11.3 用反比例函数解决问题优秀公开课教案

课

题

11.1反比例函数

教学目标

课型

新授

课时

1 执教

蒋德友

总课时

1.理解反比例函数的概念，能判断两个变量之间的关系是否是函数关系，进而识别反比例函数. 2.能根据已知条件确定反比例函数的表达式. 3、体会反比例函数是刻画现实世界的特定数量关系的一种数学模型。

1.理解反比例函数的意义. 2. 确定反比例函数的表达式

1.反比例函数表达式的确定. 2. 根据已知条件确定反比例函数的表达式

探索、合作、交流

教师导学过程

学生活动过程

思考与交流，感受生活中的分式，逐步建立反比例函数的模型。

教学重点

教学难点

教学方法

教学内容

创设情境，

1．什么是函数？

导入新课

2．什么是一次函数？什么是正比例函数？它们的一般形式是怎样的？

3．我们还记得，在小学里学过，什么叫成反比例关系吗？

4．如果路程s一定，那么速度v和时间t成什么关系

新课教学

1．尝试：汽车从南京出发开往上海（全程约300km），全程所用时间t(h),随速度v(km/的变化而变化. （1）你能用含v的代数式表示t吗？

（2）利用（1）的关系式完成下表

v/(km/h) t/h 60

80

90

100

120

学生尝试解题，并互相交流（1）t300

v（2）逐渐减少

随着速度的变化，全程所用时间发生怎样（3）是

（4）不是，是一种新的的变化？

（3）时间t是速度v的函数吗？为什么？

函数

（4）时间t是速度v的一次函数吗？是正

比例函数吗？为什么？

2．思考：用函数关系式表示下列问题中两个变

量之间的关系：

2师生共同 （1）一个面积为6400m的长方形的长a(m)学生尝试解题，纠正。

随宽b(m)的变化而变化；

（2）某银行为资助某社会福利厂，提供了

20万元的无息贷款，该厂的平均年还款额y（万

元）随还款年限x（年）的变化而变化；

3 （3）游泳池的容积为5000m,向池内注水，

3注满水所需时间t(h)随注水速度v(m/h)的变化

而变化；

（4）实数m与n的积为-200，m随n的变

化而变化.

3．讨论交流．

1

学生讨论探究，形如y = 640020 函数关系式a =

、y =

、t = 课

题

课型

新授

b课时

x2 执k蒋德友

总课

教

x时

11.2反比例函数图象5000200

、m =－

具有什么共同特征？你还能n

与性质（1）

v

举出类似的实例吗？

1. 能用列表、描点的方法探究反比例函数的图象，并会画出反比例函数的

4．概括总结．

教学目标

图象．

2. 进一步理解函数的3k种表示方法，即列表法、解析式法和图象法及各自 一般地，形如y =

(k为常数，k≠0)的函x对照实例理解概念

的特点．

数叫做反比例函数．其中x是自变量，y是x的

3．经历画图、观察、猜想、思考等数学活动，向学生渗透数形结合的思想函数，

k是比例系数. 学生尝试判断，并说明理方法．例1：判断下列函数表达式中，表示反比例函由。

教学重点

画反比例函数的图象．

数的是哪几个？

教学难点

根据反比例函数图象初步感知反比例函数的性质．

x3（1）y = 4

; （2）y = 4x

; （3）－xy = 3;

12（4）-3x y + 2 = 0 ;（5）y = x2

（6）y = x

+ 1 .

学生说方法，代表板演。

例2(1)已知y是x的反比例函数，当

x

= 3时，y = 2 ,求y与x的函数关系式. ︱︱(2)y = (1＋k)xk-2中，y是x的反比例函数，求k的值

反比例函数的五种不同的表现形式：

课堂小结

各抒己见

形式1：y

是

x 反比例函数

kx－1 形式3：y = kx(k为常数，k≠0)

形式4：xy = k(k为常数，k≠0)

形式5：变量

y 与

x 成反比例，比例系数为k(

形式2：y =

(k为常数，k≠0)

作业

教后记

2

教学方法

教学内容

一、自主探究

探索、合作、交流

教师导学过程

学生活动过程

1.

我们已经知道一次函数的图象是一条直线，1、与交流，回顾

那么反比例函数(k为常数，k≠0)的图象是怎样列表、描点、画线

的图形呢？说一说，应该怎么画呢?

