1.2.1 充要条件课时教案

1.2.2 充要条件

教学目标分析：

知识目标：

（1）正确理解充要条件的定义,了解充分而不必要条件, 必要而不充分条件, 既不充分也不必要条件的定义．

（2）正确判断充分不必要条件、

必要不充分条件、充要条件、

既不充分也不必要条件. （3）通过学习，使学生明白对条件的判定应该归结为判断命题的真假,．

过程与方法：在观察和思考中，在解题和证明题中，培养学生思维能力的严密性品质．

情感目标：激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取的精神．

重难点分析：

重点：1、正确区分充要条件；2、正确运用“条件”的定义解题

难点：正确区分充要条件．

互动探究：

一、课堂探究：

1、复习回顾：

（1）充分条件与必要条件的定义；

（2）练习：p：一个四边形是矩形q：四边形的对角线相等.p是q的什么条件? 思考：已知p：整数a是6的倍数，q：整数a是2 和3的倍数.那么p是q的什么条件?q又是p的什么条件? 2、充要条件的定义：

一般地，如果既有pq，又有qp，就记作pq,此时，我们说p是q的充分必要条件，简称充要条件.显然，如果p是q的充分必要条件，那么q也是p的充分必要条件. 概括地说，如果pq，那么p与q互为充要条件. 试试：下列形如“若p，则q”的命题是真命题吗？它的逆命题是真命题吗？p是q的什么条件？

（1）若平面外一条直线a与平面内一条直线平行，则直线a与平面平行；

（2）若直线a与平面内两条直线垂直，则直线a

与平面垂直. 反思：充要条件的实质是原命题和逆命题均为真命题. 利用下列电路图，我么可以形象的理解充分条件、必要条件、充要条件：

如图1-3的四个电路图甲、乙、丙、丁，开关为A，C，灯泡为B，将“开关的闭合”作为条件，“灯泡亮”作为结论

A C A C

B B B B ×

×

×

×

乙

丁

甲

丙

图1-3 图乙中，开关A闭合时，灯泡B不一定亮，即由开关A闭合，不能推出灯泡B亮，但是当灯泡B亮时，开关A一定是闭合的，即由灯泡B亮，一定能推知开关A闭合，我们称“开关A闭合”是“灯泡B亮”的必要不充分条件；

图丁中，“开关A闭合”不能推知“灯泡B亮”，即由开关A闭合，不能推出灯泡B亮，而当灯泡B亮时，也不能确定开关A是否闭合，即由灯泡B亮，也不能推知开关A闭合，所以，我们称“开关A闭合”是“灯泡B亮”的既不充分也不必要条件。

图甲，请同学们画出开关A，C，，使得当开关A闭合时，灯泡B亮，而当灯泡B亮时，开关A

不一定闭合，即由开关A闭合，能推知灯泡B亮，由灯泡B亮，推知开关A不一定是闭合，此时称“开关A闭合”是“灯泡B亮”的充分也不必要条件；

图丙，请同学们画出开关A，使得开关A闭合，则灯泡B亮；灯泡B亮时，开关A闭合，即“开关A闭合”是“灯泡B亮”的充分必要条件，简称为充要条件。

3、类比定义：一般地，命题按条件和结论的充分性、必要性可分为四类：

（1）充分必要条件（充要条件），即

pq且qp；

（2）充分不必要条件，即pq且qp；

（3）必要不充分条件，即pq且qp；

（4）既不充分又不必要条件，即pq且qp．

集合理解法：建立与命题p、q相应的集合，即p:A={x|p(x)},q:B={x|q(x)}

(1)若AÍB，就是xÎA则xÎB，则p是q的充分条件，q是p的必要条件.；

B，就是xÎA则xÎB，且A中至少有一个元素不在B中，则p是q的充分不必(2)若A≠要条件；

A，就是xÎB则xÎA，则p是q的必要不充分条件；

（3）若B≠(4)若A=B，就是AÍB且BÍA，则p是q的充要条件. (5)若A怂B,BA，则p是q的既不充分也不必要条件. 命题理解法：原命题为“若p，则q” （1）如果原命题为真，逆命题为假，则p是q的充分不必要条件；

（2）如果原命题为假，逆命题为真，则p是q的必要不充分条件；

（3）如果原命题为真，逆命题为真，则p是q的充要条件；

（4）如果原命题为假，逆命题为假，则p是q的既不充分也不必要条件；

例1、下列各题中,哪些p是q的充要条件? (1) p:b0；q:函数f(x)ax2bxc是偶函数；

(2) p: x0,y0；q:xy0

(3) p: ab；q:acbc

变式：下列命题为真命题的是（ ）. 2222A.ab是ab的充分条件 B.|a||b|是ab的充要条件

C.x1是x1的充分条件 D.是tan

小结：判断是否充要条件两种方法

（1）pq且qp；

（2）原命题、逆命题均为真命题；

(3) 用逆否命题转化. 小结：证明充要条件既要证明充分性又要证明必要性. 例2、“m122tan

的充要条件 ”是“直线(m2)x3my10与直线(m2)x(m2)y30垂直”的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

