等边三角形的判定教学设计一等奖

1.进一步学习证明的基本步骤和书写格式.

2.掌握与等边三角形、直角三角形有关的性质定理和判定定理.

让学生学会分析几何证明题的思路,并掌握证明的基本步骤和书写格式.

经历作辅助线的过程,进一步增强学生的合情推理意识,培养学生养成主动探究的习惯,进一步体会数学与现实生活的紧密联系.

【重点】

等边三角形的判定定理.

【难点】

直角三角形的性质定理.

【教师准备】

多媒体课件.

【学生准备】

复习等腰三角形的判定定理和反证法.

导入一:

等边三角形作为一种特殊的等腰三角形,具有哪些性质呢?又如何判别一个三角形是等边三角形呢?

生1:等腰三角形已经有两条边相等,我认为只要腰和底边相等,此时的等腰三角形就是等边三角形.

生2:等边三角形的三个内角都相等,并且每个角都等于60°.我认为等腰三角形的三个内角都等于60°,此时的等腰三角形就是等边三角形.

(此时,部分同学同意上述看法,部分同学不同意,引起激烈地争论.教师可请一名学生充分发表自己的看法)

生3:我不同意第二位同学的看法.因为任何一个三角形满足这个条件都是等边三角形.根据等角对等边,三个内角都是60°,所以它们所对的边一定相等.但这一问题中“已知三角形是等腰三角形,满足什么条件时是等边三角形”,我觉得给的条件太多,浪费!

师:(1)给三个角都是60°,这个条件的确有点浪费,那么给什么条件不浪费呢?同学们可在小组内交流自己的看法.

(2)你认为有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形吗?能证明你的结论吗?把你的证明思路与同伴交流.

[设计意图]

设计成问题串是为引出等边三角形的判定定理埋下伏笔.学生独立思考是对上节课内容有效地检测手段.

导入二:

1.已知:∠ABC,∠ACB的平分线相交于点F,过F作DE∥BC,交AB于D,交AC于E.

(1)找出图中的等腰三角形;

(2)找出BD,CE,DE之间存在的数量关系;

(3)证明以上结论.

2.复习关于反证法的相关知识.

用反证法证明:在一个三角形中,至少有一个内角小于或等于60°.

证明:假设在一个三角形中没有一个内角小于或等于60°,即都大于60°.

那么,这个三角形的三个内角之和就会大于180°.

这与定理“三角形的三个内角之和等于180°”相矛盾,因此假设不成立,故原命题正确.

[设计意图]

通过对上节课内容的复习,加深了学生对知识的掌握,同时为新知识的引入做好了准备.

一、证明定理

思路一

[过渡语]

同学们,下面我们来研究如何判定一个三角形是等边三角形?

教师概括出等边三角形的判别条件,并引导学生总结出下表:

性质

判定的条件

等边对等角

等角对等边

“三线合一”即等腰三角形顶角的等腰三角形平分线、底边上的中线及底边上的有两个角相等

(含等边三高线互相重合

角形)

等边三角形的三个内角都相等,并三个角都相等的三且每个角都等于60°

角形是等边三角形

[学生总结]

1.顶角是60°的等腰三角形是等边三角形;

2.底角是60°的等腰三角形是等边三角形;

3.三个角都相等的三角形是等边三角形;

4.三条边都相等的三角形是等边三角形.

[教师总结]

得到下列定理.

定理

三个角都相等的三角形是等边三角形.

定理

有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.

我们还学习过直角三角形,今天我们研究一个特殊的直角三角形:有一个角等于30°的直角三角形.拿出三角尺,做一做:

用两个含30°角的全等的三角尺,你能拼成一个怎样的三角形?能拼出一个等边三角形吗?由此你能发现什么结论?说说你的理由.

总结出定理:在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.

已知:如图所示,△ABC是直角三角形,∠ACB=90°,∠BAC=30°.

求证BC=AB.

〔解析〕

从拼三角尺的过程中得到启发,延长BC至D,使CD=BC,连接AD.

证明:延长BC至D,使CD=BC,连接AD(如图所示).

∵∠ACB=90°,∠BAC=30°,

∴∠ACD=90°,∠B=60°.

∵AC=AC,

∴△ABC≌△ADC(SAS).

∴AB=AD(全等三角形的对应边相等).

∴△ABD是等边三角形(有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形).

∴AB=BD=AD.

∴BC=BD=AB.

[设计意图]

让学生经历定理的探究证明过程,提高学生的自主探究能力.

思路二

[过渡语]

同学们,你认为有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形吗?你的证明思路是什么?

定理:有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.

已知:如图所示,在△ABC中,AB=AC,且有一个角等于60°.求证△ABC是等边三角形.

证明:当∠A=60°时,

∵AB=AC,∴∠B=∠C=60°,

∴△ABC是等边三角形;

当∠B=60°时,

∵AB=AC,∴∠B=∠C=60°,

∴∠A=60°.∴△ABC是等边三角形.

