不等式的解集第一课时教学实录

8．2 解一元一次不等式

8．2.1 不等式的解集

教学目标

一、基本目标

1．使学生能理解不等式的解集和解不等式的意义．

2．使学生能在数轴上表示不等式的解集．

二、重难点目标

【教学重点】

1．理解不等式的解集和解不等式的概念．

2．探索不等式的解集并能在数轴上表示出来．

【教学难点】

不等式解集的表示．

教学过程

环节1

自学提纲，生成问题

【5 min阅读】

阅读教材P53～P54的内容，完成下面练习．

【3 min反馈】

1．一个不等式的所有解，组成这个不等式的解的集合，简称为这个不等式的解集. 2．求不等式的解集的过程叫做解不等式.也就是将含有x的不等式化为：x＞a或x≥a或x＜a或x≤a的形式．

3．下列各数中，能使不等式x－1＞0成立的是

(

B

) A．1

C．0

环节2

合作探究，解决问题

活动1

小组讨论(师生互学) 【例1】在数轴上表示下列不等式：

(1)x＜－1；

(2)x≥－1. 【互动探索】(引发学生思考)定边界→定方向→“＞”“＜”空心圆圈，“≥”“≤”实心圆点．

【解答】(1)将x＜－1表示在数轴上如下：

(2)将x≥－1表示在数轴上如下：

B．2

D．－2

1

【互动总结】(学生总结，老师点评)本题主要考查在数轴上表示不等式的解集，不等式的解集在数轴上表示出来的方法：“＞”空心圆圈向右画折线，“≥”实心圆点向右画折线，“＜”空心圆圈向左画折线，“≤”实心圆点向左画折线．

活动2

巩固练习(学生独学) 51．下列不等式中，解集不包括的是

(

A

) 25A．x<

2C．x<3

B．x>1

5D．x≥

22．使不等式2x>x＋1成立的最小整数是

(

C

) A．0

C．2

13．不等式x≤3的正整数解是1,2,3. 34．如图所示的不等式的解集是x≤2.

5．在数轴上表示下列不等式：

(1)x＞2；

(2)x≤3. 解：(1)将x＞2表示在数轴上如下：

(2)将x≤3表示在数轴上如下：

活动3

拓展延伸(学生对学) 【例2】已知方程ax＋12＝0的解是x＝3，求关于x不等式：(a＋2)x＞－6的解集，并在数轴上表示出来，其中正整数解有哪些？

【互动探索】将x＝3代入ax＋12＝0求出a的值→将a代入不等式求解．

【解答】由方程的定义，把x＝3代入ax＋12＝0中，得a＝－4. 把a＝－4代入(a＋2)x＞－6中，

得－2x＞－6，

解得x＜3. 解集在数轴上表示如下：

B．1

D．3

2

其中正整数解是1和2. 【互动总结】(学生总结，老师点评)此题考查的是一元一次方程的解法及解不等式，根据方程解的意义，求出a的值是解答本题的关键．

环节3

课堂小结，当堂达标

(学生总结，老师点评) 不等式的解集的概念不等式的解集解不等式用数轴表示不等式练习设计

请完成本课时对应练习！

8．2.2 不等式的简单变形

教学目标

一、基本目标

1．使学生掌握不等式的三个基本性质．

2．使学生会运用不等式的三个性质对不等式变形．

3．通过不等式基本性质的推导，培养学生观察、归纳的能力．

二、重难点目标

【教学重点】

不等式的基本性质和简单不等式的解法．

【教学难点】

能够运用不等式的基本性质解决问题．

教学过程

环节1

自学提纲，生成问题

【5 min阅读】

阅读教材P55～P57的内容，完成下面练习．

【3 min反馈】

1．不等式的基本性质：

(1)不等式的基本性质1：如果a＞b，那么a＋c＞b＋c，a－c＞b－c.也就是说，不等式的两边都加上(或都减去)同一个数或同一个整式，不等号的方向不变.

3

ab(2)不等式的基本性质2：如果a＞b，并且c＞0，那么ac＞bc，＞.也就是说，不等式cc的两边都乘(或都除以)同一个正数，不等号的方向不变. ab(3)不等式的基本性质3：如果a＞b，并且c＜0，那么ac＜bc，＜.也就是说，不等式cc的两边都乘(或都除以)同一个负数，不等号的方向改变. 2．若m

