6.1 正弦函数和余弦函数的图像与性质教学设计

《正弦函数、余弦函数的图像和性质》教学设计

一、

教材分析

本节节选自沪教版高中数学高一年级第二学期第六章第一节。在第一学期，学生已经掌握了研究函数的一般思路，并应用它对三个具体初等函数图像和性质的做了相应的探究。本节课实际上是学生对高中数学第四类具体初等函数性质的一次探究，与此同时本节课的研究方法也为学生今后研究正切函数或者其他具有周期性的函数的图像与性质提供了一个模板，在整个知识体系中承上启下的作用。本节课共三个课时，第一课时学习正弦函数和余弦函数的图像；第二课时探究正余弦函数的定义域、值域（最值），奇偶性；第三课时学习正余弦函数的周期性和单调性，本课为第二课时。

二、

教学目标

1、掌握正余弦函数的定义域，会求其与常见函数的复合函数的定义域；

2、掌握正余弦函数的值域，会求与之相关的复合函数的最大值、最小值，以及取得最大值或最小值时相应的自变量的值。

3、掌握正弦函数、余弦函数的奇偶性并会判断相关函数奇偶性。

4、通过借助正余弦函数图像或者正余弦线探究函数性质的过程，培养学生观察、分析、归纳的能力，体会数形结合的思想。

5、通过引导学生借助正弦函数的性质，类比推导余弦函数的性质，培养学生的类比推理的能力。

6、引导学生亲历正余弦函数性质的探究过程中，感受数学问题探索的乐趣和成功的喜悦，激发学生数学学习兴趣。引导学生养成积极主动，勇于探索，不断创新的学习习惯。

三、

教学重点

探究正弦函数的定义域、值域和奇偶性等基本性质是本节课的重点，只要掌握了这种方法，学生可以自己类比得出余弦函数的相关性质，并且对下一节探究正切函数的性质也有很大帮助。

正余弦函数的基本性质值是研究正弦型三角函数性质的基础，同时也是解决有三角函数有关的复合函数的问题的基础，所以也被列为本节课的重点内容。

四、

教学难点

虽然学生对定义域值域、奇偶性等概念并不陌生，但是在综合利用这些性质解决相关问题时，比如求复合函数的最值和奇偶性时，由于综合性较强、灵活度较高，会使很多学生感到困难，故列为本节课的难点。

五、

学情分析

高中生身心发展趋于成熟，逻辑思维逐渐占据优势地位，辩证思维和创新思维有了很大的发展，所以在教学时，可以多带领学生进行相关知识的自主探究。通过高一上册第三章的学习，学生已经掌握了研究函数的一般思路并在第四章已经应用此思路对幂函数、指数函数和对数函数的性质做过系统的研究，并且上一章学生已经系统学习三角比的基本知识，这些都对本节课的学***的帮助。但是我们也要看到，在探究正余弦函数的性质时对学生的观察、归纳及推理能力都有较高的要求，在解决与三角函数相关的函数性质问题时还常常要

求要能灵活运用上学期处理函数问题的一些技巧及三角恒等变换的技巧，这些知识的综合运用也会让很多基础不够好的学生产生不适感，作为教师我们要及时发现并帮助他们度过难关。

六、

教法学法

根据以上分析，本节课主要采用探究教学法和类比教学法相结合的教学方法。鼓励学生运用上学期习得的研究函数的的一般思路通过师生互动及生生互动来探究正弦函数的定义域、值域（最值）、奇偶性等性质；在将正弦函数的性质研究清楚之后，请学生类比的给出余弦函数的相应性质，提高学生对未知领域的探索能力和类比能力。

七、

教学过程

教学流程：复习引入-新课讲解-典例讲解-课堂小结-课后作业.

(一)

复习引入

问题：我们通常从哪些方面研究一个陌生函数的性质？

意图：引导学生回忆上学期习得的研究函数的一般思路，为本节课的研究奠定基本框架。

（二）新课讲解

1．

定义域：

问题：什么是函数的定义域？

答：函数的定义域是指使函数的解析式有意义的自变量x的取值范围。

由正余弦函数的定义不难的得到：

ysinx或ycosx的定义域是R。

2．

值域：

问题：什么是函数的值域？

答：函数的值域是由所有函数值构成的集合。

教师引导学生探究正弦函数的值域，并从以下两个方面给出证明：

（1）值域1,1；

由三角比定义可以知道：每一个正弦值一定在1,1中（即值域1,1）； （2）任意的一个在1,1中的实数能不能作为某一个角的正弦值呢？

是的，可以利用正弦线证明。从而正弦函数的值域是1,1。

请学生类比正弦函数的值域推理过程，研究余弦函数的值域，得出余弦函数的值域也是1,1。

意图：由于有了正弦函数的值域探究过程的指导，学生不难自己类比的写出余弦函数的值域，并给出相应的证明过程，这是一个很好的培养学生类比能力的机会。

（3）最大、最小值

问：请观察正弦函数的图像并找出图像中所有最高点和最低点，它们分别对应正弦函数的哪个性质？

意图：使学生对最大值点和最小值点留下一个直观的印象，并为下面具体找出所有最值点做好铺垫。

引导学生先在一个长度为2的区间上找到函数最大值和最小值点，再想办法找到所有的最值点。

在区间[32,2]上，当x2时，正弦函数有最大值1，当x2时，正弦函数有最小值-1。由诱导公式，当x2k2,kZ时ysinx有最大值1；当x2k2,kZ时ysinx有最小值1。