用两个含30°角的三角尺,你能拼成一个怎样的三角形?能拼出一个等边三角形吗?由此你能发现什么结论?说说你的理由.

由此你能想到,在直角三角形中,30°角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系?能证明你的结论吗?

定理:在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.

已知:如图所示,△ABC是直角三角形,∠ACB=90°,∠BAC=30°.

求证BC=AB.

〔解析〕

从拼三角尺的过程中得到启发,延长BC至D,使CD=BC,连接AD.

证明:延长BC至D,使CD=BC,连接AD(如图所示).

∵∠ACB=90°,∠BAC=30°,

∴∠ACD=90°,∠B=60°.

∵AC=AC,

∴△ABC≌△ADC(SAS).

∴AB=AD(全等三角形的对应边相等).

∴△ABD是等边三角形(有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形).

∴AB=BD=AD.

∴BC=BD=AB.

[设计意图]

通过严格的推理证明,让学生掌握几何证明题的步骤,并进一步培养学生的合情推理意识,主动探究的习惯,进一步体会数学与现实生活的紧密联系.

二、例题讲解

[过渡语]

前面我们学习了定理,下面我们看定理的一个应用.

(教材例4)求证:如果等腰三角形的底角为15°,那么腰上的高是腰长的一半.

已知:如图所示,在△ABC中,AB=AC,∠B=15°,CD是腰AB上的高.

求证CD=AB.

证明:在△ABC中,

∵AB=AC,∠B=15°,

∴∠ACB=∠B=15°(等边对等角).

∴∠DAC=∠B+∠ACB=15°+15°=30°.

∵CD是腰AB上的高,

∴∠ADC=90°.

∴CD=AC

(在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半).

∴CD=AB.

1.等边三角形的判定定理

三个角都相等的三角形是等边三角形.

有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.

2.直角三角形的性质定理

在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.

1.等边三角形中,两条中线所夹的钝角的度数为

(

)

A.120°

B.130°

C.150°

D.160°

答案:A 2.等腰三角形的周长为80 cm,若以它的底边为边的等边三角形的周长为30 cm,则该等腰三角形的腰长为

(

)

A.25 cm B.35 cm C.30 cm D.40 cm 解析:根据等边三角形三边相等知底边长为10 cm.由等腰三角形两腰相等知一腰长为(80-10)÷2=35(cm).故选B.

3.下列三角形:①有两个角等于60°;②有一个角等于60°的等腰三角形;③三个外角(每个顶点处各取一个外角)都相等的三角形;④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形.其中是等边三角形的有

(

)

A.①②③

B.①②④

C.①③

D.①②③④

解析:根据等边三角形的判定方法知①②③④均正确.故选D.

4.如图所示,D,E,F分别是等边三角形ABC各边上的点,且AD=BE=CF,则△DEF的形状是

A.等边三角形

B.腰和底边不相等的等腰三角形

C.直角三角形

D.不等边三角形

解析:可证△ADF≌△BED≌△CFE,得DF=DE=EF,∴△DEF是等边三角形.故选A.

第4课时

一、证明定理

二、例题讲解

(

)

一、教材作业

【必做题】

教材第12页随堂练习.

【选做题】

教材第12页习题1.4的1,2,3题.

二、课后作业

【基础巩固】

1.若三角形中,三条中线都垂直于所对的边,则此三角形是

(

)

A.等腰三角形

B.钝角三角形

C.直角三角形

D.等边三角形

2.下列说法错误的是

(

)

A.等边三角形是等腰三角形

B.一个外角的平分线平行于一边的三角形是等腰三角形

C.有两个内角不相等的三角形不是等腰三角形

D.有两个内角分别是70°和40°的三角形是等腰三角形

【能力提升】

3.△ABC中,AB=AC,∠A=∠C,则∠B=

.

4.已知AD是等边三角形ABC的高,BE是AC边的中线,AD与BE交于点F,则∠AFE=

.

5.在△ABC中,∠B=∠C=15°,AB=2 cm,CD⊥AB交BA的延长线于点D,则CD的长度是

.

6.已知∠AOB=30°,点P在∠AOB的内部,P1与P关于OB对称,P2与P关于OA对称,则P1,O,P2三点所构成的三角形是

.

【拓展探究】

7.如图所示,P,Q是△ABC边BC上的两点,且BP=PQ=QC=AP=AQ,求∠BAC的度数.

8.如图所示,△ABC是等边三角形,点D,E,F分别在AB,BC,CA的延长线上,且BD=CE=AF.△DEF也是等边三角形吗?为什么?

9.如图所示,AD=BD=CD,试猜想△ABC是直角三角形吗?为什么?你从中能得到什么结论?

【答案与解析】

1.D 2.C(解析:等腰三角形的顶角和底角不一定相等.)

