3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示教学实录与评析

《空间向量的正交分解及其坐标表示》教学设计

1．教学内容和内容分析

（1）内容

介绍空间向量的正交分解,类比平面向量基本定理给出空间向量基本定理,再由空间单位向量正交分解引出空间直角坐标系。

（2）内容解析

《空间向量的正交分解及其坐标表示》是高中数学选修2-1（人教A版2007年2月第2版）3.1.4（第92-94页）中的内容，一课时完成。空间向量的正交分解及其坐标表示是空间向量的基本概念之一，是利用坐标来表示空间向量从而简化向量运算的基础。

《空间向量的正交分解及其坐标表示》这节课的处理是使用类比的方法，通过平面向量基本定理提出空间向量是否也有类似的定理。然后通过先特殊再到一般，即先通过正交分解再到一般分解这样的探究的过程，让学生参与整个教学过程，体现了新课改的新理念之一“探究性学习”。

本节内容对后继知识的学习起到引领的作用。空间向量作为新课标教材的新增内容，在处理空间问题中具有相当的优越性，比原来处理空间问题的方法更具灵活性。空间向量的引入，有利于学生克服空间想象力的不足和空间作图的困难，有利于拓宽学生的思维结构，从而实现提高学生解决空间问题的能力和数学素养。

2．教学目标和目标解析

（1）目标

知识与技能

（ⅰ）了解空间向量的单位正交分解。

（ⅱ）了解空间向量基本定理，掌握空间向量坐标表示。

（ⅲ）会用基底表示空间向量。

过程与方法

通过类比，将平面向量的正交分解与坐标表示等知识推广到空间中。

情感,态度与价值观

通过类比旧知识探索出新知识，从而激发学生的探索欲望与学习数学的兴趣。

（2）目标解析

教学目标中的知识与技能以及过程与方法是本节课的教学重点也是难点。尽管空间向量的单位正交分解和空间向量基本定理并不难，但是要让学生理解这些知识的本质还是有一定难度，没办法也没有必要从更深层次理解这些知识点，因此，将这些内容定位为了解。空间向量的坐标表示和用基底表示空间向量是这节课学习的关键，空间向量作为解决立体几何问题的有效工具，要求学生能够熟练掌握这些知识点。借助学生已有平面向量和空间向量的基础知识，让学生通过类比将平面向量的正交分解与坐标表示等知识推广到空间中，体验了数学的一种基本思维过程，经历人们学习和生活中经常使用的思维活动。

教学目标中的情感态度与价值观需要在平时的教学过程中不断地渗透和引导而逐步达到的一种目标。

3．教学问题诊断分析

（1）本节课的内容是由平面向量基本定理展开，类比得到空间单位向量正交分解这一内容，似乎很自然的，但估计相当一部分学生已经记不清楚平面向量的正交分解，更不清楚为什么要这样类比，解决这一问题的关键在于教师如何进行分析导引，因此，在这一点上教师要注意在备课中进行合理设计，以帮助学生进行理解。

（2）本节课的空间向量基本定理学生从形式上不难记忆，但由于缺乏对定理本质的理解，教师在讲授这个内容的时候要注意设计问题解决好对“基底”这一概念的认识和理解，这是本节课要重点处理好一个环节。

- 1 -

（3）本节课的另外一个重要环节是如何用基底表示空间向量，教师要在讲授时引导学生结合所求，观察图形，联想相关的运算法则和公式，表示所求向量。

4．教学支持条件分析

（1）在进行本节课的教学时，学生已经有过多次运用类比推理得出数学结论的经历，因此教学时应充分利用这一教学条件，引导学生进行类比和探索。不仅要让学生感受类比推理的过程，感受类比推理能猜测和发现新的数学结论，还要利用数学的人文价值，激发学生学习数学的兴趣和探索真知的欲望。

（2）本节课对于空间向量基本定理的研究，并没有进行严格的证明，为了能更好的说明问题，最好通过教育技术的运用来帮助学生理解这一过程。

5．教学过程设计

（1）问题提出

（ⅰ）平面向量基本定理是什么？

如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1，2，使a1e1+2e2（e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底）。

（ⅱ）平面向量的正交分解是怎样定义的？

把一个向量分解为两个互相垂直的向量叫做向量的正交分解。

（2）新知探究

我们知道，平面内的任意一个向量p都可以用两个不共线的向量a，b来表示(平面向量基本定理)。对于空间任意一个向量，有没有类似的结论呢？

问题1：如图，i，j，k是空间两两垂直的向量，且有公共起点O，对于空间任意一个向量pOP，能用向量i，j，k来表示向量p吗？

由学生应用已经具备的知识推导用向量i，j，k来表示向量p。

教师可根据情况适时加以引导。

结论：如果i，j，k是空间两两垂直的向量,那么对空间

任一向量p, 存在一个有序实数组{x,y,z}使得

iz kO pP jy pxiyjzk

我们称xi，yj，zk为向量p在i，j，k上的分向量。

问题2：如图，在空间中，如果用任意三个不共面向

量a，b，c代替两两垂直的向量i，j，k，你能得出类

似的结论吗？

空间向量的基本定理：

x P

C

cO

pabB

A

如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组x,y,z，使得pxaybzc。我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c叫做基向量。

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注：对于基底{a，b，c}, 除了应知道a，b，c不共面, 还应明确：

