2.2.1 椭圆的标准方程特级教师教学实录

椭圆及其标准方程

教学目标：

（一）知识目标：掌握椭圆的定义及其标准方程，能正确推导椭圆的标准方程．

（二）能力目标：培养学生的动手能力、合作学习能力和运用所学知识解决实际问题的能力；培养学生运用类比、分类讨论、数形结合思想解决问题的能力．

（三）情感目标：激发学生学习数学的兴趣、提高学生的审美情趣、培养学生勇于探索，敢于创新的精神．

教学重点：椭圆的定义和椭圆的标准方程．

教学难点：椭圆标准方程的推导．

教学方法：探究式教学法，即教师通过问题诱导→启发讨论→探索结果，引导学生直观观察→归纳抽象→总结规律，使学生在获得知识的同时，能够掌握方法、提升能力．

教具准备：多媒体课件和自制教具：绘图板、图钉、细绳．

教学过程：

（一）设置情景，引出课题

问题：观察生产生活中的实物引出椭圆

（二）启发诱导，推陈出新

提出新问题：椭圆是怎么画出来的？椭圆的定义是什么？它的标准方程又是什么形式？

引出课题：椭圆及其标准方程

（三）小组合作，形成概念

动画演示椭圆形成过程．

提问：点M运动时，F1、F2移动了吗？点M按照什么条件运动形成的轨迹是椭圆？

下面请同学们在绘图板上作图，思考绘图板上提出的问题：

1．在作图时，视笔尖为动点，两个图钉为定点，动点到两定点距离之和符合什么条件？其轨迹如何？

2．改变两图钉之间的距离，使其与绳长相等，画出的图形还是椭圆吗？

3．当绳长小于两图钉之间的距离时，还能画出图形吗？

学生经过动手操作→独立思考→小组讨论→共同交流的探究过程，得出这样三个结论：

|MF1|+|MF2|>|F1F2|

椭圆

|MF1|+|MF2|=|F1F2|

线段

|MF1|+|MF2|<|F1F2|

不存在

并归纳出椭圆的定义：平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距．

（四）椭圆标准方程的推导：

1．回顾：求曲线方程的一般步骤：建系、设点、列式、化简．

2．提问：如何建系，使求出的方程最简？

由各小组讨论，请小组代表汇报研讨结果．

各组分别选定一种方案：（以下过程按照第一种方案）

①建系：以F1,F2所在直线为x轴，以线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系。

②设点：设M(x1,y)是椭圆上任意一点，为了使F1,F2的坐标简单及化简过程不那么繁杂，设|F1F2|=2c(c>0)，则F1(-c,0),F2(c,0)

设M与两定点F1,F2的距离的和等于2a

③列式：|MF1|+|MF2|=2a

∴(x+c)2+y2+(x-c)2+y2=2a,

④化简：（这里，教师为突破难点，进行设问：我们怎么化简带根式的式子？对于本式是直接平方好还是整理后再平方好呢？）

(x+c)2+y2=2a-(x-c)2+y2

两边平方，得：(x+c)2+y2=4a2-4a(x-c)2+y2+(x-c)2+y2

即a2-cx=a(x-c)2+y2

两边平方，得：a4-2a2cx+c2x2=a2(x-c)2+a2y2

整理，得：(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)

令a2-c2=b2(b>0)，则方程可简化为：b2x2a2y2a2b2

x2y2整理成：221(ab0)

abx2y2指出：方程221(ab0)叫做椭圆的标准方程，焦点在x轴上，焦ab

点是F1(c,0),F2(c,0),c2a2b2

讨论：如果以F1,F2所在直线为y轴，线段F1F2的垂直平分线为x轴，建立直角坐标系，焦点是F1(0,c),F2(0,c)，椭圆的方程又如何呢？

让按照另外方案推导椭圆标准方程的同学发言并演示动画进行讨论得出：y2x21(ab0)为椭圆的另一标准方程，而其他建系方案得出的椭圆方程a2b2没有标准方程形式简单．

引导学生思考：已知椭圆标准方程，如何判断焦点位置？

讨论得出：看x2，y2的分母大小，哪个分母大就在哪一条轴上．

（五）例题讲解

例1

求适合下列条件的椭圆的标准方程：

（1）两个焦点的坐标分别是（－4，0）、（4，0），椭圆上一点P到两焦点距离的和等于10；

35（2）两个焦点的坐标分别是（0，－2）、（0，2），并且椭圆经过点(,).

22例2

已知椭圆的焦距等于8，椭圆上一点P到两焦点距离的和等于10，求椭圆的标准方程

（六）课堂练习

x2y21，则这个椭圆的焦距为（

）

1．已知椭圆方程为2332（A）6

（B）3

（C）35

（D）65

2．F1,F2是定点，且|F1F2|6，动点M满足|MF1||MF2|6，则点M的轨迹是（

）

（A）椭圆

（B）直线

（C）圆

（D）线段

x2y21上一点P到椭圆一个焦点的距离为3，则P到另一3．已知椭圆2516焦点的距离为（

）

（A）2

（B）3

（C）5

（D）7 （七）课堂小结

（1）椭圆的定义及其标准方程；

（2）标准方程中a,b,c的关系；

（3）焦点所在的轴与标准方程形式之间的关系.

（八）作业布置

1．如果方程x2ky21表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是（

）

（A）（0，+∞）

（B）（0，2）

（C）（1，+∞）

（D）（0，1）

x2y22．椭圆1的焦距是2，则实数m的值是（

）

m4（A）5

（B）8

（C）3或5

（D）3 x2y23．已知F1,F2是椭圆1的两个焦点，过F1的直线与椭圆交于A、B2549两点，则ABF2的周长为（

）

（A）86

（B）20

（C）24

（D）28 4．方程Ax2By21什么时候表示椭圆？什么时候表示焦点在x轴上的椭圆？什么时候表示焦点在y轴上的椭圆？

[板书设计] 椭圆及其标准方程

一

椭圆的定义

二

椭圆的标准方程

椭圆标准方程的推导

例一

例二