(1)m－3

(2)－5m>－5n；

mn(3)<；

33(4)2－m>2－n；

(5)0>m－n. 环节2

合作探究，解决问题

活动1

小组讨论(师生互学) 【例1】已知a＞b，则下列不等式中，错误的是(

) A．3a＞3b

C．4a－3＞4b－3

abB．－<－

33D．(c－1)2a＞(c－1)2b

【互动探索】(引发学生思考)A.在不等式a＞b的两边同时乘3，不等号的方向不变，即ab3a＞3b，故本选项正确；B.在不等式a＞b的两边同时除以－3，不等号方向改变，即－<－，33故本选项正确；C.在不等式a＞b的两边同时先乘4、再减去3，不等式号方向不变，即4a－3＞4b－3，故本选项正确；D.当c－1＝0，即c＝1时，该不等式不成立，故本选项错误．故选D. 【答案】D 【互动总结】(学生总结，老师点评)“0”是很特殊的一个数，因此，解答不等式的问题时，应密切关注“0”存在与否，以防掉进“0”的陷阱．

【例2】把下列不等式化成“x＞a”或“x

(1)2x－2<0；

(2)3x－9<6x；

13(3)x－2＞x－5. 22【互动探索】(引发学生思考)怎样将不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式？(移项)→不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变吗？(改变) 【解答】(1)根据不等式的基本性质1，两边都加上2，得2x<2.根据不等式的基本性质2，两边都除以2，得x<1.

4

(2)根据不等式的基本性质1，两边都加上9－6x，得－3x<9.根据不等式的基本性质3，两边都除以－3，得x＞－3. 3(3)根据不等式的基本性质1，两边都加上2－x，得－x>－3.根据不等式的基本性质3，2两边都除以－1，得x<3. 【互动总结】(学生总结，老师点评)运用不等式的基本性质进行变形，把不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式时，可以先在不等式两边同时加上一个适当的代数式，使含未知数的项在不等式的左边，常数项在不等式的右边(也可通过移项实现)．然后把未知数的系数化为1，要注意的是：如果两边都乘(或除以)同一个正数，不等号方向不变；如果两边都乘(或除以)同一个负数，不等号方向改变．

活动2

巩固练习(学生独学) 1．如果m

(

C

) A．m－9

11C.>

nmB．－m>－n

mD．>1 n2．若a－b<0，则下列各式中一定正确的是

(

D

) A．a>b

aC.<0

bB．ab>0 D．－a>－b

b3．由不等式ax>b可以推出x<，那么a的取值范围是

(

B

) aA．a≤0

C．a≥0

B．a<0 D．a>0 4．满足－2x>－12的非负整数有0,1,2,3,4,5. b5．若ax>b，ac2<0，则x<. a6．把下列不等式化成“x＞a”或“x

(1)4x>3x＋5；

(2)－2x<17. 17解：(1)x>5.

(2)x>－. 2活动3

拓展延伸(学生对学) 【例3】已知－x＋1＞－y＋1，试比较5x－4与5y－4的大小．

【互动探索】首先根据不等式的性质，判断出x与y的大小，进而判断出5x－4与5y－4的大小．

【解答】因为－x＋1＞－y＋1，

所以－x＞－y，故x＜y.

5

又因为x＜y，所以5x＜5y，

所以5x－4＜5y－4. 【互动总结】(学生总结，老师点评)此题主要考查了不等式的基本性质，解答此题的关键是判断出x、y的大小关系．

环节3

课堂小结，当堂达标

(学生总结，老师点评) 性质1→不等号的方向不变不等式的基本性质性质2→不等号的方向不变性质3→不等号的方向改变练习设计

请完成本课时对应练习！

8．2.3 解一元一次不等式

第1课时

一元一次不等式的解法

教学目标

一、基本目标

1．让学生了解什么是一元一次不等式．

2．通过类比一元一次方程的解法和一般步骤，使学生掌握一元一次不等式的解法和一般步骤，培养学生的合情推理能力．

二、重难点目标

【教学重点】

一元一次不等式和解一元一次不等式的一般步骤．

【教学难点】

一元一次不等式的解法．

教学过程

环节1

自学提纲，生成问题

【5 min阅读】

阅读教材P58～P60的内容，完成下面练习．

【3 min反馈】

1．含有一个未知数，并且含未知数的式子都是整式，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式. 2．解一元一次不等式的一般步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1. 3．下列不等式中，属于一元一次不等式的是

(

B

)

6

A．4>1

C．x2<2

环节2

合作探究，解决问题

活动1

小组讨论(师生互学) B．3x－24<4 D．4x－3<2y－7 【例1】解下列一元一次不等式，并将其解集表示在数轴上：

1x＋－1≤－x＋9；

(1)22x－3x－5(2)－1＞. 23【互动探索】(引发学生思考)解一元一次不等式的基本步骤：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项；(5)系数化为1. 【解答】(1)去括号，得2x＋1－1≤－x＋9. 移项、合并同类项，得3x≤9. 两边都除以3，得x≤3. 解集在数轴上表示如下：