6

2.用描点法画y=的图象时，所描点的横坐标、2、3，思考，猜想。

x6

纵坐标的符号有什么特点？你能由此猜出y= x

的图象在哪些象限呢？

6

3.你会求出y=的图象坐标轴的交点吗？

x请求一求，并说出自已的想法．

二、自主合作

操作(一)

画出反比例函数 y=6

的图象．

x1．列表：有选择的求x与y的若干对应值

x y=

6

x2．描点：写出这些点的坐标

3．连线:怎样连线？这与画一次函数图象些区别？

三、自主展示

1．说一说反比例函数 y= 尝试画图，学生板演，

学生共同交流，如何连线。

6讨论交流，从图象的形

的图象与一次函状，增减性。

x

双曲线的两支分别在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减少；

双曲线的两支分别在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大。

数y3x6的图象有什么区别？

2．根据你所画的反比例函数 y=说它有哪些特征？

3、自主画图 y= 征？

6

的图象，说x6的图象，说说它有哪些特x四、概括与归纳

一般地，反比例函数 y=k理解识记，互相提问。

（k≠0，k为常数），x的图象是双曲线。当k>0时，双曲线的两支分别在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减少；当k<0时，双曲线的两支分别在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大。

3

五、例题教m25例1、y=（m－2）x．

3 学课

题

课型

新授

课时

执学生尝试解题，蒋德友

总师生共同课

（1）当m取何值时，它是反比例函数？

教

纠错

时

11.2反比例函数图象，先说出图象经过哪些象限，y随x如何

与性质（2）

（2）1．认识反比例函数的图象与性质，并能简单运用．

变化？再画图象。

（3）判断点P(1，-4)，(2，-2)是否在图象

教学目标

2．能根据图象分析并掌握反比例函数的性质，进一步感受形数结合的思想方法

上

分析并掌握反比例函数的性质

教学重点

1

（4）求当≤x≤2时，函数y的取值范围．

分析并掌握反比例函数的性质

教学难点

2[拓展]甲乙两地相距100km，一辆火车从甲地开学生交流，如何画实际问教学方法

探索、合作、交流

往乙地，把火车到达乙地所用的时间y(h)表示题的图象，是一个“残图”

教学内容

教师导学过程

学生活动过程

为汽车的平均速度x(km/h)的函数，则这个函数

一、自主探与交流，回顾、列表、描11．请画出下列6个反比例函数的图象：y=

，

的图象大致是（ ）

x究

点、画线

k14433y =(k为常y=

－x

，y=x

，y=－x

，y=x

，y=－x

，请大家反比例函数x

进行分类并说明分类的依据，探索图象的特征；

数，k≠0)的图象是双曲

(1)每个函数的图象分别在哪几个象限？

线．

(2)在每一个象限内，随着x的增大，y是怎样当k＞0时，双曲线的两变化的？

支分别在第一、三象限，k课堂小结

各抒己见

说一说反比例函数反比例函数 y=（k≠0，k(3)反比例函数的图象与x轴有交点吗？与y有在每一个象限内，y随xx为常数）的图象特征，与性质？

作业

教后记

4

交点吗？为什么？

2．如果将反比例函数的图象绕原点旋转180°，你有什么发现？ 将反比例函数的图象绕原点旋转180°后，能与原来的图象重合，因此反比例函数图象是中心对称图形，它的对称中心是坐标系的原点．

二、自主合作

例1．已知反比例函数y=的增大而减小；

当k＜0时，双曲线的两支分别在第二、四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大．

k

的图象经过点A（2，

xy—4）. (1)求k的值； (2)这个函数的图象在哪几个象限？y随x的增大怎样变化？

(3)画出函数的图象； (4)点B（1，—16）、C2（—3，5）在这个函数的图象上吗？

例2．已知反比例函数 y =5的图象上有两点xP(1,a), Q(b,2.5). (1) 求a、b的值；

(2) 过点P作y轴的垂线交y轴于点M，求△PMO的面积；

(3) 过点Q作x轴的垂线交x轴于点N，求△QNO的面积；

(4)过双曲线上任意一点A（m,n）作x轴(或y轴)的垂线，垂足为B，求△ABO的面积；

三、自主展示

PMQ

xON

学生利用性质，进行解题。其余学生进行纠错。

讨论交流，如何求△的面积，并根据特例合情推理并进行理论验证发现规律。

1、反比例函数①y=④y=2110利用性质来解；

；②y=；③7y= —；双曲线的两支分别在第x3xx一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减少；

(1)在第一、三象限的是 ，在第二、双曲线的两支分别在第四象限的是 二、四象限，在每个象限(2)在其所在的每一个象限内，y随x的增大而内，y随x的增大而增大。

增大的是 2．已知反比例函数的图象经过点A（—6，—3）. (1)写出函数关系式；

(2)这个函数的图象在哪几个象限？y随x的增大怎样变化？

(3)点B（4，象上吗？

3的图象中：

100x9），C（2，—5）在这个函数的图2四、拓展与提高

1．若反比例函数y=2m1xm224的图象经过第二、学生根据性质讨论交流如何解决问题。

四象限，求函数的解析式。

2．函数y=

k与y=ax的图象的一个交点A的坐x5

标是(-1，-3)，

4 执

课

(1)

