2.2.1 椭圆的标准方程ppt课件课堂实录

课题：

椭圆的定义及其标准方程

授课教师：曲江中学

肖伟霞

教材：选修2－1 （苏教版）

一、

教材分析：

1、地位及作用

本课时是选自选修2－1第二章《圆锥曲线》的第二节第一课时，圆锥曲线是一个重要的几何模型，也是体现数形结合思想的重要素材；椭圆是圆锥曲线的重要曲线之一，本节课重点学习椭圆的定义与它的标准方程的推导，推导椭圆的标准方程的方法对双曲线、抛物线方程的推导具有直接的类比作用，为学习双曲线、抛物线内容提供了基本模式和理论基础。因此本节课具有承前启后的作用，是本章的重点内容。

2、教学内容与教材处理

椭圆的标准方程共两课时，第一课时所研究的是椭圆的定义及标准方程的建立，涉及的数学方法有观察、比较、归纳、猜想、推理验证等，我将以课堂教学的组织者、引导者、合作者的身份，组织学生动手实验、归纳猜想、推理验证，引导学生逐个突破难点，自主完成问题，使学生通过各种数学活动，掌握各种数学基本技能，初步学会从数学角度去观察事物和思考问题，产生学习数学的愿望和兴趣。

3、教学目标

根据教学大纲和学生已有的认知基础,我将本节课要达到的教学目标确定如下：

（1）知识目标

掌握椭圆的定义及其标准方程,能根据已知条件求椭圆的标准方程

（2）能力目标

①让学生感知数学知识与实际生活的密切联系，培养解决实际问题的能力、观察能力、归纳能力、探索发现能力

③提高运用坐标法解决几何问题的能力及运算能力。

（3）情感目标

①亲身经历椭圆标准方程的获得过程，感受数学美的熏陶，

②通过主动探索，合作交流，感受探索的乐趣和成功的体验，体会数学的理性和严谨，

③养成实事求是的科学态度和契而不舍的钻研精神，形成学习数学知识的积极态度。

4、教学重点难点

基于以上分析，我将本课的教学重点、难点确定为：

重点：

椭圆的定义与标准方程

难点：

椭圆标准方程的推导过程

二、学情分析

1.能力分析

学生已初步掌握用坐标法研究直线和圆的方程，但对含有两个根式方程的化简能力薄弱。

2.认知分析

学生已初步熟悉求曲线方程的基本步骤，也掌握直线和圆的方程及圆锥曲线的概念，对曲线的方程的概念有一定的了解，基本掌握研究直线和圆的基本方法。

3.情感分析

学生具有积极的学习态度，强烈的探究欲望，能主动参与研究

三、教法设计

为了很好地突出重点、突破难点，圆满完成教学任务，取得良好教学效果，这节课我将采取“观察、设疑、析疑、解疑”四环节启发式教学方法，引导学生对数学现象有好奇心，并能进行独立思考，提出解决问题的方法和探索问题的思路。重点的突破采用设疑、类比法，难点采用讨论法。让学生根据教学目标的要求和题目中的已知条件，自觉主动地创造性地去分析问题、讨论问题、解决问题。

三、学法设计

通过创设情境，充分调动学生已有的学习经验，让学生经历“观察——猜想——证明——应用”的过程，发现新的知识，把学生的潜意识状态的好奇心变为自觉求知的创新意识。又通过实际操作，使刚产生的数学知识得到完善，提高了学生动手动脑的能力和增强了研究探索的综合素质。

四、教学过程设计：

教学

环节

一、

发

现

问

题，

引

入

新

知

设计

意图

教师活动

学生活动

教学试验：

复习：取根绳子，把它固定在

充分利[1]取一条细绳，

板上一点，用笔尖（M）把细观察回答：用教具flash [2]把它的两端固定在板上绳另一端在板上慢慢移动，所圆

椭圆动的两点F1、F2

画出的是什么图形？

[3]用粉笔尖（M）把细绳拉问：（1）把它的两端固定在两学生动手画，不紧，在板上慢慢移动看看看点F1、F2，用笔尖把细绳拉紧，做试验，画断修出的图形正、完看这时笔尖画出的轨迹是在板上慢慢移动呢？