(2)去分母，得3(x－3)－6＞2(x－5)．

去括号，得3x－9－6＞2x－10. 移项，得3x－2x＞－10＋9＋6. 合并同类项，得x＞5. 解集在数轴上表示如下：

【互动总结】(学生总结，老师点评)一元一次不等式两边都除以未知数的系数时，一定要注意这个数是正数还是负数，如果是正数，不等号方向不变；如果是负数，不等号的方向改变．

【例2】已知不等式x＋8＞4x＋m(m是常数)的解集是x＜3，求m的值．

【互动探索】(引发学生思考)解不等式x＋8＞4x＋m→用含m的字母表示解集→求得关于m的方程→求得m的值．

【解答】因为x＋8＞4x＋m，

所以x－4x＞m－8，

1解得x＜－(m－8)．

3又因为其解集为x＜3，

1所以－(m－8)＝3. 3

7

解得m＝－1. 【互动总结】(学生总结，老师点评)已知解集求字母系数的值，通常是先解含有字母的不等式，再利用解集的唯一性列方程求字母的值，解题过程体现了方程思想．

活动2

巩固练习(学生独学) 1．下列不等式中，是一元一次不等式的是

(

A

) A．5x－2＞0

C．6x－3y≤－2

1B．－3＜2＋

xD．y2＋1＞2 132．不等式(1－9x)<－7－x的解集是

(

D

) 62A．任意实数

C．全体负数

B．全体正数

D．无解

3．不等式2x－1≥3x－5的正整数解有4个．

x4．若不等式－1>x与－2x＋6>5a的解集相同，则a＝2. 25．解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来：

(1)3(x＋2)－8≥1－2(x－1)；

x－1x＋2(2)x－≤2－. 23解：(1)x≥1.解集在数轴上表示如下：

(2)x≤1.解集在数轴上表示如下：

活动3

拓展延伸(学生对学) x＋1x＋7【例3】求不等式1＋≥2－的非正整数解．

23【互动探索】首先利用不等式的基本性质解不等式，再从不等式的解集中找出适合条件的非正整数即可．

【解答】去分母，得6＋3(x＋1)≥12－2(x＋7)．

去括号，得6＋3x＋3≥12－2x－14. 移项，得3x＋2x≥12－14－3－6. 合并同类项，得5x≥－11，

11两边都除以5，得x≥－. 5将解集在数轴上表示如下：

8

故不等式的非正整数解为－2，－1,0. 【互动总结】(学生总结，老师点评)解题时，根据解一元一次不等式的一般步骤，求出不等式的解集，并在数轴上表示出来，就可以直观地得出特殊解．

环节3

课堂小结，当堂达标

(学生总结，老师点评) 

解一元一次不等式的一般步骤等式的解法一元一次不一元一次不等式的概念

练习设计

请完成本课时对应练习！

第2课时

一元一次不等式的应用

教学目标

一、基本目标

1．让学生复习巩固一元一次不等式的解法．

2．使学生会应用解不等式知识来解决实际问题．

3．通过解不等式的知识在实际中的应用，培养学生分析解决问题的能力和数学建模能力．

二、重难点目标

【教学重点】

会用一元一次不等式解决实际问题．

【教学难点】

将实际问题抽象成数学问题的思维过程．

教学过程

环节1

自学提纲，生成问题

【5 min阅读】

阅读教材P60～P61的内容，完成下面练习．

【3 min反馈】

1．解一元一次不等式应用题的一般步骤：

(1)审题，找出题中的不等量关系；

(2)设未知数，用未知数表示有关代数式；

(3)列不等式；

(4)解不等式；

(5)根据实际情况写出答案．

2．2x＋1是不小于－3的负数，表示为

(

C

) A．－3≤2x＋1≤0

B．－3<2x＋1<0 9

C．－3≤2x＋1<0

D．－3<2x＋1≤0 3．七(1)班的几位同学拍了一张合影做留念，已知冲一张底片需要0.80元，洗一张相片需要0.35元．在每位同学得到一张相片、几位同学共用一张底片的前提下，平均每人分摊的钱不足0.5元，那么参加合影的同学人数

(

B

) A．至多6人

C．至多5人

环节2

合作探究，解决问题

活动1

小组讨论(师生互学) 【例1】(教材P60问题)在“科学与艺术”知识竞赛的预选赛中共有20道题，对于每一道题，答对得10分，答错或不答扣5分，总得分不少于80分者能通过预选赛．育才中学有25名学生通过了预选赛，通过者至少应答对多少题？有哪些可能情形？