求这两个函数的解析式；题

课型

新授

课时

蒋德友

总(2)在同一直角坐标系内，画出它们的图象；

教

课11.2反比例函数图象时

与性质（3）

(3)你能求出这两个图象的另一个交点B的坐标吗？怎样求？

1.会根据反比例函数图象的某些特征，分析并掌握反比例函数的性质．

教学目标

课堂小结

2.能运用反比例函数图象与对应的函数关系或之间的内在联系及其几何意k各抒己见

说一说反比例函数反比例函数 y=（k≠0，k义解决有关问题．

x3.根据所给反比例函数与一次函数的图象解决一些简单的综合问题．

为常数）的图象特征，与性质？

根据条件确定函数的类型，明确函数图象所在象限及有关性质．

能结合函数图象及性质，比较函数值的大小和求函数关系式．

探索、合作、交流

教师导学过程

学生活动过程

1.填表

学生回忆，思考，填表

其余学生进行补充，完善

反比例函数正比例函数

ky=kx y= x

k>0 k<0 k>0 k<0

图象所

在象限

增减性

2.老师给出一个函数，甲、乙各指出这个函数的学生尝试解题，学生评一个性质：

判。

甲：第一、三象限有它的图象； 乙：在每

个象限内，y随x的增大而减小．

请你写出一个满足上述性质的函数关系式

3.点（-2，y1）（-1，y2）（1，y3）在反比例函数学生尝试解题，看谁的方-4法最多，并进行比较看哪y =

的图象上，比较y1、y2、y3的大小．

x种方法好

思考：比较y1、、y2、y3的大小有哪些方法？（代人法、图象法、增减性法）

教学重点

作业

教学难点

教学方法

教后记

教学内容

一、自主探究

6

二、自主合作

2- m例1：如图，是反比例函数y =

的图象的一x支．

(1) 函数图象的另一支在第几象限？(2) 求常数m的取值范围．

(3) 点A（－3，y1）、B（－1，y2）、C（2，y3）都在这个反比例函数的图象上，比较y1、、 y2和y3的大小．

2.组内相互讲解，强调第（3）小题的方法。

【分析：

由于反比例函数图象的一支在第一象限，所以另一支在第三象限，显然2－m﹥0，由此得到m的取值范围，由于反比例函数的自变量x的取值范围是x≠0，所以其图象是分段的，不连续的，在讨论函数值的大小问题时，我们必须分象限来进行讨论．问题3的解决有如下几种方法：代人法，即代人到解析式中求解后进行比较；图象法，利用图象观察、比较得出；增减性法，利用反比例函数图象的增减性在每个分支上进行分析、解决．】

学生利用性质，进行解题。其余学生进行纠错。

y

xO

三、自主展示

四、自主拓展

利用性质来解；

k1.对于反比例函数y =

（k>0），当x1 < 0< x2 x双曲线的两支分别在第

- n-32.已知反比例函数y =

的图象具有以下x双曲线的两支分别在第特征：在同一象限内，y随x增大而增大，

二、四象限，在每个象限（1）求n的取值范围．

内，y随x的增大而增大。

（2）点（2，a）、(-1,b)、（-2，c）都在这个反

比例函数图象上，比较a、b、c的大小．

k已知反比例函数 y =

与一次函数y=mx+b的图x象交于P(－2,1)和Q（1，n）两点．

(1) 求k、n的值；

(2) 求一次函数y=mx+b的解析式．

(3) 求△POQ的面积．

讨论交流，如何求△的面积，鼓励学生用多种方法来解题，注重转化的思想的渗透。

各抒己见

课堂小结

说一说反比例函数反比例函数 y=为常数）的图象特征，与性质？

k（k≠0，kx作业

教后记

7

课

题

11.3反比例函数的应用

教学目标

教学重点

教学难点

教学方法

教学内容

一、情境创设

课型

新授

课时

5 执教

蒋德友

总课时

1.能灵活运用反比例函数的知识解决实际问题. 2.经历“实际问题——建立模型——拓展应用”的过程培养分析问题，解决问题的能力. 运用反比例函数的意义和性质解决实际问题. 把实际问题转化为反比例函数这一数学模型，渗透转化的数学思想. 探索、合作、交流