（1）任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。

（2）一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关连的不同概念。

问题3：平面向量坐标表示的基本原理是什么？

在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底，若axi+yj，则把有序数对(x,y)叫做向量a的坐标，记作a(x,y).若将向量a的起点移到坐标原点，则其终点坐标就是向量a的坐标. 问题4：请你根据平面向量的坐标表示探究空间向量的坐标表示。

教师可让学生先思考，并让学生类比平面向量的坐标表示谈谈空间向量的坐标究竟应该怎样表示，最后由教师或学生补充并小结。

设e1、e2、e3为有公共起点O的三个两两互相垂直单位向量，称这个基底为单位正交基底，以e1、e2、e3的公共起点O为原点，分别以e1、e2、e3的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz。那么对于空间任意一个向量p，一定可以把它平移，使它的起点与原点O重合，得到向量OPp。

由空间向量基本定理可知，存在有序实数组x,y,z，使得pxe1ye2ze3，我们把x,y,z称作向量p在单位正交基底e1、e2、e3下的坐标，记作p(x,y,z)。

练习

1、在空间坐标系O-xyz中，ABe12e23e3

(e1、e2、e3分别是与x轴、

y轴、

z轴的正方向相同的单位向量)则AB的坐标为

。

2、点M（2，-3，-4）在坐标平面xoy、xoz、yoz内的正投影(投影线垂直于投影面时, 称正投影)的坐标分别为

, 关于原点的对称点坐标为

，关于x轴的对称点为

。

（设计意图：通过练习，让学生加深对空间向量的坐标表示的理解。）

（3）巩固概念

例1

如图，点M、N分别是四面体OABC的边OA，BC的中点，P，Q是MN的三分点，uuuruuuruuuruuuruuurO 用向量OA，OB，OC表示向量OP和OQ. 12解：OPOMMPOAMN

231212111OA(ONOM)OA(OBOCOA)

23232221111111OAOBOCOAOAOBOC

2333633以下可由学生独立完成。

- 3 - M A Q P B N C

11OQOMMQOAMN

2311OA(ONOM)

2311111OA(OBOCOA)

232221111111OAOBOCOAOAOBOC

2666366（设计意图：选定空间不共面的三个向量作为基向量，并用它们来表示其它向量，这本节课的核心内容，也是用空间向量解决立体几何问题的基本内容。这道例题看似简单，但对初学者来说有一定难度，教师在授课时引导学生合作学习，鼓励学生多角度的观察，大胆的猜测和探究，从而得到结论，让学生发现规律的喜悦，激发学生更积极地去寻找规律、认识规律。）

例2

如图，在平行六面体ABCDA1BC11D1中，M、N分别是CD1，C1D1的中点，用基ruuuruuu底{AB,AD,AA1}分别表示向量AM和AN. D1

N C1

分析：本小题可先由教师和学生互动，找出思路，然后让

M A1

B1

学生独立完成。

D uuur1uuuruuur1uuurC

AM=AB+AD+AA1；

22uuur1uuuruuuruuurB A AB+AD+1A

AN=. A2（设计意图：这道例题目的是要进一步强化用基向量来表示其它向量这重要内容。）

（4）课时小结

（ⅰ）空间向量基本定理表明，空间任意一个向量都可以用三个不共面的向量表示出来，它是平面向量基本定理的推广。

（ⅱ）把空间向量放到空间直角坐标系中进行研究，空间向量可以用坐标表示，从而使空间向量的几何运算转化为坐标运算，然后用代数的方法研究和解决几何问题，将空间元素的位置关系转化为数量关系，将证明转化为数值计算，向量不仅不会增加解题难度，还一定程度降低了思维强度，增加解题的可操作性，同时还可以培养学生多角度，多方位思考探索问题的能力。其运算原理下节课再学习. （5）课堂练习

课本P93

练习

ⅰ—ⅱ；补充题

ⅰ、已知向量{a，b，c}是空间的一个基底，从a，b，c中选哪一个向量，一定可以与向量pab，qab构成空间的另一个基底？（答案：c）

（设计意图：这道练习题目的是要进一步强化只要是不共面的三个向量都可以作为空间的基底这一重要内容。）

ⅱ、已知O，A，B，C为空间四点，且向量OA，OB，OC不构成空间的一个基底，那么O，A，B，C是否共面？（答案：是）

（设计意图：这道练习题旨在从反向强化空间的基底这一重要内容。）

（补充）如图，平行六面体ABCDA1BC设ABa，ADb，AA1c，M在CA111D1中，- 4 -

上，且CM:MA14:1，用基底向量a，b，c表示向量AM.

B1

A1

1解：AMAA1A1McAC1

C1

M D1

51c(ACAA1)

511c(ABAC)c

A B 55114abc

C D 555（设计意图：本题旨在巩固本节课的重点用空间的基底表示其它向量，检测运用所学知识解决问题的能力。）

6．目标检测设计

（1）课本P97—P98 A组 2；11 （设计意图：A组的第2题很简单，与例题类似，学生应该可以完成；但是，A组的第11题，对初学者来说难度较大，在让学生解答之前可让学生回忆平面向量中类似的题目的解答方法，通过课本作业巩固本节课所学知识，检测运用所学知识解决问题的能力。）

（2）补充练习题

G，H分别是ABC和OBC的重心，如图，已知空间四边形OABC，设OAa，OBb，OCc，试用基底向量a，b，c表示向量OG，GH. O

H

C

A

G

B

（设计意图：补充练习对学生来说不是很简单，但通过补充练习，有利于巩固本节课所学的重点知识。）

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