反证法优质课教案设计

反证法3 一、教学目标

1、了解反证法的概念；

2、掌握反证法的解题步骤，会用反证法证明简单的命题

（3）掌握用反证法简单推理的能力；

3、通过小题探究，体会反证法的思维过程；

4、通过概念形成，培养学生比较、归纳、总结的能力。

二、教学重难点

重点：1、理解反证法的概念；

2、掌握反证法证明命题的思路方法及答题步骤；

3、用反证法证明简单的命题。

难点：1、理解反证法中的“假设”内在含义及作用

2、理解反证法中的矛盾推导。

三、教学过程

（一）复习引入

如图，在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b,如果∠C=90°，a、b、c三边有何关系？为什么？

解析：由∠C=90°可知是直角三角形，根据勾股定理可知

a2 +b2 ＝c2 . （二）探究

1、若将上面的条件改为“在△ABC中，AB=c，BC=a，

AC=b,∠C≠90°”，请问结论a2 +b2 ≠

c2 成立吗？请说明理由。

A

探究：假设a2 +b2 ＝c2，由勾股定理可知三角形

ABC是直角三角形，且∠C=90°，这与已知条件

∠C≠90°矛盾。假设不成立，从而说明原结论

a2 +b2 ≠

c2

成立。

2、发现知识

这种证明方法与前面的证明方法不同，它是首先假设结论的反面成立，然后经过正确的；逻辑推理得出与已知、定理、公理矛盾的结论，从而得到原结论的正确。象这样的证明方法叫做反证法。

3、在△ABC中，AB≠AC,求证：∠B ≠

∠

C

证明：假设________，

b

c

a

C

B

∠B ＝

∠ C

A

则

AB

AC

（

等角对等边

）

＝这与

已知

AB

≠

矛盾．

AC假设不成立．

∠∴

∠

B

≠

C

B

C

小结：反证法的步骤：假设结论的反面不成立→逻辑推理得出矛盾→肯定原结论正确。

4、已知：如图有a、b、c三条直线，且a//c,b//c.求证：a//b 证明：假设a与b不平行，则可设它们相交于点A。

那么过点A 就有两条直线a、b与直线c平行，

这与“过直线外一点有且只有一条直线与已知

直线平行矛盾,假设不成立。

a

b

c

∴a//b. 小结：根据假设推出结论除了可以与已知条件矛盾以外，还可以与我们学过的定理、公理矛盾

5、求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°。

已知：

△

ABC 求证：

△

ABC中至少有一个内角小于或等于60°. 证明：假设△

ABC中没有一个内角小于或等于60°

则：∠A>60°,∠B>60°,∠C>60°

∴

∠A+∠B+∠C>60°+60°+60°=180°

这与

三角形的内角和为180度

矛盾．假设不成立

△

ABC中至少有一个内角小于或等于60°. 四、巩固新知

1、试说出下列命题的反面：

（1）a是实数。

（2 )a大于2。

（3）a小于2。

（4）至少有2个

（5）最多有一个

（6）两条直线平行。

2、用反证法证明“若a2≠

b2,则a ≠

b”的第一步是

3、用反证法证明“如果一个三角形没有两个相等的角，那么这个三角形不是等腰三角形”的第一步

4、求证：如果一个梯形同一底上的两个内角不相等，那么这个梯形不是等腰梯形。

已知：在梯形ABCD中，AB//CD，

A

∠C≠∠D 求证：梯形ABCD不是等腰梯形. 证明：假设梯形ABCD是等腰梯形。

B

C

D

∴∠C=∠D（等腰梯形同一底上的两内角相等）

这与已知条件∠C≠∠D矛盾,

假设不成立。

∴梯形ABCD不是等腰梯形. 五、拓展

1、已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠APB≠∠APC。

求证：PB≠PC 证明：假设PB=PC。

在△ABP与△ACP中

AB=AC(已知）

AP=AP（公共边）

PB=PC（已知）

∴△ABP≌△ACP（S.S.S)

∴∠APB=∠APC(全等三角形对应边相等）

这与已知条件∠APB≠∠APC矛盾，假设不成立.

∴PB≠PC 2、

某天小明家被小偷洗劫一空，派出所王叔叔接到报案后，迅速进行排查，最后锁定了三个嫌疑人,下面是三个疑犯的"供词"：

疑犯甲：是乙偷的！

疑犯乙：不是丙偷的！

A

P

B

C

疑犯丙：他们都在说谎！

派出所的民警知道是他们中的一人做的，而且有一人说谎。你知道谁是罪犯吗？说说你的理由？

3、古希腊哲学家亚里士多德有一个著名论点:轻重不同的两个物体从同一高度自由下落时,一定是重的物体先落地.在意大利物理学家伽利略提出反对观点以前的一千多年里人们对亚里士多德的说法深信不疑.伽利略为了证明自己的观点是正确的,在意大利的比萨斜塔上,让一个中1磅和重100磅的两个铁球同时从高空自由下落,果然是同时着地.这是科学史上一个极其有名的实验,它否定了亚里士多德的错误观点.你能用今天所学的知识来否定亚里士多德的错误观点吗?试一试. 六、总结

1、知识小结：

反证法证明的思路：假设命题不成立→正确的推理,得出矛盾→肯定待定命题的结论

2、难点提示:

利用反证法证明命题时,一定要准确而全面的找出命题结论的反面。至少的反面是没有，最多的反面是不止。