测试优质课一等奖教案

第二十四章《圆》全章复习

教学目标

1、回顾圆的有关概念，理解垂径定理，认识圆心角、弧、弦之间的相等关系的定理，理解圆周角和圆心角的关系定理．

2、理解点和圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系：掌握切线的概念，切线与过切点的直径之间的关系，能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线．

3、进一步认识和理解正多边形和圆的关系和正多边的有关计算．

4、熟练掌握弧长和扇形面积公式及其它们的应用；理解圆锥的侧面展开图并熟练掌握圆锥的侧面积和全面积的计算．

教学重点

掌握圆的定义，圆的对称性，垂径定理，圆心角、弧、弦之间的关系，圆心角和圆周角的关系． 教学难点

圆的相关定理的推导及应用．

教学过程设计

梳理整章知识结构

设计意图：借助知识树和能力树梳理整章知识，帮助学生理解记忆。

一、圆的基本概念

1.圆的定义: 一条线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆. 到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆. 2.有关概念: (1) 弦：(直径是圆中最长的弦) (2) 弧：劣弧、优弧、半圆

等弧：同圆或等圆中，能够重合的弧

(3)弦心距：圆心到弦的距离，如

OM

(4)圆心角：顶点在圆心的角。如

∠BOD

(5)圆周角：顶点在圆上，两边与圆相交的角，如

∠CDE

设计意图：复习相关概念，培养学生的综合运用能力。

二、圆的有关性质

1.圆的对称性: （1）圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是对称轴。

（2）圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。

（3）圆还具有旋转不变性，即圆绕圆心旋转任意一个角度， 都能与原来的图形重合。

2.垂径定理

垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.

①

直径 (过圆心的线)；②垂直弦；③平分弦

；④平分劣弧；⑤平分优弧.知二得三

设计意图：帮助学生总结回顾“知二得三”，提升学生的归纳能力，增强应用意识。

注意: “

直径平分弦则垂直弦.”

这句话对吗? 垂径定理的推论：

平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

重视：模型“垂径定理直角三角形”

点拨:关于弦的问题，常作的辅助线：连接半径；过圆心作弦的垂线. 圆心到弦的距离、半径、半弦长构成了直角三角形，应用勾股定理解决有关线段的长。

设计意图：借助判断“直径平分弦则垂直弦，这句话对吗”，提升学生辨析能力，并加深“平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧”的理解。

典型例题

（1）如图,已知⊙O的半径OA=5,弦AB=8, OC⊥AB于C,则OC的长为 _______.

（2）如图，P为⊙O的弦BA延长线上一点，PA＝2，AB=4，PO＝5，求⊙O的半径。

（3）如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，CE=1，AB=10，求直径CD的长。

解：连接OA，∵ CD是直径，OE⊥AB ∴ AE=1AB=5 2设OA=x，则OE=x-1，

在Rt△AEO中，由勾股定理得x=5+(x-1)解得：x=13 ∴ OA=13 ∴ CD=2OA=26 即直径CD的长为26. 设计意图：借助3道习题，帮助学生巩固垂径定理及其推论的应用，加深对常用辅助线作法的理解。第3题用到方程思想，培养及提升学生综合运用数学知识的能力。

3.圆心角定理

同圆或等圆中圆心角、弧、弦之间的关系: 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等. ∵

∠AOB=∠A1OB1

∴AB=A1B1 ，弧AB=弧A1B1 . 判断：

相等的圆心角所对的弧相等. ( ) 设计意图：帮助学生总结回顾“知一得二”，提升学生的归纳能力，掌握解题技巧。

4.圆周角定理

同弧上圆周角和圆心角的关系

一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的度数的一半．

推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等

222

推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。

典型例题

如图：圆O中弦AB等于半径，则这条弦所对的圆心角是＿＿＿,圆周角是＿＿＿＿＿＿. 圆的内接四边形的对角互补

设计意图：由习题总结得出“圆的内接四边形的对角互补”，培养学生归纳提升的意识。

三、与圆有关的位置关系

1.点和圆的位置关系

(1)点在圆内 (2)点在圆上 (3)点在圆外

设点与圆心的距离为d,圆的半径为r,则d与r的大小关系为:

2.直线和圆的位置关系

3.切线的判定定理

经过半径的外端,并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 几何语言

∵OA是⊙O的半径, 且OA⊥CD, ∴ CD是⊙O的切线.

判定切线的方法

（１）定义:直线与圆只有一个公共点

（２）圆心到直线的距离d＝圆的半径r （３）切线的判定定理

点拨：切线的判定定理的两种应用

1、如果已知直线与圆有交点，往往要作出过这一点的半径，再证明直线垂直于这条半径；

有交点，连半径,证垂直. 2、如果不明确直线与圆的交点，往往要作出圆心到直线的垂线段，再证明这条垂线段等于半径。

无交点,作垂直,证半径. 典型例题

已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是角平分线，点O在AB上，以点O为圆心，OB为半径的圆经过点D，交BC于点E. 求证：AC是圆O的切线

设计意图：本题属于“有交点，连半径,证垂直”，通过该题，提升学生的辨析能力，巩固切线的判定定理。

4.切线的性质定理

圆的切线垂直于过切点的半径. 几何语言

∵CD与⊙O相切于点Ａ

∴CD⊥OA.

5.切线长定理

从圆外一点向圆所引的两条切线长相等; 并且这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 几何语言

∵PA,PB分别与⊙O相切于点A,B ∴PA=PB ∠1=∠2 提示学生注意区分切线和切线长。

6、三角形的外接圆和内切圆

不在同一直线上的三点确定一个圆.

三角形的外心 三角形的内心

三角形的外心

三角形的内心

实质

三角形三边垂直平分线的交点

三角形三内角角平分线的交点

性质

到三角形各顶点的距离相等

到三角形各边的距离相等

设计意图：借助表格，更清晰地呈现三角形外接圆与内切圆的联系和区别。

四、正多边形和圆

1、相关定义

中心，半径，中心角，边心距

2、有关计算 在正n边形中，

若正n边形的半径为R，边长为a，边心距为r 则：周长

L =na

aR2r2()22点拨：常见的基本模型——正三角形、正方形、正六边形

设计意图：归纳常见的基本模型，提升学生的解题能力。

设计意图：借助框图，清晰呈现用圆作正多边形的步骤。

五、弧长和扇形面积

在半径为R的圆中

弧长的计算公式：

l弧nnR2R360180

S扇形=扇形面积计算公式： 或

360nR2

扇形面积计算公式

设圆锥的母线长为l,底面半径为r.则圆锥的侧面积公式为：

点拨：求圆锥的侧面积本质是求扇形的面积，由扇形面积公式可推导出圆锥侧面积公式. 典型例题

1、扇形的面积是它所在圆的面积的2，这个扇形的圆心角的度数是_____°. 32、圆锥的母线为5cm，底面半径为3cm，则圆锥的表面积为_______

设计意图：通过2道例题，让学生学会灵活运用公式及其变形。

结束语

圆中常用辅助线的规律：

半径与弦长计算,弦心距来中间站；

圆上若有一切线,切点圆心半径连；

两半径成等腰；

是直径,想直角；

要想证明是切线,半径垂直仔细辨.

设计意图：圆中常用辅助线的规律读起来朗朗上口，帮助学生理解记忆。

六、布置作业：

完成课本相应练习。