【互动探索】(引发学生思考)设未知数→找出不等式关系(总得分不少于80分者能通过预选赛)→列不等式→解不等式→得出答案．

【解答】设通过者答对了x道题．

根据题意，得10x－5(20－x)≥80. 去括号，得10x－100＋5x≥80，

移项、合并同类项，得15x≥180. 解得x≥12.因为x代表题目数，必须是正整数，所以最小的整数解是12. 即通过者至少应答对12道题，25名通过者答对题目数可能是12、13、14、15、16、17、18、19、20，共9种可能情形。

【互动总结】(学生总结，老师点评)用不等式解决实际问题的关键是找出题中的不等量关系．

【例2】有10名菜农，每人可种甲种蔬菜3亩或乙种蔬菜2亩，已知甲种蔬菜每亩可收入0.5万元，乙种蔬菜每亩可收入0.8万元，要使总收入不低于15.6万元，则最多只能安排多少人种甲种蔬菜？

【互动探索】(引发学生思考)设安排x人种甲种蔬菜→(10－x)人种乙种蔬菜→种甲种蔬菜3x亩，乙种蔬菜2(10－x)亩→列出不等式求解即可．

【解答】设安排x人种甲种蔬菜，则安排(10－x)人种乙种蔬菜．

根据题意，得0.5×3x＋0.8×2(10－x)≥15.6，

解得x≤4. 即最多只能安排4人种甲种蔬菜．

【互动总结】(学生总结，老师点评)本题考查了一元一次不等式的应用，关键是设出种植甲种蔬菜的人数，以总收入作为不等量关系列出不等式求解．

活动2

巩固练习(学生独学)

10 B．至少6人

D．至少5人

1．采石场爆破时，点燃导火线后工人要在爆破前转移到400米外的安全区域．已知导火线燃烧速度为1厘米/每秒，工人转移的速度为5米/每秒，求导火线至少要多少米？

解：设导火线至少要x米．

根据题意，得5×100x≥400，

解得x≥0.8，

即导火线至少要0.8米．

2．小明家每月水费都不少于15元，自来水公司的收费标准如下：若每户每月用水不超过5立方米，则每立方米收费1.8元；若每户每月用水超过5立方米，则超出部分每立方米收费2元，求小明家每月用水量至少是多少？

解：设小明家每月用水量为x立方米．

∵5×1.8＝9＜15，

∴小明家每月用水量超过5立方米．

则超出(x－5)立方米，按每立方米2元收费，

故有5×1.8＋(x－5)×2≥15，

解得x≥8. 即小明家每月用水量至少是8立方米．

活动3

拓展延伸(学生对学) 【例3】为了保护环境，某企业决定购买10台污水处理设备．现有A、B两种型号的设备，其中每台的价格、月处理污水量及年消耗费如下表．经预算，该企业购买设备的资金不高于105万元.

价格(万元/台)

处理污水量(吨/月)

年消耗费(万元/台)

(1)该企业有几种购买方案；

(2)若该企业每月产生的污水量为2040吨，为了节约资金，应选择哪种购买方案？

【互动探索】(1)设购买A型号污水处理设备x台，则购买B型号污水处理设备(10－x)台，列出不等式求解即可，x的值取整数；(2)根据题意列出不等式求解，再根据x的值选出最佳方案．

【解答】(1)设购买A型号污水处理设备x台，则购买B型号污水处理设备(10－x)台．

根据题意，得12x＋10(10－x)≤105，

解得x≤2.5. ∵x取非负整数，∴x可取0,1,2. 故有三种购买方案：①购买A型号污水处理设备0台，B型号10台；②购买A型号污

11 A型号

12

240

1

B型号

10 200 1

水处理设备1台，B型号9台；③购买A型号污水处理设备2台，B型号8台．

(2)设购买A型号污水处理设备x台，则购买B型号污水处理设备(10－x)台．

根据题意，得240x＋200(10－x)≥2040，

解得x≥1. 由(1)，可得x≤2.5. 又∵x取非负整数，∴x为1或2. 当x＝1时，购买资金为12×1＋10×9＝102(万元)；

当x＝2时，购买资金为12×2＋10×8＝104(万元)．

故为了节约资金，应选购A型号污水处理设备1台，B型号9台．

【互动总结】(学生总结，老师点评)此题将现实生活中的事件与数学思想联系起来，属于最优化问题，在确定最优方案时，应把几种情况进行比较．

环节3

课堂小结，当堂达标

(学生总结，老师点评) 运用一元一次不等式解决实际问题的一般步骤：

实际问题找出不等关系――→设未知数列不解不结合实际问―→―→

等式等式题确定答案练习设计

请完成本课时对应练习！

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