3.1.3 导数的几何意义教案设计范例

茶陵二中校本课程

高三数学组

《导数的应用（1）——导数的几何意义》教案

授课人：罗文婷

教学目标：

【知识与技能目标】1. 理解导数的几何意义；

2. 会求曲线上在某点处的切线的斜率和切线方程；

3. 会求曲线上过某点处的切线；

4. 会导数的几何意义的灵活应用。

【过程与方法目标】通过让学生在前后知识的迁移中观察、探索、讨论、解决问题，从而达

到培养学生的学习能力，思维能力，应用能力和创新能力的目的。

【情感、态度与价值观】导数的几何意义能够很好地帮助理解导数的定义，达到数与形的结

合；同时又是知识在几何学，物理学方面的迁移应用。

教学重点与难点：

【重点】理解和掌握切线的新定义、导数的几何意义及应用于解决实际问题，体会数形结合、

以直代曲的思想方法。

【难点】发现、理解及应用导数的几何意义。

教学方法：分层探究、合作交流、自主实践

教学手段：

(1) 借助多媒体辅助教学，强化直观感知。

(2) 提供学案“学生活动”，突破理解难点。

教学过程：

【知识回顾】

1. 导数的几何意义

函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率k，即k＝

f′(x0)．

【自主学习】

已知曲线fxx2，求：1在点P2,4且与曲线相切的直线方程。

2过点P3,5且与曲线相切的直线方程。

解析：

14xy40

22xy10或10xy250

思考：1.第（1）问与第（2）问的区别与联系？

2.你能分别说说它们的解题思路吗？

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【方法归纳】

已知切点：

①

求导函数

②

求切点所在斜率

③

点斜式求切线方程

未知切点：

①

设切点

②

联立方程组：a.点在曲线上； b.斜率相等

③

解方程组，得切点

④

求切线方程

【备注】1.由学生自主完成第（1）题，然后教师帮助学生分析完成第（2）题，最后师生

共同总结出“在某点”和“过某点”的解题思路。 2.以上用时约5—10分钟。

【典例教学】

17例1

已知f(x)＝ln x，g(x)＝x2＋mx＋(m<0)，直线l与函数f(x)，g(x)的图象都相切，且与22f(x)图象的切点为(1，f(1))，则m等于(

)

A．－1

B．－3

C．－4

D．－2 1解析

∵f′(x)＝，

x∴直线l的斜率为k＝f′(1)＝1. 又f(1)＝0，∴切线l的方程为y＝x－1. g′(x)＝x＋m，

设直线l与g(x)的图象的切点为(x0，y0)，

17则有x0＋m＝1，y0＝x0－1，y0＝x20＋mx0＋，m<0，

22于是解得m＝－2.故选D.

【备注】1.教师帮助学生分析，再由学生自主完成。 2.让学生尝试用多种方法解决本题，然后归纳思路方法。

3.以上用时约5—10分钟。

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变式：若直线y＝2x＋m是曲线y＝xln x的切线，则实数m的值为_

__.

解析

设切点为(x0，x0ln x0)，

1由y′＝(xln x)′＝ln x＋x·＝ln x＋1，

x得切线的斜率k＝ln x0＋1，

故切线方程为y－x0ln x0＝(ln x0＋1)(x－x0)，

整理得y＝(ln x0＋1)x－x0，与y＝2x＋m比较得

ln x0＋1＝2，解得x0＝e，故m＝－e. －x0＝m，

【备注】1.由学生自主完成，并请学生上台展示。 2.以上用时约3—5分钟。

例2若点P是函数fxx2lnx图像上的任意一点，则点P到直线xy20的最小距离为A.22B.2C.12D.3解析：

点P是曲线fxx2lnx上任意一点，当过点P的切线和直线xy20平行时，点P到直线xy20的距离最小。11令f'x2x1得x1或x-舍去，x22曲线yfxxlnx上的切线斜率为1的切点是1,1，112点P到直线的最小距离为2故选B.2

【备注】1.教师帮助学生分析，再由学生自主完成。 2.让学生尝试用多种方法解决本题，然后归纳思路方法。

3.以上用时约5—10分钟。

【课堂小结】

说一说：

同学们，这一堂课，我们学习了哪些知识点？你有什么收获呢？

1.

导数的几何意义

2.

曲线在点P处的切线与过P点的切线的区别与联系

【备注】1.学生交流讨论一起完成课堂小结。以上用时约1—3分钟。

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【练习巩固】

12

1.若函数fxxaxlnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是

。2

2．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋ln x，则f′(1)等于(

) A．－e

B．－1 C．1

D．e x＋13．设曲线y＝在点(3,2)处的切线与直线ax＋y＋3＝0垂直，则a等于(

) x－111A．2

B．－2

C.

D．－

22b4．在平面直角坐标系xOy中，若曲线y＝ax2＋(a，b为常数)过点P(2，－5)，且该曲线在x点P处的切线与直线7x＋2y＋3＝0平行，则a＋b的值是

．

5．(2015·课标全国Ⅱ)已知曲线y＝x＋ln x在点(1,1)处的切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，则a＝

.

b6．设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0. x(1)求f(x)的解析式；

(2)证明：曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．

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