2.2.2 椭圆的几何性质PPT配套教学设计内容

课 题：椭圆的几何性质

扬州市江都区育才中学 孙 俊

苏教版高中数学选修1—1 2.2.2 教学目标：

知识与技能：

1.掌握椭圆的范围、对称性、顶点、离心率；

2.掌握a,b,c，e几何意义以及相互关系；

3.能由椭圆的方程求椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、离心率等 . 过程与方法：

利用曲线的方程来研究曲线性质的方法是学习解析几何以来的第一次，通过初步尝试，使学生经历知识产生与形成的过程，不仅注意对研究结果的掌握和应用，更重视对研究方法的思想渗透及分析问题和解决问题能力的培养；以自主探究为主，通过体验数学发现和创造的历程，培养学生观察、分析、逻辑推理、理性思维的能力.

情感、态度与价值观：

通过自主探究、交流合作使学生亲身体验研究的艰辛，从中体味合作与成功的快乐，由此激发其更加积极主动的学习精神和探索勇气；通过多媒体展示，让学生体会椭圆方程结构的和谐美和椭圆曲线的对称美，培养学生的审美习惯和良好的思维品质.

教学重点、难点：

重点：从知识上来讲，要掌握如何利用椭圆标准方程的结构特征研究椭圆的几何性质；从学生的体验来说，需要关注学生在探究椭圆性质的过程中思维的过程展现，如思维角度和思维方法. 难点：椭圆几何性质的形成过程，即如何从椭圆标准方程的结构特征中抽象出椭圆的几何性质。通过本节课的教学力求使一个平淡的性质陈述过程成为一个生动而有价值的学生主动交流合作、大胆探究的过程应是教学的难点. 教学方法：

通过学生自主探究、师生共同辨析、研讨，让学生观察椭圆的几何图形，着重从方程的角度归纳总结得出椭圆的几何性质. 教学辅助手段：

几何画板、多媒体演示. 教学过程：

一、复习引入：

1．椭圆定义：在平面内，到两定点距离之和等于定长（定长大于两定点间的距离）的动点的轨迹 提问学生，并演示动画

x2y2y2x22．标准方程：221，221

（ab0）

abab3.椭圆中a,b,c的关系是: a2=b2+c2

二、讲解新课：

x2y2

由椭圆方程221(ab0) 研究椭圆的性质.(利用方程研究,ab说明结论与由图形观察一致)

(1)范围: x2y2

从标准方程得出21,21,即有axa,byb，可知ba椭圆落在xa,yb组成的矩形中．

(2)对称性: 提问学生，并演示动画

把方程中的x换成x方程不变，图象关于yA1yP′B2PF2A2x轴对称．y换成y方程不变，图象关于x轴对称．把x,y同时换成x,y方程也不变，图象关于原点对称．

F1QOB1P″原点叫椭圆的对称中心，简称中心．x轴、y轴叫椭圆的对称轴．从椭圆的方程中直接可以看出它的范围，对称的截距

（3）顶点：椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点

x2y2在椭圆221的方程里，令y0得xa，因此椭圆和x轴abx2y2有两个交点A(a,0),A2(a,0)，它们是椭圆221的顶点

ab令x0，得yb，因此椭圆和y轴有两个交x2y2B(0,b),B2(0,b)，它们也是椭圆221的顶点

因此椭圆共ab有四个顶点： A(a,0),A2(a,0)，B(0,b),B2(0,b)

加两焦点F1(c,0),F2(c,0)共有六个特殊点.

A1A2叫椭圆的长轴，B1B2叫椭圆的短轴．长分别为2a,2b

a,b分别为椭圆的长半轴长和短半轴长.椭圆的顶点即为椭圆与对称轴的交点.

