直角三角形的性质与判定国家获奖教案

课题：1.2直角三角形（1） 教学目标：

1.证明直角三角形的性质定理及判定定理. 2.结合具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，知道原命题成立，其逆命题不一定成立．

3.进一步经历用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感，发展抽象思维．

4.进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理的能力．

教学重点与难点：

重点：（1）了解勾股定理及其逆定理的证明方法．

（2）结合具体例子了解逆命题的概念，识别两个互逆命题，知道原命题成立，其逆命题不一定成立．

难点：勾股定理及其逆定理的证明方法．

课前准备：多媒体课件．

教学过程: 一、创设情境，导入新课

活动内容：

问题1：我们曾经探索过直角三角形的哪些性质和判定方法？

问题2：勾股定理及其逆定理的内容是什么？

处理方式：让学生回顾前面所学习的直角三角形的性质和判定方法，主要是从角和边上回答，并让学生回答所学习的勾股定理和逆定理的内容. 设计意图：让学生复习回顾前面所学习的有关直角三角形的性质和判定，以及勾股定理和逆定理内容，为本课直角三角形的性质和判定定理的证明做准备，激发学生学习兴趣和求知欲，为新课的学习做下铺垫. 二、探究学习，感悟新知

活动内容1：直角三角的两个锐角关系定理及逆定理

问题1.直角三角形的两个锐角有怎样的关系？为什么？

问题2.如果一个三角形有两个角互余，那么这个三角形是直角三角形吗？为什么？

结论：

1

定理：直角三角的两个锐角互余；

已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°

求证：∠A＋∠B＝90°

证明：在△ABC中，∠A＋∠B＋∠C＝180°

∵∠C＝90°

∴∠A＋∠B ＝180°－∠C ＝180°－90°

＝90°

∴∠A与∠B两个锐角互余

定理：有两个角互余的三角形是直角三角形

已知：如图，在△ABC中，∠A＋∠B＝90°

求证：△ABC是直角三角形。

证明：在△ABC中，∠A＋∠B＋∠C＝180°

∵∠A＋∠B＝90°

∴

∠C＝180°－（∠A＋∠B）

＝180°－90°

＝90°

∴△ABC中是直角三角形

处理方式：让学生回答出直角三角形的两锐角关系定理和逆定理内容，并在教师的指导下，让学生自己对两个定理进行证明. 设计意图：让学生通过分析归纳总结出直角三角形的两锐角定理和其逆定理内容，并能够对定理和逆定理进行证明. 活动内容2：勾股定理及其逆定理

问题1.直角三角形的三条边有什么样的数量关系？你能证明吗？

问题2.在一个三角形中，当两边的平方和等于第三边的平方是，它是直角三角形吗？

结论：

勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方. 已知：如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c．

求证：a+b＝c．

证明：延长CB至D，使BD＝b，作∠EBD＝∠A，并取BE＝c，连接ED.AE(如图)，则

2 222A

C

B

A

C

B

△ABC≌△BED．

∴∠BDE＝90°，ED＝a(全等三角形的对应角相等，对应边相等)．

∴四边形ACDE是直角梯形．

∴S梯形ACDE＝12(a+b)(a+b) ＝ 12(a+b)．

∴∠ABE＝180°－(∠ABC＋∠EBD)＝180°－90°＝90°，

AB＝BE．

∴S△ABE＝12c

∵S梯形ACDE＝S△ABE+S△ABC+S△BED，

∴12(a+b)＝ 12c+ 12ab + 12ab, 即12a+ ab + 12b＝12c+ ab, ∴a+b＝c

2222 22 22 22AACBbCcEaBD勾股定理逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．

已知：如图：在△ABC中，AB+AC＝BC

求证：△ABC是直角三角形．

分析：要从边的关系，推出∠A＝90°是不容易的，如果能借助于△ABC与一个直角三角形全等，而得到∠A与对应角(构造的三角形的直角)相等，可证．

A

证明：作Rt△A′B′C′，使∠A′＝90°，A′B′＝AB，A′C′.AC

则A′B′＋A′C′.(勾股定理)．

∵AB＋AC＝BC，A′B′＝AB，A′C′

∴BC＝B′C′22

22222222B

A′′C

∴BC＝B′C′

∴△ABC≌△A′B′C′（SSS）

∴∠A＝∠A′＝90°(全等三角形的对应角相等)．

因此，△ABC是直角三角形．

B′

C′

处理方式：让学生根据以前所学的勾股定理和逆定理的知识直接回答出定理的内容，对于证明学生有一定的难度，尤其是逆定理的证明，在证明时教师加以指导. 设计意图：本活动的设计意让学生掌握勾股定理及其逆定理的内容和证明的方法.对于勾股定理及其逆定理主要是让学生掌握其应用，因此在证明时只要求学生能够接受证明的方法和过程即可，不宜对学生提出更高的要求.

