等边三角形的判定教学目标设计

第一章

三角形的证明

1. 等腰三角形（二）

一、学生知识状况分析

在八年级上册第七章《平行线的证明》，学生已经感受了证明的必要性，并通过平行线有关命题的证明过程，习得了一些基本的证明方法和基本规范，积累了一定的证明经验；在七年级下，学生也已经探索得到了有关三角形全等和等腰三角形的有关命题；而前一课时，学生刚刚证明了等腰三角形的性质，这为本课时拓展等腰三角形的性质、研究等要三角形的判定定理都做了很好的铺垫。

二、教学任务分析

本节将利用前一课时所证明的等腰三角形的性质定理，进一步研究等腰三角形的一些特殊性质，探索等边三角形的性质。为此，确定本节课的教学目标如下：

1．知识目标：

①探索——发现——猜想——证明等腰三角形中相等的线段，进一步熟悉证明的基本步骤和书写格式，体会证明的必要性；

2．能力目标：

①经历“探索－发现－猜想－证明”的过程，让学生进一步体会证明是探索活动的自然延续和必要发展，发展学生的初步的演绎逻辑推理的能力；

②在命题的变式中，发展学生提出问题的能力，拓展命题的能力，从而提高学生的学习能力和思维能力，提高学生学习的主体性；

③在图形的观察中，揭示等腰三角形的本质：对称性，发展学生的几何直觉；

3．情感与价值观要求

①鼓励学生积极参与数学活动，激发学生的好奇心和求知欲．

②体验数学活动中的探索与创造，感受数学的严谨性．

4．教学重、难点

重点：经历“探索——发现一一猜想——证明”的过程，能够用综合法证明有关三角形和等腰三角形的一些结论．

三、教学过程分析

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本节课设计了六个教学环节：第一环节：提出问题，引入新课；第二环节：自主探究；第三环节：经典例题 变式练习；第四环节：拓展延伸、探索等边三角形性质；

第五环节：

随堂练习

及时巩固

；第六环节：探讨收获 课时小结。

第一环节：提出问题，引入新课

活动内容：在回忆上节课等腰三角形性质的基础上，提出问题：

在等腰三角形中作出一些线段(如角平分线、中线、高等)，你能发现其中一些相等的线段吗?你能证明你的结论吗? 活动目的：回顾性质，既为后续研究判定提供了基础；同时，直接提出新的问题，过渡自然，引入本课研究内容，而新的问题是原有性质的一个自然拓广，有助于提高学生提出问题的能力。

第二环节：自主探究

活动内容：在等腰三角形中自主作出一些线段(如角平分线、中线、高等)，观察其中有哪些相等的线段，并尝试给出证明。

活动目的：让学生再次经历“探索——发现——猜想——证明”的过程，进一步体会证明的必要性，并进行证明，从中进一步体会证明过程，感受证明方法的多样性。

活动效果与注意事项：活动中，教师应注意给予适度的引导，如可以渐次提出问题：

你可能得到哪些相等的线段？

你如何验证你的猜测？

你能证明你的猜测吗？试作图，写出已知、求证和证明过程；

还可以有哪些证明方法？

通过学生的自主探究和同伴的交流，学生一般都能在直观猜测、测量验证的基础上探究出：

等腰三角形两个底角的平分线相等；

等腰三角形腰上的高相等；

等腰三角形腰上的中线相等．

并对这些命题给予多样的证明。

如对于“等腰三角形两底角的平分线相等”，学生得到了下面的证明方法：

已知：如图，在△ABC中，AB=AC，BD、CE是△ABC的角平分线．

求证：BD=CE．

A2 ED

证法1：∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB(等边对等角)．

11∵∠1=

∠ABC，∠2=

∠ABC，

22∴∠1=∠2．

在△BDC和△CEB中，

∠ACB=∠ABC，BC=CB，∠1=∠2．

∴△BDC≌△CEB(ASA)．

∴BD=CE(全等三角形的对应边相等) 证法2：证明：∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB．

又∵∠3=∠4．

在△ABC和△ACE中，

∠3=∠4，AB=AC，∠A=∠A．

∴△ABD≌△ACE(ASA)．

∴BD=CE(全等三角形的对应边相等)．

在证明过程中，学生思路一般还较为清楚，但毕竟严格证明表述经验尚显不足，因此，教学中教师应注意对证明规范提出一定的要求，因此，注意请学生板书其中部分证明过程，借助课件展示部分证明过程；可能部分学生还有一些困难，注意对有困难的学生给予帮助和指导。

第三环节：经典例题 变式练习

活动内容：提请学生思考，除了角平分线、中线、高等特殊的线段外，还可以有哪些线段相等？并在学生思考的基础上，研究课本“议一议”：

在课本图1—4的等腰三角形ABC中，

11(1)如果∠ABD=

∠ABC，∠ACE=

∠ACB呢?由此，你能得到一个什么结论? 341111(2)如果AD= AC，AE= AB，那么BD=CE吗?如果AD= AC，AE= AB呢?由此你得到什么2233结论? 活动目的：提高学生变式能力、问题拓广能力，发展学生学习的自主性。

