22时,设l: pyk(x)2y2, 2px(得p, .又0)k2P2kxp(2k)x0422, p(k22)x1x2k2p2x1x24pp|AF|x1,|BF|x2,|AB|x1x2P.|FA||FB|x1x2p,22ppp11|FA||FB|2|FA||FB|(x1)(x2)(x1x2p),. 222|FA||FB||FA||B|p

(本题用平面几何知识证明也比较容易). 六、回顾反思

涉及抛物线几何性质的问题，常常结合图形思考，利用定义将点到点的距离转化为点到直线的距离，使问题得以解决。

七、课堂小结

本节课的收获（数学知识、数学方法、数学思想三个层面）。教师提问，学生讨论交流。

八、课堂练习

完成常用结论（５）、（６）的证明。

九、作业布置

尝试用其他方法证明常用结论（３）、（４）。

十、教后反思

本节课从几何画板演示开始，学生对抛物线焦点弦有关的性质有了一个直观的认识，加深了了解，提高了兴趣，激发了探究的热情。