善对椭什么图形？

(2)在作图过程中，发现什是椭圆。

圆定义

么？

观察作图的构

过程发现：

建。让利用flash椭圆动画演示：

[1]绳长应学生通

M

当大于F1、过实验

F2之间的操作去

距离。

直观感

[2]绳长固知新F2

F1

定

知，又

问：

通过类这时候动点P满足的几何条

学生不难比，使件又是什么？

说出动点学生对根据学生回答的情况结

到两定点椭圆的合教具—flash椭圆动画的演

距离之和定义的

示让学生直观感知，补充说明等于定长学习、

动点P满足的几何条件是：

（常数）。

理解水

(1)在平面内------大前提

到渠(2)动点到两定点的距离之和

成。

为定长2a （常数）

(3)常数2a要大于2c（两定点

的距离）

学生分组

提出问题：假如绳子的长度讨论，动手

2a（常数）小于或等于两定点做实验得

的距离2c时，动点所形成的出：

轨迹又是什么？

(1)当2a<2c

时，轨迹不

存在；

教学内容

教学活动

教学

环节

教学内容

教学活动

教师活动

根据学生的回答，老师强调椭圆定义的附加条件，从而给出椭圆的完整的定义。

M F1

F2

椭圆的定义：

在平面到两个定点的距离之和等于常数的点的轨迹叫做椭圆。( PF1PF2F1F2)两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫椭圆的焦距。

设计

意图

学生活动

(2)当2a=2c从而完时，所形成成了对的轨迹是椭圆的线段F1F2. 定义，且明确

了定义中的附加条件是定义的一部分

回顾：研究曲线及其性质的基本方法是坐标法，坐标法的步

骤可分为：

M

[1]建系

[2]列等式

[3]等式坐标化

F2

F1[4]化简

[5]检验

二、

要求学生带着问题思考：

引

第一步：如何建立直角坐标

导

系？

探

第二步：列怎样的等式？

究，

第三步：如何将等式转化为方构

程？（等式坐标化）

椭圆的标准方程：

建

（1）以线段F1F2中点为坐

通过学生的探究、推导，新

标

原点，F1F2所在直线为

老师的点拨、提炼得出下是几知

x 轴，建立平面直角坐标种不同建系法对应的椭圆的系，则F1(-c,0)，F2(c,0)。方程：

如下图：

（1）如图1

（详细地推导该形式方程）

新课：椭圆方程的推导

学生思考，分组交流讨论。

这个环节给学生充分的时间，让他们探究、推导、比较、交流。

。

图1 设M(x, y)，则

|MF1|＋|MF2|＝2a

x2y221(ab0)2ab

教学

教学内容

教学活动

环节

教师活动

(xc)2y2(xc)2y22a

将这个方程移项，两边平

方，整理得：

22

a2－cx=a(xc)y,

两边再平方，得

422222a－2acx+cx=ax－

2a2cx+a2c2+a2y2,

整理得

2222222

(a－c)x+ay=a(a－

c2),（*）

指出：

22222b

2

“

令

a



c

”一方面让令

b



a



c

得：

方程(*)更简单化，更美观；另x2y2一方面它具有几何意义，这是21(ab0)2下节课的内容。

ab

它表示：

[1] 椭圆的焦点在

x 轴

; [2] 焦点是F1（- C，0）、

F2（C，0）;

[3] c2 = a2 - b2 ;

（2）以线段F1F2中点为坐

标

原点，F1F2所在直线为

y轴，建立平面直角坐标系，

则F1(0,-c)，F2(0, c)。如下

图：

（2）如图2 （引导学生，让学生自己推导）

图2 得出：

设计

意图

学生活动

学生得跟着老师出的方一起推导，程形式化简。

会比较

复杂，

大多数

可能没

有经过

配方，

甚至是

错误的,

这时让

学生对

不同的

结果进

行判

断、比

较、选

择

学生自行推导。

课堂巡视学生推导，检查方程推导的情况

其他建系法：

（3）图

y它表示：

[1] 椭圆的焦点在y轴

; [2] 焦点是F1（0，- C）、

F2（0，C）; 22[3] c = a - b2 ;

y2x221(ab0)2ab

(0F1

F2x

教学

环节

教学内容

教学活动

教师活动

方程为：

2(xa)y2

212

ab

（4）

学生活动

.