3

活动内容3：互逆命题和互逆定理

问题1：观察上面我们得到的两组定理，它们的条件和结论之间有怎样的关系？

问题2：观察下面三组命题：

如果两个角是对顶角，那么它们相等．

如果两个角相等，那么它们是对顶角．

如果小明患了肺炎，那么他一定发烧．

如果小明发烧，那么他一定患了肺炎．

三角形中相等的边所对的角相等．

三角形中相等的角所对的边相等．

上面每组中两个命题的条件和结论也有类似的关系吗?与同伴交流．

问题3：如果原命题是真命题，那么逆命题一定是真命题吗? 并通过具体的实例说明. 结论：

互逆命题：在两个命题中，如果一个命题条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题，相对于逆命题来说，另一个就为原命题．

互逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它是一个定理,这两个定理称为互逆定理,其中一个定理称另一个定理的逆定理. 处理方式：找学生认真分析每组中的两个命题的条件和结论，使学生明确两者的关系，让学生自己总结出互逆命题的定义，然后让学生再分析每个互逆命题是否正确，是真命题还是假命题，从而得出互逆定理的概念. 设计意图：通过师生的共同探究，使学生掌握互逆命题和互逆定理的定义，提高了推理及归纳能力，进一步发展学生的逻辑思维和发展演绎推理能力. 同时，既培养学生独立思考与小组合作讨论的能力，又感受到数学逻辑关系存在的必然性,掌握了对数学问题初步的推理证明方法. 三、学以致用

巩固提高

活动内容：请同学们认真观察下面的题目，看看如何进行解决？（多媒体展示）

1.在△ABC中，已知∠A＝∠B＝45°,BC=3,求AB的长. 2.已知：在△ABC中，AB=13cm, BC=10cm,BC边上的中线AD=12cm. 求证：AB=AC 3.说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假;

4

（1）四边形是多边形；

（2）两直线平行，内旁内角互补；

（3）如果ab0,那么a0,b0

处理方式：找学生对上面的题目逐一进行回答，第1、2两题找学生到黑板板演，第3题直接让学生进行口答，教师对学生的解答过程进行必要的补充和纠错. 设计意图：一方面训练学生对直三角形的性质和判定及勾股定理的使用，另一方面训练学生对互逆命题和互逆定理的掌握情况，使学生能熟练掌握本课所学知识的应用. 四、回顾反思，提炼升华

通过这节课的学习，你学到了哪些知识？你有哪些收获？有何感想？学会了哪些学习的方法？先想一想，再分享给大家．

学生畅谈自己的收获、感想！

设计意图：对课堂所学知识的及时总结与梳理，可以使学生对本节课所学知识形成体系，以利于学生掌握与记忆，同时也能培养学生养成反思与总结的的良好习惯. 五、达标检测，反馈提高

师：通过本节课的学习，同学们的收获有多少？掌握的程度如何呢？请完成达标检测题．（多媒体出示）

A组：

1．（2014▪深圳）在RtΔABC中，∠C＝90º,AD平分∠CAB,AC＝6，BC＝8，CD＝ 2．（2014▪凉山州）已知直角三角形两边的长分别是3和4，则第三边的长为 . 3. （2013•包头）已知下列命题：

①若a＞b，则c﹣a＜c﹣b；

②若a＞0，则=a；

③对角线互相平行且相等的四边形是菱形；

④如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等．

其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（

）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

4. （2014•毕节）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，AC=5，点E在BC上，将△ABC沿AE折叠，使点B落在AC边上的点B′处，则BE的长为 ．

5

B组：

5．（2014▪凉山州）如图，圆柱形容器高18cm，底面周长为24cm，在杯内壁离杯底4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时已知蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm与与密封相对的A处，则蚂蚁从外壁A处到达内壁B处的最短距离为 cm。

处理方式：先让学生自己在规定的时间（5-10分钟）内独立完成，学生做完后，教师出示答案，学生同位间互批，教师统计学生答题情况并对学生出现错误较多的题目加以强调．出现错误的学生根据答案和教师的讲解进行纠错．

设计意图：检验学生对本节课的掌握情况，同时也是对本节课知识的又一次巩固和提高，也有利于下节课知识的讲解. 六、布置作业，课堂延伸

必做题：课本17页，习题1.5第1题，第2题两题．

选做题：课本17页，习题1.5第3题，第4题，第5题三题．

预习作业：预习课本第18-20页，1.2直角三角形第二课时内容. 设计意图：分层次安排作业，这样既能让所有的学生都能够对本课所学习的知识进行巩固，也能让成绩较好的同学能够吃得饱.同时预习作业为下一节课的学习做准备，让学生都能养成一个良好的预习的习惯.

6 蚂蚁

A

B

蜂蜜

板书设计：

§1.2直角三角形(1) 1.定理：直角三角形两锐角互余；

定理：有两个角互余的三角形是直角三角形；

2.勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方. 定理：如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形.

学 生 活 动 区

3.互逆命题：

4．互逆定理：

投

影

区

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