答案：A 2变式1、设p：关于x的方程ax2bxc0(a0)有实根，则p是q（ ）. q：b4ac0(a0)，A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

变式2、若p:a+b构5,q:a

答案：充分不必要条件

2例3、求ax+2x+1=0至少有一个负实根的充要条件. 2或b?3，则p是q的什么条件？

答案：a£1.

二、课堂练习： （一）教材第12页练习第1、2题

1、下列形如“若p，则q”的命题是真命题吗？它的逆命题是真命题吗？

p是q的什么条件? （1）若平面外一条直线a与平面内一条直线平行，则直线a与平面平行；

（2）若数列{an}的通项公式是annc(c为常数)，则数列{an}是公差等于1的等差数列；

（3）若直线a与平面内两条直线垂直，则直线a与平面垂直.

2、在下列各题中, p是q的充要条件? 2(1) p:x3x4

；q:x3x4

(2) p:x30；q:(x3)(x4)0

(3) p: b24ac0(a0)；q:ax2bxc0(a0)

(4) p:x1是ax2bxc0(a0)方程的根；q:a（二）补充

23、2x5x30的一个必要不充分条件是（ ）. bc0

A.12x3 B. 12x0 C. 3x12 D.1x6

4、（1）x2(y2)20是x(y2)0的________条件. （2）已知条件p:xy2，条件q:x,y不都是1，则p是q的_____条件. 22解：（1）x(y2)0p:x0且y2，x(y2)0q:x0或y2，

22显然pq但q p，所以x(y2)0是x(y2)0的充分但不必要条件. （2）解：因为p:xy2，q:x1或y1，所以┐p:xy2，┐q:x1且y1.因为┐p┐q但┐q ┐p，所以p是q的充分不必要条件.

5、判断下列条件，p是q的什么条件？

（1）△ABC中，Ｍ是AB的中点，p：C90，q：AMBMCM

（2）p：若函数yax2bx过原点，q：aR,bR （3）p：ab，q：直线yx2与圆(xa)2(yb)22相切 （4）已知a,b,c为在同一平面内的非零向量。p：abac，q：bc 解：（1）（2）的p是q的充要条件；（3）p是q的充分不必要条件；（4）p是q的必要不充分条件，

（3）当a2,b2时，直线yx2与圆(xa)(yb)222也相切；

（4）需要熟练的向量知识，因为ab|a||b|cosa,b,ac|a||c|cosa,c，

所以abacabcosa,baccosa,cbcosa,bccosa,c，所以只要b,c在a上的投影相等，不一定有bc，例如bc，而ab,ac，仍有abac。当bc时，a,b与a,c相等，bc，所以有abac。

反思总结： 1、

本节课你学到了哪些知识点？

2、

本节课你学到了哪些思想方法？

3、

本节课有哪些注意事项？

课外作业： （一）教材第12页习题1.2 A组第4题，B组第1、2题

1、求圆(xa)2(yb)2r2经过原点的充要条件.

2、已知A{x|x满足条件p}，B{x|x满足条件q}. (1)如果AB,那么p是q的什么条件? (2)如果BA,那么p是q的什么条件?

3、求证：ABC是等边三角形的充要条件是abcabacbc，这里a,b,c是ABC的三边.

（二）补充

AB”是“AB”的（ ）

isnis4、在ABC中，“nA．充分而不必要条件 B．

必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

5、若a,bR，则1a32221b3成立的一个充分不必要的条件是（ ）

A.ab0

B.ba C.ab0 D.ab(ab)0

6、已知p是r的充分条件而不是必要条件，q是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件。现有下列命题：①s是q的充要条件；②p是q的充分条件而不是必要条件；③r是q的必要条件而不是充分条件；④p是s的必要条件而不是充分条件；⑤r是s的充分条件而不是必要条件，则正确命题序号是（ ）

A.①④⑤ B.①②④ C.②③⑤ D. ②④⑤ 答案：B 7、已知p：1x132，q：(x1m)(x1m)0(m0)且q是p的必要不充分条件，求实数m的取值范围。

答案：m³9.

8、设命题p:12x1,q:x(2a1)xa(a1)0，命题p是命题q的充分不必要条件，求实2数a的取值范围.

答案：0a课后反思：

12.