Y

F2F1X

图4

方程为：

22

学生对不(xa)y

同的结果212

ab进行判断、

比较、选

择。

老师总结：椭圆的标准方程只

有两种形式：

x2y2

21(ab0)

2

ab（1）

y2x221(ab0)

2b（2）a

特点：这两种方程的形式是最

简的，使得椭圆的中心是原

点，对称轴落在坐标轴上。

1）两种形式中，总有a>b>0；

2）两种形式中，椭圆焦点始

终在长轴上；

练习：

、c始终满足

1、判定下列椭圆的焦点在3）a、b222

22c=a－b；

哪个轴上，并指明a、b，学生自主

写出焦点坐标

完成：

22xy

(1)在

X 轴1引导学生从椭圆的标准方程（- 3 ，0）2516（1）

形式分析，学生一边口述，老和（3 ，0）

22师一边板书写解题过程。

(2)在y

轴

xy1（0 ，- 5）144169（2）

和（0 ，5）

设计

意图

从中可以看出，同一个椭圆，因建系的不同，所得的方程也不同，但不同的方程对应的椭圆是不变的，进一步分清两个标准方程的联系和区别从而完成了对椭圆标准方程的构建（图1,2）。

教学

环节

三、

例

题

讲

解，

练

习

巩

固，

教学内容

（3）x

2y2

21m

4

2、将下列方程化为标准方程，并判定焦点在哪个轴上，写出焦点坐标

229x25y2250

(1)223x2y6

(2)

设计

意图

教师活动

学生活动

(3)在

y 轴

（0 ，- 1）

让和（0 ，1）

总结：

学生更

判断椭圆标准方程的焦

加明点在哪个轴上的准则：

白：“判焦点在分母大的那个轴上。

断椭圆

标准方

程的焦

点在哪

个轴上

的准

则”

提出问题：

方程形如

学生分组

Ax2By2C,A,B,CR

讨论：从椭

A,B,C满足什么条件，就表示圆的标准

椭圆？

方程看，不

难得出，

A,B,C要大

于零或者学生比

老师根据学生的做答情况给同时小于较难想零。

出结论：

到“A满足的条件：A、B、C同号，

不等于

且A不等于B。

B”这个

问：上述方程把“A不等于B”条件，学生都能这个条件去掉，此时会是什么从而把回答出：表方程呢？

圆跟椭示圆。

圆的标注方程联系起来。

教学活动

例1：已知一个贮油罐横截面的外廓线是一个椭圆，它的焦距为2.4m，外轮廓线上的点到两个焦点距离的和为3cm，求这个椭圆的标准方程。

老师讲解分析：（用定义法）

建立直角坐标系（如图5）

设这个椭圆的标准方程为

即为待定系数法，从而求出a,b。

x2y21(ab0)a2b2

教学

环节

教学内容

教学活动

教师活动

学生活动

课堂练习：

(1)已知椭圆两个焦点的坐

个

标分别为(-2,0),(2,0)，并且课堂巡视学生做题的情况，3

，

则

别辅导，引导学生从椭圆的标学生自主经过点

(

5

,

)练习

准方程入手。

22

方程是_________________

22

xy

1

m(2)椭圆

4

的焦

解析：强调对m要进行讨论

距为2，则m的值_________ 当m>4时，和当0

22

(3)已知圆

xy4

内有一定点C(1,1),P为利用椭圆的定义：

圆周上动点，线段PC的P

垂直平分线交PO于M

D

点，则M的轨迹是什M

么？

C

O

设计

意图

不同于以往，这个环节通过放手让学生自己练习、感悟，让学生在“游泳中学会游泳”，以增强对学生能力培养的针对性和实效性。

四、

课

堂

小

结

1、

理解并掌握椭圆的定义

在平面到两个定点的距离

之和等于常数的点的轨迹

叫做椭圆。

( PF

1PF2F1F2)

2、

熟练地掌握椭圆的标准

方程。

（1）

22老师简单板书

xy

学生归纳总结

使学生对本节课所学知识的结构有一个清晰的认识，能抓住重点进行复习

a2b21(ab0)

（2）

y2x221(ab0)2ab

必做题：

写出适合下列条件的椭圆

的标准方程：

五、

①焦点在x轴上，焦距为4，布

并且经过点P（3，

－

6

）

2置

②焦点的坐标分别为(0,-4), 作

(0,4)，a=5；

业：

③a+c=10, a-c=4。

选做题：

如果点M(x，y)在运动过程中，总满足关系式：

2

2

2

2

xy3xy3m

那么点M的轨迹是什么曲线？为什么？写出它的方程。

使学生能巩固本节课所学知识，培养学生自觉学习的习惯，同时对学有余力的同学留出自由发展的空间

五、板书设计

2.2 椭圆（1）

一、椭圆的定义 二、椭圆的标准方程 三、巩固及应用

x2y221(ab0)2ab1 、定义 1 、 1 例题分析 y2x221(ab0)2ab2 、几点说明 2 、 2 、课堂练习

四、课堂小结 3 、布置作业