请学生类比正弦函数的探究过程，给出余弦函数的结论：当x2k,kZ时ycosx有最大值1；当x2k,kZ时ycosx有最小值1。

意图：提高学生的类比能力。

3、奇偶性

师：请同学们观察正弦函数的图像，并猜想正弦函数的奇偶性。

根据图像，学生不难发现正弦函数是奇函数。

教师进一步追问：你能给出证明吗？你还记得怎样证明一个函数是奇函数吗？

首先，正弦函数ysinx（余弦函数ycosx）的定义域是R，关于原点对称；

其次，由诱导公式可知：对任意实数x，sinxsinx，即fxfx恒成立。所以，正弦函数ysinx是一个奇函数；

请学生类比地猜测余弦函数的奇偶性并给出证明。

意图：此处不但可以提高学生的类比推理能力，还能进一步强化用定义证明一个函数的奇偶性的方法。（比如会有一部分学生在证明正弦函数的奇偶性时，会忘记先考虑定义域，但是在给出余弦函数的相应证明时，再做错的学生就几乎没有了）

（三）典例讲解

例1、求下列函数的定义域、值域：

1 y=1 2 y=2cosx

1sinx解：1当x2k-2x[2k+1 kZ时函数有意义，值域:[,+∞). 223, 2k+] (kZ)时有意义, 值域[0, 2] 22例2、求下列函数的最值及此时x的值：

1 y=sin(3x+解：1当3x+当3x+3cosx2)-1 2 y=cosx-4sinx+5 3 y=

43cosx2k=2k+即 x= (kZ)时ymax=0 423122k=2k-即x= (kZ)时ymin=-2 4234

2 y=-(sinx+2)+1 ∴当x=2k-当x=2k+3 y=-1+2 kZ时ymax=10 2 kZ时ymin= 1 21当x=2k+ kZ时ymax=2 3cosx当x=2k kZ时ymin= 例3：判断下列函数的奇偶性：

（1）fx1

2cosx1sinxcosx（2）fx

x1sinxcosxcosx.从而x解：（1）定义域关于原点对称，由诱导公式得f(x)cosx(f(x)x)f(，所以x)f(x)为奇函数；

（2）因为定义域不关于原点对称，所以不是奇函数也不是偶函数．

（四）课堂小结

可从“知识上”和“方法上”两个方面分别总结。

知识上：学习了正余弦函数的定义域、值域和奇偶性等性质；

方法上：学会了如何去探索一个陌生函数的基本性质，如何类比地给出与之类似函数的相应性质。

小结主要由学生来完成，教师适当完善。

意图：学生自己小结能促进学生进一步回顾本节课的内容，逐步提高学生自己获取知识的能力。

（五）课后作业

1、求下列函数的值域：

（1）fx3sinx4cosx （2）fxsinxcosx（3）fx

3cosx22 （4）fxcosx3sinx

cosx3（5）

fx5sin2x3sinxcosx6cos2x,x0,2、判断下列函数的奇偶性：



2（1）y2sinxcosx； （2）ylg1cosx

解：（1）定义域是R，但f232，所以不是奇函数也不是偶函数；

,f2244（2）1cosx0cos12kx2k,kZ，关于原点对称。

且对定义域中的任意实数x，都有fxfx成立，所以，这是一个偶函数。

3、若函数fxacosxb的最大值是1，最小值是7，求gxbsinxa的最大值．

解：显然，a0，

当a0时fxmaxab,fxminab1a4，此时ab，所以ab7b3gx3sinx4，其最大值为1；

当a0时fxmaxab,fxminab，所以ab1a4，此时ab7b3gx3sinx4，其最大值为1；

八、

教学反思

本节是从引导学生回忆研究函数的一般模式开始的，这样做的好处是可以让学生迅速回忆起上学期所学的东西，并为本节课的探究提供了一个基本的框架。在数学课堂，学生不应只限于接受、记忆、模仿和训练，数学学习活动的核心应该是探索与思考，离开这两点就没有真正的数学学习活动。所以在本节课中，我们倡导勇于探索、积极思考的学习方式，鼓励学生自主的去探究正弦函数的各项基本性质，引导学生经历知识的发生和发展的过程，从而对所学知识有更深刻、更全面的理解，同时印象也会更加深刻。这样学生在解决与正余弦函数相关的复合函数的相关性质的题目时，就会更加自如。同时，由于这里是本节课的难点，对学生要求比较高，我们会适当放慢教学进度，多留给学生一些思考和提问的时间，激发学生的学习热情，提高学生学习兴趣。另外，由于余弦函数的各项性质的探究过程与正弦函数非常相似，所以对于余弦函数性质的探究，我们留给学生类比正弦函数相应性质给出，这是一个锻炼并提高学生类比能力的好机会。

附：板书设计

正余弦函数的性质

一、定义域例1

例2 二、值域（最值）

例3 三、奇偶性