3.60°(解析:∵AB=AC,∴∠B=∠C.∵∠A=∠C,∴∠A=∠B=∠C,∴△ABC是等边三角形,∴∠B=60°.故填60°.)

4.60°

5.1 cm(解析:根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和,得∠DAC=30°,根据在直角三角形中如果有一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半知CD=1 cm.)

6.等边三角形(解析:根据对称可知OP1=OP2=OP,∠P1OP2=60°,所以△P1OP2是等边三角形.)

7.解:∵PA=PQ=AQ(已知),∴△APQ是等边三角形,∴∠APQ=∠PQA=∠QAP=60°(等边三角形的三个内角都等于60°).∵PA=PB,∴∠B=∠PAB(等边对等角).又∵∠B+∠PAB=60°,∴∠PBA=∠PAB=30°,同理∠QAC=30°.∴∠BAC=∠BAP+∠PAQ+∠QAC=30°+60°+30°=120°.

8.解:△DEF是等边三角形.理由:∵△ABC是等边三角形,∴∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°,AB=BC=CA,∴∠DBE=∠ECF=∠DAF=120°,∵BD=CE=AF,∴AD=BE=CF.∴△BDE≌△AFD≌△CEF,∴DE=FD=EF,∴△DEF是等边三角形.

9.解:△ABC是直角三角形.理由:∵AD=BD=CD,∴∠A=∠ACD,

∠B=∠BCD.∵∠A+∠B+∠ACD+∠BCD=180°,

∴∠ACD+∠BCD=90°,即∠ACB=90°.故△ABC是直角三角形.从中得到结论:如果三角形一边上的中线等于这条边的一半,那么这个三角形是直角三角形.

本节课难点在于

“在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半”,由于设计了三角尺操作的实践活动,课堂上学生的思维非常活跃,方法多样,取得较好的效果.

在教学过程中,语言不够简练,尤其是对一些数学术语把握得不够准确,导致课堂教学时间不充足.

在课堂教学设计中,让学生在“动手操作”的过程中,借助已有的知识和方法主动探索新知识,扩大认知结构,从而使课堂教学真正落实到学生的自主探究上.

随堂练习(教材第12页)

解:∵∠ACB=90°,∠B=60°,CD是△ABC的高,∴∠BCD=∠A=30°.∵BD=1,∴BC=2,∴AB=4,∴AD=AB-BD=3.

习题1.4(教材第12页)

1.证明:∵△ABC是等边三角形,且DE∥BC,∴∠ADE=∠B=60°,∠AED=∠C=60°,又∵∠A=60°,∴△ADE是等边三角形.

2.提示:BC=AB=×7.4=3.7(m),DE=AD=× .

=1.85(m).

3.(1)提示:△DEF是等边三角形.点A,B,C分别是EF,ED,FD的中点.证明略.

(2)解:△ABC是等边三角形.证明如下:∵A,B,C分别是EF,ED,FD的中点,∴AB=FD,AC=ED,BC=EF.又∵△DEF是等边三角形,∴FD=ED=EF,∴AB=AC=BC,即△ABC是等边三角形.

4.解:如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=AB.求证∠BAC=30°.证明如下:延长BC至点D,使CD=BC,连接

AD.∵BC=

AB,BC=CD,∴BD=AB.又∵AC⊥BD且AC平分BD,∴AB=AD,∴AB=BD=AD,即△ABD是等边三角形,∴∠B=60°,∴在Rt△ABC中,∠BAC=30°.

5.解:∠ADG=15°,证明如下:A'D=AD=2DC,在Rt△A'DC中,利用“在直角三角形中,如果一条直角边等于斜边的一半,那么这条直角边所对的锐角等于30°”可证明∠DA'C=30°,∴∠ADA'=30°,∴∠ADG=∠A'DG=∠

ADA'=15°.

在前面三个课时中,学生已经经历了独立探索发现定理的过程,并能基本规范地书写相关命题的证明过程,这些都为本课时进一步探索发现相关定理提供了知识基础和活动经验.

因此,本节课可以更多地让学生自主探索.但第一个定理的证明中,需要分类讨论,因此注意揭示其中的分类讨论思想;第二个定理的结论比较特殊,直接从条件出发,学生一般很难能得到这个结论.因此,教材中设计了一个学生活动,在活动的基础上发现了特殊的结论,这实际上也是一种数学发现的方法,因此也应注意让学生体会.

已知:如图所示,在等边三角形ABC的边AC上取中点D,BC的延长线上取一点E,使CE=CD.求证BD=DE.

证明:∵△ABC是等边三角形,

∴∠ABC=∠ACB=60°.

∵D为AC的中点,∴∠DBC=30°.

∵CE=CD,∴∠CDE=∠E.

∵∠CDE+∠E=60°,

∴∠E=30°,

∴∠DBC=∠E,∴BD=DE.