至此我们从椭圆的方程中直接可以看出它的范围, 对称性, 顶点．因而只需少量描点就可以较正确的作图了．

(4)离心率: 提问学生，并演示动画

发现长轴相等，短轴不同，扁圆程度不同

这种扁平性质由什么来决定呢？

概念：椭圆焦距与长轴长之比称为离心率

定义式：ecbe1()2

aa范围：0e1

考察椭圆形状与e的关系：

e0,c0，椭圆变圆，直至成为极限位置圆，此时也可认为圆为椭圆在e0时的特例

三、讲解范例：

例1 求椭圆16x225y2400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标．

例2.已知椭圆中心在原点，对称轴为坐标轴，焦点在y轴,长轴是短轴的2倍,焦距为2,离心率为3，求椭圆的方程。

2

变式1：焦点在x轴呢？

变式2：去掉“焦点在y轴”

的条件呢？

四．课堂练习：

1.说出下列椭圆的范围,长轴长,短轴长,焦点坐标,顶点坐标: 2

22xy2xy(2)1

(1)1916164

2e



,长轴长62. 椭圆中心在原点,以坐标轴为对称轴，离心率

3求椭圆的方程

.

五．归纳小结： 标准方程x2y221(ab0)2abx2y221(ab0)2ba图象范围|x|≤a,|y|≤b|x|≤b,|y|≤a（对称性顶点坐标焦点坐标半轴长焦距（关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称。b)a,0 ）,(0, ( c,0)b,0 ）,(0, a)(0, c)长半轴长为a,短半轴长为b.焦距为2c;a,b,c关系离心率a2=b2c+c2ea六．作业：

1. 根据下列条件，求椭圆的标准方程。

①

长轴长和短轴长分别为8和6，焦点在x轴上

②

长轴和短轴分别在y轴，x轴上，经过P(-2,0)， Q(0,-3)两点. ③一焦点坐标为（－3，0）一顶点坐标为（0，5）

④两顶点坐标为（0，±6），且经过点（5，4）

⑤焦距是12，离心率是0.6，焦点在x轴上。

2. 已知椭圆的一个焦点为F（6，0）点B，C是短轴的两端点，△FBC是等边三角形，求这个椭圆的标准方程。

探究题：

已知椭圆的方程为x2+a2y2=a(a为正数，且不为1)求这个椭圆的焦点坐标，顶点坐标和离心率.

板书设计

2.2.2 椭圆的简单几何性质

x2y2椭圆的标准方程：221(ab0)

ab1、范围：椭圆位于直线xa和yb所围成的矩形里。

2、对称性：椭圆关于x轴、y轴、原点都对称

3、顶点：顶点坐标为：(a,0)，(0,b)

4、离心率：ecbe1()2

aa课堂练习：

小结：

课后作业：

教学设计说明：

1、对教材的研究认识：

利用已知条件求曲线的方程，利用方程研究曲线的性质和画图是解析几何的两大任务，利用方程研究椭圆的几何性质可以说是第一次，学生有些陌生，在教学过程中利用多媒体课件展示椭圆曲线，让学生通过图形直观的进行观察、猜想椭圆的几何性质，然后再利用椭圆的标准方程进行证明，有效的运用了数形结合的数学思想方法，体现从感性到理性的探索过程，符合学生的认知规律，很好的体现“利用方程研究曲线性质”的本质。我在教学过程中注重培养学生利用方程研究曲线的意识，在四个性质的研究中一直是用方程的结构特征来得到性质，真正培养学生如何利用方程研究曲线性质的能力。同时，根据椭圆的简单几何性质的课时安排，为了保证了学生的研究时间，我将例1中的画图部分安排在了第二课时，从而起到巩固提升、承前启后的教学效果。

2、

课堂教学模式的设置：

自主探究是传统教学模式的一种补充，自主探究能够使学生成为研究问题的主人，能够培养学生的思维能力。数学是思维的科学，思维能力是数学的核心，教学过程的设计要能够体现教学本质；能够突出所学数学内容的本质；组织教学的过程要能触及学生的灵魂深处。因此，课堂教学中提倡问题教学，抓住学生的认识现实，恰当地创设问题情境，使学习者能够在课堂上进行积极有效的学习。

3、

课堂练习题的说明：

如何利用椭圆的标准方程研究椭圆的几何性质是本节课的主题，是进一步学习双曲线和抛物线的基础。为了不冲淡主题，课堂教学过程中重在培养学生的研究方法，提高学生的思维能力。因此，在椭圆几何性质的其它课时中将适当增加相应的练习，强化学生对知识的掌握和应用。