教师导学过程

温故知新：

回忆：什么是反比例函数？其图象是什么？反比例函数有哪些性质？

小明将一篇24000字的社会调查报告录入电脑,打印成文. ⑴如果小明以每分钟120字的速度录入，他需要多长时间才能完成录入任务？

⑵录入文字的速度V（字/min）与完成录入的时间t（min）有怎样的函数关系？

⑶小明希望能在3h内完成录入任务，那么他每分钟至少应录入多少个字？

提示：用方程来解决问题⑶，取舍要符合实际意义

[例1]某自来水公司计划新建一个容积为4×104m3的长方体蓄水池,小华爸爸把这一问题带回来与小华一起探讨: ⑴蓄水池的底面积S(m2)与其深度h(m)有怎样的函数关系? ⑵如果蓄水池的深度设计为5m,那么蓄水池的底面积应为多少平方米? ⑶由于绿化以及辅助用地的需要,经过实地测量,蓄水池的长和宽最多只能分别设计为100m和60m，那么蓄水池的深度至少达到多少才能满足要求? （保留两位小数）

[同步训练]课本P74练习第1、2题

学生活动过程

学生回忆，思考，填表

其余学生进行补充，完善

学生尝试解题，学生评判。

学生尝试解题，看谁的方法最多，并进行比较看哪种方法好

二、新课教学

学生尝试解题，并说明理由。其余学生进行补充。

40000

h400008000

（2）s5（3）h6.67

（1）s

学生思考后回答，其余学生纠错。

8

[例2]某气球内充满了一定量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P(kpa)是气体体积V(m3)的反比例函数，其图象如图所示.

⑴写出3这一函数表达式；1m6 课

题

课型

⑵当气体体积为复习

课时

时，气执蒋德友

总课

教时

反比例函数

压时多少？

⑶当气球内的气压大于140kpa时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积应不小

1、继续巩固反比例函数概念，能灵活运用反比例函数的图像与性质解决实数形结合进行解题。

教学目标

于多少？际问题；

2、进一步体会数形结合的数学思想

教学重点

灵活运用反比例函数的图像与性质解决实际问题

学生尝试解题，师生共同k教学难点

已知反比例函数 y =

与一次函数y=mx+b的图

能灵活运用反比例函数的图像与性质解决实际问题x

探索解题方法。

教学方法

例题分析，查缺补漏

象交于P(－2,1)和Q

（1，n）两点．

（1）把P点的坐标代入教学内容

教师导学过程

学生活动过程

(1) 求k、n的值；

（2）通过两点确定解析

(2) 求一次函数y=mx+b的解析式．

式。

(3) 求△POQ的面积．

（3）转化成易求的三角

形的面积来求解。

三、拓展与提高

课堂小结

说一说反比例函数反比例函数 y=为常数）的图象特征，与性质？

k（k≠0，kx各抒己见

作业

教后记

9

一、情境创设

温故知新：

回忆：什么是反比例函数？其图象是什么？反比例函数有哪些性质？

试举例说明。

[例1]如果函数ym2是反比例函数，

xm2学生回忆，思考，填表

其余学生进行补充，完善

师生共同建立知识结构。

学生尝试解题，学生评判。

学生尝试解题，看谁的方法最多，并进行比较看哪种方法好

学生尝试解题，并说明理由。其余学生进行补充。

学生思考后回答，其余学生纠错。

数形结合进行解题。

学生尝试解题，师生共同探索解题方法。

（1）把P点的坐标代入（2）通过两点确定解析式。

（3）转化成易求的三角形的面积来求解。

学生读题、审题、分析，从图象中能得到哪些信息？如何利用这些信息来解题。

二、新课教学

1那么m____________ [例2] 例2、若M2,2和Nb,1n2是反比例函数yk图象上的两点，则一次函数xykxb的图象经过_____________象限

k例3、.

已知反比例函数 y =

与一次函数xy=mx+b的图象交于P(－2,1)和Q（1，n）两点．

(1) 求k、n的值；

(2) 求一次函数y=mx+b的解析式．

(3) 求△POQ的面积．

例4、为了预防“非典”，某学校对教室采用药

6 y(毫克)

O 8 x(分钟)

熏消毒法进行消毒. 已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x分钟）成正比例，药物燃烧完后，y与x成反比例（如图所示）. 现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米含药量为6毫克. 请根据题中所提供的信息，解答下列问题：

（1）药物燃烧时，y关于x的函数关系式为：___________________，自变量x的取值范围是：______________；药物燃烧后y关于x的函数关系式为：___________________；

（2）研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时学生方可进教室，那么从消毒开始，

10

至少需要经过几分钟后，学生才能回到教室；

（3）研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10分钟时才能有效地杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？

课堂小结

作业

如何从图象与问题中寻找结合点，从而找准解决实际问题的数学模型，得到解决问题的突破口。

本节课帮助学生整合本章知识体系，使学各抒己见

生能运用数形结合思想，根据反比例函数的性质，解决实际问题。

教后记

11