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活动注意事项与效果：教学中应注意对学生的引导，因为学生先前这样的经验比较少，可能学生一时不知如何研究问题，教师可以引导学生思考：把底角二等份的线段相等．如果是三等份、四等份……结果如何呢?从而引出“议一议”。

由于课堂时间有限，如果学生全部解决上述问题，时间不够，可以在引导学生提出上述这些问题的基础上，让学生证明其中部分问题，而将其余问题作为课外作业，延伸到课外；当然，也可以对不同的学生提出不同的要求，如普通学生仅仅证明其中部分问题，而要求部分学优生解决所有的问题，甚至要求这部分学优生思考“还可以提出哪些类似问题，你是如何想到这些问题的”。

在学生解决问题的基础上，教师还应注意揭示蕴含其中的思想方法。

下面是学生的课堂表现：

1[生]在等腰三角形ABC中，如果∠ABD=

∠ABC，那么BD=CE．这和证明等腰三角形两底3角的角平分线相等类似．证明如下：

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB(等边对等角)．

11又∵∠ABD=

∠ABC, ∴∠ACE=

∠ACB, 33∴∠ABD=∠ACE．

在△BDC和△CEB中，

∵∠ABD=∠ACE，BC=CB，∠ACB=∠ABC, ∴△BDC≌△CEB(ASA)．

∴BD=CE(全等三角形的对应边相等) 11[生]如果在△ABC中，AB=AC, ∠ABD=

∠ABC，∠ACE=∠

∠ACB，那么BD=CE也是成立44的．因为AB=AC，所以∠ABC=∠ACB，利用等量代换便可得到∠ABD=∠ACE，△BDC与△CEB全等的条件就能满足，也就能得到BD=CE．由此我们可以发现：

11在△ABC中，AB=AC，∠ABD=∠

∠ABC，∠ACE=

∠ACB，就一定有BD=CE成立．

nn[生]也可以更直接地说：在△ABC中，AB=AC，∠ABD=∠ACE，那么BD=CE．

[师]这两位同学都由特殊结论猜想出了一般结论．请同学们把一般结论的证明过程完整地书写出来．(教师可巡视指导)下面我们来讨论第(2)问，请小组代表发言．

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1111[生]在△ABC中，AB=AC，如果AD= AC，AE= AB，那么BD=CE；如果AD= AC，AE= AB，223311那么BD=CE．由此我们得到了一个更一般的结论：在△ABC中，AB=AC，AD= AC，AE= AB，nn那么BD=CE．证明如下：

∵AB=AC．

11又∵AD= AC，AE= AB，

nn∴AD=AE．

在△ADB和△AEC中，

AB=AC，∠A=∠A，AD=AE，

∴△ADB≌△AEC(SAS)．

∴BD=CE(全等三角形的对应边相等)．

[生]一般结论也可更简洁地叙述为：在△ABC中，如果AB=AC，AD=AE，那么BD=CE．

[师]这里的两个问题都是由特殊结论得出更一般的结论，这是我们研究数学问题常用的一种思想方法，它会使我们得到意想不到的效果．例如通过对这两个问题的研究，我们可以发现等腰三角形中，相等的线段有无数组．这和等腰三角形是轴对称图形这个性质是密不可分的．

第四环节：拓展延伸，探索等边三角形性质

活动内容：提请学生在上面等要三角形性质定理的基础上，思考等边三角形的特殊性质：等边三角形三个内角都相等并且每个内角都等于60°. 已知：如图，ΔABC中，AB=BC=AC．

求证：∠A=∠B=∠C=60°. 证明：在ΔABC中，∵AB=AC，∴∠B=∠C(等边对等角)．

同理：∠C=∠A，∴∠A=∠B=∠C（等量代换）．

又∵∠A+∠B+∠C＝180°（三角形内角和定理），∴∠A=∠B=∠C＝60°．

活动效果：学生一般都能得到这些定理的证明，能规范地写出对于“等边三角形三个内角都相等并且每个内角都等于60°”的证明过程：

第五环节：

随堂练习 及时巩固

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活动内容：在探索得到了等边三角形的性质的基础上，让学生独立完成以下练习。

1.如图,已知△ABC和△BDE都是等边三角形. 求证:AE=CD

BDECA 活动意图：在巩固等边三角形的性质的同时，进一步掌握综合证明法的基本要求和步骤，规范证明的书写格式。

第六环节：探讨收获 课时小结

本节课我们通过观察探索、发现并证明了等腰三角形中相等的线段，并由特殊结论归纳出一般结论，

四、教学反思

本节课关注了问题的变式与拓广，实际上引领学生经历了提出问题、解决问题的过程，因而较好地提高了学生的研究能力、自主学习能力，但也应注意根据学生的情况进行适度的调整，因为学生先前这样的经验较少，因而对一些班级学生而言，完成全部这些教学任务，可能时间偏紧，为此，教学中可以适当减少一些内容，将部分内容延伸到课外，当然，也可以设计为两个课时，将研究过程进一步展开。

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